Croyance et preuve en math´ematiques

(1)

Croyance et preuve en math´ ematiques

Journ´ee Fran¸cois Ducrot

Universit´e d’Angers – Facult´e des sciences

Mercredi 15 juin 2022

(2)

(3)

I – Vrai ou faux ?

(4)

Six crit` eres de v´ eracit´ e

2 + 2 =

4

?

C’est une ´evidence. C’est universel. C’est dans les livres.

C’est confirmé par l’expérience. Ce n’est pas réfutable.

C’est prouv´e

Journ´ee Fran¸cois Ducrot Croyance et preuve en math´ematiques Mercredi 15 juin 2022 4 / 23

(5)

Six crit` eres de v´ eracit´ e

2 + 2 = 4

? 3 C’est une ´evidence.

C’est universel. C’est dans les livres.

C’est confirmé par l’expérience. Ce n’est pas réfutable.

C’est prouv´e

(6)

Six crit` eres de v´ eracit´ e

2 + 2 = 4

?

3 C’est une ´evidence.

3 C’est universel.

C’est dans les livres.

C’est confirm´e par l’exp´erience.

Ce n’est pas r´efutable.

C’est prouv´e

(7)

Six crit` eres de v´ eracit´ e

2 + 2 = 4

?

3 C’est dans les livres.

C’est confirm´e par l’exp´erience.

C’est prouv´e

(8)

Six crit` eres de v´ eracit´ e

2 + 2 = 4

?

3 C’est confirm´e par l’exp´erience.

C’est prouv´e

(9)

Six crit` eres de v´ eracit´ e

2 + 2 = 4

?

3 Ce n’est pas r´efutable.

C’est prouv´e

(10)

Six crit` eres de v´ eracit´ e

2 + 2 = 4

?

3 C’est prouv´e.

(11)

Six crit` eres de v´ eracit´ e

2 + 2 = 4

?

3 C’est prouv´e.

(12)

Six crit` eres de v´ eracit´ e

2 + 2 = 4

?

3 C’est prouv´e.

(13)

Six crit` eres de v´ eracit´ e

2 + 2 = 4

?

3 C’est prouv´e.

(14)

Six crit` eres de v´ eracit´ e

2 + 2 = 4 ? 7 C’est une ´evidence.

å C’est prouv´e ?

(15)

II – La m´ ethode axiomatique

(16)

Premi` eres preuves : r´ eduction ` a l’´ evidence

Somme des angles = 180^◦?

Somme des angles = 180^◦ Angles ´egaux

(17)

Premi` eres preuves : r´ eduction ` a l’´ evidence

Somme des angles = 180^◦

Angles ´egaux

(18)

Premi` eres preuves : r´ eduction ` a l’´ evidence

Somme des angles = 180Somme des angles = 180^◦^◦?

Angles ´egaux

(19)

Premi` eres preuves : r´ eduction ` a l’´ evidence

Somme des angles = 180Somme des angles = 180^◦^◦?

Angles ´egaux

(20)

Premi` eres preuves : r´ eduction ` a l’´ evidence

Somme des angles = 180^◦ Angles ´egaux

(21)

Preuve math´ ematique

Hypoth`eses Conclusion

d´eductions

Point de départ d’une théorie = Axiomes Règles de déduction = Logique

(22)

Preuve math´ ematique

Hypoth`eses Conclusion

d´eductions

Point de départ d’une théorie = Axiomes Règles de déduction = Logique

(23)

Axiomes de la g´ eom´ etrie (' 300 av. JC)

Euclide

1 Par deux points quelconques on peut faire passer une droite.

2 Tout segment peut se prolonger ind´efiniment (en une droite).

3 Un point et un rayon quelconques d´eterminent un cercle.

4 Tous les angles droits sont congruents.

5 Etant donn´´ es une droite Det un point P ∈ D, il existe une unique droite passant/ par P et parall`ele `a D.

(24)

Axiomes de la g´ eom´ etrie (' 300 av. JC)

Euclide

(25)

Axiomes de la g´ eom´ etrie (' 300 av. JC)

Euclide

(26)

Axiomes de la g´ eom´ etrie (' 300 av. JC)

Euclide

(27)

Axiomes de la g´ eom´ etrie (' 300 av. JC)

Euclide

(28)

Axiomes de l’arithm´ etique (1889)

Peano

1 0 n’a pas de pr´ed´ecesseur.

2 Tout entier naturel a un unique successeur.

3 Deux entiers diff´erents ont des successeurs diff´erents.

4 Si une partieX contient 0 et le successeur de chacun de ses ´el´ements alors X =N.

(29)

La preuve attendue. . .

Dans l’arithm´etique de Peano, on interpr´ete : Les nombres

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• · · ·

0 1 2 3 4

L’addition

et la multiplication

n+ 0 =n, n+ 1 =s(n), n+ 2 =s(n+ 1). . . n+s(k) =s(n+k). n·0 = 0, n·1 =n, n·2 =n·1 +n. . . n·s(k) =n·k+n.

Puis on calcule :

2 + 2 =s(2 + 1) =s(s(2)) =s(3) = 4 3

(30)

La preuve attendue. . .

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0 1 2 3 4

L’addition

Puis on calcule :

2 + 2 =s(2 + 1) =s(s(2)) =s(3) = 4 3

(31)

La preuve attendue. . .

• •

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• · · ·

0 1 2 3 4

L’addition

Puis on calcule :

2 + 2 =s(2 + 1) =s(s(2)) =s(3) = 4 3

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La preuve attendue. . .

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0 1 2 3 4

L’addition

Puis on calcule :

2 + 2 =s(2 + 1) =s(s(2)) =s(3) = 4 3

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La preuve attendue. . .

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0 1 2 3 4

L’addition

Puis on calcule :

2 + 2 =s(2 + 1) =s(s(2)) =s(3) = 4 3

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La preuve attendue. . .

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0 1 2 3 4

L’addition

n+ 0 =n,

n+ 1 =s(n), n+ 2 =s(n+ 1). . . n+s(k) =s(n+k). n·0 = 0, n·1 =n, n·2 =n·1 +n. . . n·s(k) =n·k+n.

Puis on calcule :

2 + 2 =s(2 + 1) =s(s(2)) =s(3) = 4 3

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La preuve attendue. . .

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L’addition

n+ 0 =n, n+ 1 =s(n),

n+ 2 =s(n+ 1). . . n+s(k) =s(n+k). n·0 = 0, n·1 =n, n·2 =n·1 +n. . . n·s(k) =n·k+n.

Puis on calcule :

2 + 2 =s(2 + 1) =s(s(2)) =s(3) = 4 3

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La preuve attendue. . .

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L’addition

n+ 0 =n, n+ 1 =s(n), n+ 2 =s(n+ 1). . .

n+s(k) =s(n+k). n·0 = 0, n·1 =n, n·2 =n·1 +n. . . n·s(k) =n·k+n.

Puis on calcule :

2 + 2 =s(2 + 1) =s(s(2)) =s(3) = 4 3

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La preuve attendue. . .

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0 1 2 3 4

L’addition

n+ 0 =n, n+ 1 =s(n), n+ 2 =s(n+ 1). . . n+s(k) =s(n+k).

n·0 = 0, n·1 =n, n·2 =n·1 +n. . . n·s(k) =n·k+n. Puis on calcule :

2 + 2 =s(2 + 1) =s(s(2)) =s(3) = 4 3

(38)

La preuve attendue. . .

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0 1 2 3 4

L’addition et la multiplication

n+ 0 =n, n+ 1 =s(n), n+ 2 =s(n+ 1). . . n+s(k) =s(n+k).

n·0 = 0,

n·1 =n, n·2 =n·1 +n. . . n·s(k) =n·k+n. Puis on calcule :

2 + 2 =s(2 + 1) =s(s(2)) =s(3) = 4 3

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La preuve attendue. . .

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0 1 2 3 4

n+ 0 =n, n+ 1 =s(n), n+ 2 =s(n+ 1). . . n+s(k) =s(n+k).

n·0 = 0, n·1 =n,

n·2 =n·1 +n. . . n·s(k) =n·k+n. Puis on calcule :

2 + 2 =s(2 + 1) =s(s(2)) =s(3) = 4 3

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La preuve attendue. . .

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0 1 2 3 4

n+ 0 =n, n+ 1 =s(n), n+ 2 =s(n+ 1). . . n+s(k) =s(n+k).

n·0 = 0, n·1 =n, n·2 =n·1 +n. . .

n·s(k) =n·k+n. Puis on calcule :

2 + 2 =s(2 + 1) =s(s(2)) =s(3) = 4 3

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La preuve attendue. . .

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0 1 2 3 4

n+ 0 =n, n+ 1 =s(n), n+ 2 =s(n+ 1). . . n+s(k) =s(n+k).

n·0 = 0, n·1 =n, n·2 =n·1 +n. . . n·s(k) =n·k+n.

Puis on calcule :

2 + 2 =s(2 + 1) =s(s(2)) =s(3) = 4 3

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La preuve attendue. . .

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0 1 2 3 4

n+ 0 =n, n+ 1 =s(n), n+ 2 =s(n+ 1). . . n+s(k) =s(n+k).

n·0 = 0, n·1 =n, n·2 =n·1 +n. . . n·s(k) =n·k+n.

Puis on calcule : 2 + 2 =

s(2 + 1) =s(s(2)) =s(3) = 4 3

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La preuve attendue. . .

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n+ 0 =n, n+ 1 =s(n), n+ 2 =s(n+ 1). . . n+s(k) =s(n+k).

n·0 = 0, n·1 =n, n·2 =n·1 +n. . . n·s(k) =n·k+n.

Puis on calcule :

2 + 2 =s(2 + 1)

=s(s(2)) =s(3) = 4 3

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La preuve attendue. . .

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n+ 0 =n, n+ 1 =s(n), n+ 2 =s(n+ 1). . . n+s(k) =s(n+k).

n·0 = 0, n·1 =n, n·2 =n·1 +n. . . n·s(k) =n·k+n.

Puis on calcule :

2 + 2 =s(2 + 1) =s(s(2))

=s(3) = 4 3

(45)

La preuve attendue. . .

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n+ 0 =n, n+ 1 =s(n), n+ 2 =s(n+ 1). . . n+s(k) =s(n+k).

n·0 = 0, n·1 =n, n·2 =n·1 +n. . . n·s(k) =n·k+n.

Puis on calcule :

2 + 2 =s(2 + 1) =s(s(2)) =s(3)

= 4 3

(46)

La preuve attendue. . .

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0 1 2 3 4

n+ 0 =n, n+ 1 =s(n), n+ 2 =s(n+ 1). . . n+s(k) =s(n+k).

n·0 = 0, n·1 =n, n·2 =n·1 +n. . . n·s(k) =n·k+n.

Puis on calcule :

2 + 2=s(2 + 1) =s(s(2)) =s(3) =4 3

(47)

Axiomes ZFC de la th´ eorie des ensembles (1880 - 1920)

Cantor Frege Russell Zermelo Fraenkel Skolem

1 Deux ensembles sont égaux ssi ils ont les mêmes éléments.

2 Si E etF sont des ensembles alors E×F est un ensemble.

3 Si E est un ensemble alorsP(E) est un ensemble.

... Remarque

La collection de tous les ensembles n’est pas un ensemble.

(48)

Des ensembles aux nombres

s(E) :=E∪ {E}= le successeurdeE

Exemple

En r´esum´e

A partir des ensembles, avec ZF on peut reconstruire` N.

(49)

Des ensembles aux nombres

Exemple

SiE ={a,b} alors s(E) ={a,b,E}={a,b,{a,b}}.

En r´esum´e

(50)

Des ensembles aux nombres

Exemple 0 :=∅

1 :=s(0) = n

∅o 2 :=s(1) =n

∅,{∅}o 3 :=s(2) =n

∅,{∅},

∅,{∅} o . . .

En r´esum´e

(51)

Des ensembles aux nombres

Exemple 0 :=∅ 1 :=s(0) =

n

∅o

2 :=s(1) =n

∅,{∅}o 3 :=s(2) =n

∅,{∅},

∅,{∅} o . . .

En r´esum´e

(52)

Des ensembles aux nombres

Exemple 0 :=∅ 1 :=s(0) =

n

∅o 2 :=s(1) =n

∅,{∅}o

3 :=s(2) =n

∅,{∅},

∅,{∅} o . . .

En r´esum´e

(53)

Des ensembles aux nombres

Exemple 0 :=∅ 1 :=s(0) =

n

∅o 2 :=s(1) =n

∅,{∅}o 3 :=s(2) =n

∅,{∅},

∅,{∅} o

. . .

En r´esum´e

(54)

Des ensembles aux nombres

Exemple 0 :=∅ 1 :=s(0) =

n

∅o 2 :=s(1) =n

∅,{∅}o 3 :=s(2) =n

∅,{∅},

∅,{∅} o . . .

En r´esum´e

(55)

Des ensembles aux nombres

Exemple 0 :=∅ 1 :=s(0) =

n

∅o 2 :=s(1) =n

∅,{∅}o 3 :=s(2) =n

∅,{∅},

∅,{∅} o . . .

En r´esum´e

(56)

Des nombres ` a tout le reste

Avec ZF on peut reconstruire (N,s,0) (donc aussi (N,+,×)).

⇒ Dans ZF on peut interpr´eter l’arithm´etique de Peano.

A partir de (N,` +,×), avec ZFC on sait reconstruireR.

⇒ Dans ZFC on peut interpr´eter l’analyse.

A partir de` R, avec ZF on construit R² (le plan),R³ (l’espace). . .

⇒ Dans ZFC on peut interpréter la géométrie. Plus généralement

Dans ZFC, de proche en proche, on interpr`ete toutes les math´ematiques !

(57)

Des nombres ` a tout le reste

A partir de (` N,+,×), avec ZFC on sait reconstruireR.

⇒ Dans ZFC on peut interpréter la géométrie. Plus généralement

(58)

Des nombres ` a tout le reste

⇒ Dans ZFC on peut interpréter la géométrie.

Plus g´en´eralement

(59)

Des nombres ` a tout le reste

⇒ Dans ZFC on peut interpréter la géométrie.

Plus g´en´eralement

(60)

R` egles de d´ eduction (logique classique)

Aet B A (A⇒B) et A

B

A AouB (A⇒B) et (non B)

non A

Aou (nonA) ...

(61)

Avantages de la preuve

Toute preuve se ram`ene `a un calculformel sur les propositions.

3 Evidence´ des axiomes et des règles logiques. 3 Universalité (objectivité) du calcul.

3 Assentiment de tous les experts ´ecole.

3 Confirmée par l’expérience (ou bien le monde est fou !). Non réfutable

(62)

Avantages de la preuve

3 Evidence´ des axiomes et des r`egles logiques.

3 Universalité (objectivité) du calcul. 3 Assentiment de tous les experts école.

(63)

Avantages de la preuve

3 Universalit´e (objectivit´e) du calcul.

(64)

Avantages de la preuve

(65)

Avantages de la preuve

3 Confirm´ee par l’exp´erience (ou bien le monde est fou !).

Non r´efutable

(66)

Avantages de la preuve

3 Non r´efutable.

(67)

Avantages de la preuve

7 Non r´efutable ?

(68)

III – Limites de la preuve

(69)

Preuve exacte ou preuve compr´ ehensible ?

Ax. 1. P(ϕ)∧∀x[ϕ(x)→ψ(x)]→P(ψ) Ax. 2. P(¬ϕ) ⇐⇒ ¬P(ϕ)

Th. 1. P(ϕ)→♦∃x [ϕ(x)]

Df. 1. G(x) ⇐⇒ ∀ϕ[P(ϕ)→ϕ(x)]

Ax. 3. P(G) Th. 2. ♦∃x G(x)

Df. 2. ϕ ess x ⇐⇒ ϕ(x)∧ ∀ψ

ψ(x)→∀y[ϕ(y)→ψ(y)]

Ax. 4. P(ϕ)→P(ϕ) Th. 3. G(x)→G ess x

Df. 3. E(x) ⇐⇒ ∀ϕ[ϕ ess x →∃x ϕ(x)]

Ax. 5. P(E) Th. 4. ∃x G(x)

(70)

Les preuves sont-elles irr´ efutables ?

En 1879, Frege énonce que toute théorie mathématique T devrait avoir les trois propriétés suivantes, pour tout énoncé A:

Coh´erence

Si Aest d´emontrable dans T alors (non A) ne l’est pas.

Compl´etude

Si Aest vrai alorsAest démontrable dans T. Décidabilité

Il existe un algorithme qui dit si Aest d´emontrable ou non dansT.

Programme de Hilbert (1900 - 1930)

Démontrer que les mathématiques (la théorie des ensembles) sont cohérentes et complètes, voire décidables.

Wir m¨ussen wissen, wir werden wissen.

(71)

Les preuves sont-elles irr´ efutables ?

En 1879, Frege énonce que toute théorie mathématique T devrait avoir les trois propriétés suivantes, pour tout énoncé A:

Coh´erence

Si Aest d´emontrable dans T alors (non A) ne l’est pas.

Compl´etude

Si Aest vrai alorsAest démontrable dans T. Décidabilité

Il existe un algorithme qui dit si Aest d´emontrable ou non dansT. Programme de Hilbert (1900 - 1930)

Démontrer que les mathématiques (la théorie des ensembles) sont cohérentes et complètes, voire décidables.

Wir m¨ussen wissen, wir werden wissen.

(72)

Le paradoxe de Russell

Dans la théorie des ensembles de Frege, un axiome dit que si une propriété P(x) peut s’énoncer par une formule mathématique, alors la collection des ensembles x qui ont cette propriété forme un ensemble EP.

Exemple

P(x) :∃y₁,y2 ∈x, y16=y2.

x ∈EP ⇐⇒ x contient au moins deux ´el´ements.

Exemple

P(x) :∀y, y ∈x ⇒y ∈/ N.

x ∈EP ⇐⇒ x ne contient aucun entier naturel.

(73)

Le paradoxe de Russell

Exemple

P(x) :∃y₁,y2 ∈x, y16=y2.

x ∈EP ⇐⇒ x contient au moins deux ´el´ements.

Exemple

P(x) :∀y, y ∈x ⇒y ∈/ N.

x ∈EP ⇐⇒ x ne contient aucun entier naturel.

(74)

Le paradoxe de Russell

Exemple (Russell, 1902) P(x) :x∈/ x.

x ∈EP ⇒x n’appartient pas `a lui-mˆeme.

x ∈/EP ⇒x appartient `a lui-mˆeme.

Si EP ∈EP alors EP ∈/EP. Si EP ∈/EP alors EP ∈EP.

Conclusion :EP n’est pas un ensemble.

Donc la théorie des ensembles de Fregen’est pas cohérente. Note : C’est pour y remédier qu’on a introduit ZF.

(75)

Le paradoxe de Russell

Si EP ∈EP alors EP ∈/EP.

Si EP ∈/EP alors EP ∈EP.

(76)

Le paradoxe de Russell

(77)

Le paradoxe de Russell

Donc la th´eorie des ensembles de Fregen’est pas coh´erente.

Note : C’est pour y rem´edier qu’on a introduit ZF.

(78)

Le th´ eor` eme d’incompl´ etude (1931)

G¨odel

Pour toute théorie T dans laquelle on peut in- terpréter l’arithmétique de Peano (comme par exemple ZFC) :

1 Si T est coh´erente alors elle n’est pas compl`ete.

2 Si T est cohérente alors la cohérence de ses axiomes ne peut être prouvée à l’intérieur même de T.

En particulier

On peut esp´erer que ZFC est coh´erente, mais si c’est le cas on ne pourra jamais le prouver !

(79)

IV – Croyance en la preuve

(80)

Les

contradictions

en math´ ematiques

A plusieurs reprises au cours de l’histoire, la confiance en la coh´` erence des mathématiques a été ébranlée par des découvertes troublantes.

L’irrationalit´e de√

2 dans l’antiquit´e.

Les nombres complexes (imaginaires ouimpossibles) introduits par Cartan au XVI^e si`ecle.

Les infinitésimaux, à tout instant négligés comme nuls et pourtant non nuls (on peut diviser par un infinitésimal), sur lesquels Newton et Leibniz fondent l’analyse au XVIIIêsiècle.

etc.

(81)

Les

contradictions

en math´ ematiques

etc.

(82)

Les

contradictions

en math´ ematiques

etc.

(83)

Les

contradictions

en math´ ematiques

etc.

(84)

Conclusion

Chacun de ces écueils a eu pour effet de stimuler la recherche et d’amener une avancée générale, constat résumé ainsi par le groupe Bourbaki :

Voilà 25 siècles que les mathématiciens ont l’habitude de corri- ger leurs erreurs et d’en voir leur science enrichie, non appauvrie ; cela donne le droit d’envisager l’avenir avec sérénité.

R´ef´erences :

J.-P. Delahaye, Raccourcis dans les d´emonstrations, sur internet.

J.-P. Delahaye, Statut math´ematique des contradictions, magazine Pour la science, n^o 241, novembre 1997.