Des équations et des nombres de niveau collège, lycée et un peu plus
Ce cours transversal débutant par le niveau collège, puis le niveau lycée et un peu au-delà traite des équations sous toutes ses formes : équations de nombres (recherche de nombres inconnus), équations géométriques de points (recherche de points inconnus), équations différentielles (recherche de fonctions inconnues).
Les équations de nombres permettent entre autre d’introduire des nombres mathématiques tels que les fractions, les racines carrées, les racines cubiques, les racines n-ièmes et les nombres complexes.
Les équations ont pour but de résoudre toute sorte de problèmes réels des plus simples aux plus sophistiquées. J’essaierai de motiver les équations par des problèmes réels aussi souvent que possible. Le fait de traduire un problème réel sous forme d’équation s’appelle mise en équation du problème ou plus généralement modélisation. Il n’est cependant pas nécessaire d’avoir un problème réel en arrière-plan pour savoir résoudre les équations. L’apprentissage des techniques de résolution d’équation se fait à mon avis plus simplement sans mise en équation préalable. La répétition de ces techniques est la base de l’apprentissage. Une fois le langage mathématique maîtrisé, il sera plus aisé de résoudre les problèmes réels.
En introduction, je parle des nombres négatifs et des règles opératoires sur les nombres négatifs.
Les nombres négatifs sont utilisés pour décrire les températures, mais aussi par les commerçants qui font leur compte (un devant un bénéfice, et un – devant une dépense). Cela donne deux représentations et deux manières de voir les nombres négatifs :
1) D’une part la droite graduée qui est la forme mathématique du thermomètre, permet de classer les nombres (négatifs et positifs) :
est un nombre positif, il peut aussi s’écrire . est un nombre négatif. est le seul nombre à la fois positif et négatif, il peut s’écrire ou ou . L’ensemble des nombres positifs et négatifs s’appelle les nombres relatifs.
s’appelle l’opposé du nombre (ou ). De même, (ou ) est l’opposé du nombre . Bien entendu , où se lit « plus petit que »
Le sens de la flèche est le sens positif, c’est-à-dire le sens croissant de la droite graduée, que je peux aussi représenter ainsi :
Le sens inverse de la flèche est donc le sens négatif, c’est-à-dire le sens décroissant de la droite graduée. Cela donne une manière de voir l’addition et la soustraction des nombres relatifs :
Si j’effectue , je trouve . C’est-à-dire sur ma droite graduée, je pars de et je me déplace de dans le sens positif, pour arriver au nombre
Si par contre, j’effectue , je trouve . En effet, je pars du nombre et je me déplace de dans le sens négatif, pour arriver au nombre
De la même manière, si j’effectue , je pars de et je me déplace de dans le sens positif, pour arriver au nombre .
Et, si j’effectue , je pars de et je me déplace de dans le sens négatif, pour arriver au nombre .
Ainsi :
Comme l’illustre le schéma suivant :
2) D’autre part, la façon de voir des commerçants :
Un signe – devant un nombre signifie une perte, et un signe signifie un gain.
Un nombre positif (par exemple 3) peut s’écrire avec le signe devant (par exemple ) ou pas, suivant les circonstances.
Ainsi, peut s’écrire et signifie : je gagne et je gagne , c’est-à-dire je gagne .
On peut même rajouter des euros, c’est-à-dire : je gagne euros et je gagne euros, c’est-à-dire je gagne euros.
Mathématiquement, on écrit :
De la même manière, peut s’écrire et signifie : je gagne et je perds , c’est-à-dire je perds . Avec les euros cela donne : je gagne 3 euros et je perds 5 euros, j’ai donc perdu euros.
Mathématiquement, on écrit :
On peut comprendre facilement que l’opération est identique à car elle signifie aussi : je perds euros et je gagne euros, c’est-à-dire je perds euros.
Ainsi
L’opération est connue de tous, c’est la soustraction « classique », on peut aussi la voir de la manière précédente, c’est-à-dire : je gagne euros et je perds 3 euros donc j’ai gagné 4 euros.
Mathématiquement, on écrit :
Il reste les opérations du type , c’est-à-dire je perds et je perds donc je perds , ou bien : je perds euros et je perds euros donc je perds euros.
Mathématiquement, on écrit :
Remarque importante : Dans toutes les opérations précédentes (et celles qui viendront par la suite) : « un signe va toujours avec le nombre qui le suit »
Cette règle permet d’écrire indifféremment les opérations suivantes :
3) Pour éviter les opérations du type
Il est naturel (comme pour les nombres positifs) d’écrire
Par souci de clarté, les mathématiciens ont en fait, interdit d’écrire deux signes opératoires à la suite, on écrira donc
( ) De même, on acceptera le fait que
En effet, si j’effectue cela signifie, je gagne 0 euros et j’en perds (ne pas oublier que la multiplication est prioritaire par rapport à l’addition et à la soustraction), c’est-à-dire je perds 10 euros.
Cela veut dire que si je multiple un nombre positif et un nombre négatif, j’effectue mon opération habituelle, mais le résultat est négatif
Par exemple :
( )
Il reste à multiplier deux nombres négatifs entre eux. Par exemple ( ), on peut très bien rajouter à cette opération et l’écrire ( ).
La multiplication étant prioritaire, il s’agit en fait de comprendre ce que signifie ( ) car ( )
L’interprétation du commerçant peut être celle-ci :
est une dette de 15 euros, et ( ) est la perte de cette dette. Perdre une dette de euros est en fait un gain de 15 euros. Donc ( ) . Ainsi
( ) ( )
On retiendra que la multiplication de deux nombres négatifs donne un nombre positif. Par exemple
( ) ( )
4) L’utilisation des parenthèses en mathématiques sert à deux choses : a) D’une part montrer qu’une opération est prioritaire.
Par exemple ( ) , alors que b) D’autre part à séparer deux signes opératoires
Par exemple, on écrit ( ) et non pas Ou bien on écrit ( ) et non pas
Cela permet d’autres écritures, un peu moins intuitives, mais qui peuvent être utiles notamment pour démontrer des généralisations aux nombres relatifs de formules vraies pour les nombres positifs :
s’interprète simplement comme le gain de et la perte de euros, c’est-à-dire la perte de euros. Le résultat est bien une perte de euros, c’est-à-dire
( )
s’interprète comme le gain de euros et la perte de euros. J’ai donc traduit ce un peu inutile (au point de vue intuitif) par un « et ».
C’est la raison pour laquelle, on dit parfois que « soustraire, c’est ajouter l’opposé ». En l’occurrence ici, ôter le nombre revient exactement à ajouter le nombre .
( )
s’interprète comme le gain de euros et le gain de euros. J’ai donc encore traduit ce un peu inutile (au point de vue intuitif) par un « et ».
Nous pouvons maintenant parler des équations numérique et commencer à résoudre les plus simples.
1) Une équation numérique est une égalité dans lequel se trouvent un ou plusieurs nombres inconnus qu’il faut essayer de déterminer.
Par exemple : quel est le nombre qui ajouté à donne ?
Que l’on écrira mathématiquement où est le nombre inconnu à déterminer.
Concrètement, c’est la situation du client qui donne euros pour l’achat d’un objet qui coûte 3 euros, il se demande combien le commerçant doit lui rendre.
Deuxième exemple : Quel est le nombre auquel on a soustrait donne ?
Que l’on écrira mathématiquement où est le nombre inconnu à déterminer.
Concrètement, c’est la situation où je reçois 2000 euros nets d’impôts, je sais que la société qui m’emploie a dû payer euros de charges sur mon salaire, et je cherche à connaître mon salaire brut.
Troisième exemple : Quel est le nombre qui multiplié par 3 donne 12 ?
Que l’on écrira mathématiquement où est le nombre inconnu à déterminer.
Concrètement, c’est la situation où j’ai payé 12 euros mes trois melons, et je cherche à savoir le prix du melon à l’unité.
Quatrième exemple : quel est le nombre qui divisé par 3 donne 30 ?
Que l’on écrira mathématiquement où est le nombre inconnu à déterminer.
Concrètement, c’est la situation où je sais que le prix d’une nuit d’hôtel en basse saison est de 30 euros, je sais aussi qu’elle a été divisée par trois par rapport à la haute saison, j’essaie de connaître le prix de la nuit d’hôtel en haute saison.
Bien sûr ces quatre problèmes n’ont pas besoin d’être mis en équation pour être résolus, mais ils permettent de décrire simplement les règles d’équations plus compliquées (que l’on verra par la suite).
Ces égalités peuvent être vues comme deux objets à l’équilibre sur une balance de Roberval.
Vous comprenez bien que si de part et d’autre de la balance, il y a 500g, (sous forme de poids, ou de légume ou de tout autre chose). Si on retire 200g d’un plateau de la balance, il faudra aussi retirer 200g de l’autre plateau pour que cela reste à l’équilibre. De même si vous rajouter 200g sur un plateau, il faudra aussi les rajouter sur l’autre plateau pour maintenir l’équilibre. De même, si vous multipliez le poids par 2 sur un plateau, il faudra faire de même sur l’autre plateau pour maintenir l’équilibre. Et enfin, si vous divisez le poids d’un plateau par 2, il faudra faire de même sur l’autre plateau pour maintenir l’équilibre.
Ainsi, l’égalité se transforme en C’est-à-dire soit
(on a enlevé de part et d’autre de l’égalité pour maintenir « l’équilibre »)
De même, l’égalité se transforme en C’est-à-dire Soit
(on a ajouté de part et d’autre de l’égalité pour maintenir « l’équilibre »)
De même, l’égalité Se transforme en C’est-à-dire Soit
(on a divisé par de part et d’autre de l’égalité pour maintenir « l’équilibre »)
Et enfin, l’égalité Se transforme en C’est-à-dire
(on a multiplié par de part et d’autre de l’égalité pour maintenir « l’équilibre »)
La philosophie à retenir de la résolution des quatre équations précédentes, est qu’on transforme les égalités (en additionnant, soustrayant, multipliant ou divisant par un même nombre bien choisi de part et du signe égal) afin d’isoler le nombre inconnu et trouver sa valeur.
Remarque : A la place d’écrire pour résoudre l’équation , on pourra écrire directement . On dira qu’ « on a passé le de l’autre côté du signe égal en changeant de signe ».
De même, à la place d’écrire pour résoudre l’équation , on pourra écrire directement . On dira qu’ « on a passé le de l’autre côté du signe égal en changeant de signe ». Cette opération s’appelle la transposition.
2) Revenons sur l’équation précédente , sa solution a été trouvée en divisant des deux côtés de l’égalité par , pour obtenir .
Si maintenant, on prend l’équation , on doit aussi diviser des deux côtés de l’égalité par pour isoler le nombre inconnu , mais si on effectue la division on trouvera une écriture décimale infinie :
La solution trouvée par les mathématiciens pour palier à ce défaut d’écriture a été de ne pas effectuer la division. Ainsi, le nombre (lire onze tiers) a été créé comme la solution de l’équation .
Cela signifie simplement « onze divisé par trois », mais la division n’a pas été faite. Le nombre est appelé fraction.
De manière générale, une fraction où est un nombre entier relatif quelconque et un nombre entier relatif différent de zéro, est la division de par qui n’a pas été effectuée, c’est aussi la solution de l’équation .
Le nombre qui est en haut ( ou dans notre cas) de la fraction est appelé numérateur, le nombre qui est en bas ( ou dans notre cas) est appelé dénominateur.
Si les nombres et ne sont pas entiers, mais décimaux (avec chiffres non nuls après la virgule) on parlera d’écriture fractionnaire.
Les fractions étant définies, il est important maintenant de donner les règles opératoires ( ) sur ces nombres
a) L’opération la plus simple entre deux fractions est la multiplication :
Pour cela, il suffit de multiplier les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux. C’est-à-dire :
où a et c sont des entiers relatifs quelconques, b et d des entiers relatifs quelconques différents de zéro. La preuve en est donnée dans le dernier paragraphe.
Exemples : ( ) Conséquence :
Cela nous permet aussi de multiplier un nombre relatif écrit sous forme décimale à une fraction :
Car et donc
On retiendra que tout nombre écrit sous sa forme décimale peut être écrit sous forme fractionnaire en le divisant par 1. Ainsi, Cela nous permet de définir l’inverse d’un nombre :
On appelle inverse d’une fraction , la fraction . Par exemple, est l’inverse de
Ou bien sûr, est l’inverse de
On appelle inverse d’un nombre , le nombre car tout nombre s’écrit aussi Par exemple est l’inverse de
Ou bien sûr, est l’inverse de
b) Un petit jeu d’écriture permet de comprendre la propriété suivante : « diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse ».
En effet, si je divise par 2, je peux écrire . Donc diviser par , reviens à multiplier par . De manière générale, si je divise par , avec , je peux écrire
Ainsi la division d’un nombre par une fraction peut être définie : si je divise le nombre relatif par la fraction , cela revient à multiplier par :
Ce qui donne, dans le cas où est une fraction (prenons avec ) Exemples :
On peut aussi grâce à la même règle diviser une fraction par un nombre écrit sous forme décimale :
Car est l’inverse du nombre
Exemples :
Utilisons une dernière fois dans ce paragraphe, la propriété « diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse » pour donner la règle des signes sur la division des nombres relatifs :
Si on divise deux nombres de même signe, le résultat est positif. Si on divise deux nombres de signes différents, le résultat est négatif.
C’est une conséquence directe de la règle des signes sur le produit de nombres relatifs. (je détaille la démonstration dans le dernier paragraphe de ce livre)
Exemples : Car
Une conséquence de cette règle est que le nombre peut s’écrire aussi bien ou bien
C’est-à-dire que l’on peut placer le signe négatif devant la fraction, au numérateur ou au dénominateur
c) Avant de pouvoir additionner les fractions, donnons une propriété importante : Une fraction peut s’écrire d’une infinité de manières différentes.
Par exemple,
Quel que soit le nombre relatif différent de zéro. En effet,
Parmi toutes les écritures d’une même fraction, celle où le numérateur et le dénominateur sont les plus petits possibles (et entier) s’appelle fraction irréductible.
Par exemple n’est pas irréductible car
Par contre est irréductible, en effet il n’existe pas de diviseur commun à et à autre que 1. Le fait de transformer la fraction en s’appelle simplification ou réduction de la fraction
Exercice : Simplifier les fractions suivantes jusqu’à les rendre irréductibles Solution :
d) Afin de pouvoir additionner les fractions, donnons une interprétation simple de certaines fractions : Par exemple, sur les dessins ci-dessous, la proportion de carreaux rouges dans le rectangle de gauche est de , c’est-à-dire qu’il y a trois carreaux rouges parmi les carreaux ; de même, la proportion est de pour le rectangle de droite.
Cela nous amène une manière d’additionner les fractions : regardons le dessin ci-dessous, on a carreaux oranges parmi sur le rectangle de gauche, que l‘on peut ajouter aux carreaux parmi au rectangle de droite, cela donne bien sûr carreaux oranges parmi .
C’est en fait la seule manière d’ajouter les fractions : il faut qu’elles aient le même dénominateur. Ainsi
Quels que soient les nombres relatifs et , pourvu que soit différent de . Exemples :
Bien sûr la formule précédente inclus la soustraction car « soustraire c’est ajouter l’opposé », et on a ( )
On retiendra donc que
Exemples :
Il reste à additionner (ou soustraire) des fractions qui n’ont pas le même dénominateur. En fait, on n’a pas le choix, il faut les transformer pour qu’elles aient le même dénominateur.
Cette transformation s’appelle « réduction au même dénominateur » (même si les fractions ne sont pas vraiment réduites…)
Montrons la technique sur quelques exemples :
3) Afin de poser des équations un peu plus élaborées, et donc de résoudre des problèmes un peu moins simples, il est nécessaire de donner quelques règle du calcul littéral, c’est-à-dire du calcul avec les lettres, autrement dit, le calcul avec les .
a) Un calcul étant donné, il sera toujours possible de supprimer les parenthèses grâce à la règle de distributivité de la multiplication par rapport à l’addition (ou à la soustraction). Nous donnons ici la formule générale ( et étant des nombres relatifs quelconques) :
( ) Que l’on écrit en général
( )
Car depuis le mathématicien Leibniz, les signes (multiplié) ne sont plus écrits lorsque qu’il y a une lettre à la place d’un nombre inconnu dans la multiplication. En effet, la lettre remplace très souvent un nombre inconnu, et suivant la typographie utilisée, le et le signe (multiplié) peuvent être identiques et prêter à confusion.
Exemples : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Dans ces exemples, je rappelle que j’utilise la règle tacite : « un signe va toujours avec le nombre qui le suit » On peut bien sûr avoir trois termes ou plus dans la parenthèse, et utiliser de la même façon la règle de distributivité :
( ) Exemple :
( ) ( )
b) Si on écrit cette formule dans l’autre sens, c’est-à-dire ( ), on parlera alors de factorisation.
On pourrait bien sûr écrire ( ) grâce aux propriétés de la multiplication. C’est d’ailleurs sous cette forme que l’on va voir comment « additionner les termes en » :
( ) ( )
( ) ( )
( )
Bien sûr, une fois l’explication comprise, on écrira directement :
Dans le cas où l’on effectue l’opération ou l’opération , on utilisera l’astuce suivante :
Car
4) Résolvons quelques équations simples, qui permettront de bien comprendre la technique de résolution. Nous donnerons ensuite des exemples de problèmes qui mènent à ces équations.
Je rappelle que résoudre une équation, c’est trouver le ou les nombres inconnus (que nous noterons la plupart du temps) qui vérifient l’égalité proposée, ou bien dire qu’il n’en existe pas.
J’utiliserai le symbole par la suite qui signifie « est équivalent à ».
Pour les équations, cela signifie qu’on a transformé une égalité, et que cette transformation est réversible. Le symbole signifie simplement « donc ».
Ex 1 : Ex 2 : Ex 3 : Ex 4 : Ex 5 : ( )
Ex 6 : ( ) ( ) ( ) ( ) Ex 7 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Ex 8 : Trois communes A, B et C participent à la construction d’une salle de tennis dont le prix est fixé à euros. Leur contribution est proportionnelle au nombre d’habitant de chaque commune : habitants pour la commune A, pour B et pour C. Quelles sont les parts contributives de chacune des communes ?
Solution : Notons la part de la commune A. La part de la commune C est égale à la moitié de celle de A car est la moitié de , donc la part de la commune C est de . Si une commune D (imaginaire) avait habitants, sa part serait fois plus petite que celle de A donc égale à . Celle de la commune B serait 10 fois supérieure à celle de D, dont égale à
Le problème précédent nous dit que
( ) le symbole signifiant « environ égal »
Donc la commune A devra payer euros et centimes
Donc la commune C devra payer euros et centimes
Ex 9 : Perrine et Perette ramènent quelques courses à leur vieux père. Dans son grand panier, Perrine porte kg de fruits et sacs de sucre. Perette porte sur son dos kg de légume et sacs de sucre. Pendant tout le chemin, Perrine se plaint que son panier est trop lourd. Pourtant, les deux jeunes filles portent la même charge. Quelle est la masse d’un sac de sucre ?
Solution : Notons la masse de sucre en kg. Le problème précédent se traduit par
La masse d’un sac de sucre est donc de kg c’est-à-dire de g.
Ex 10 : Pour Noël, je veux acheter 5 boîtes de calissons. Le marchand me propose d’acheter pour le même prix une boîte de 30 calissons avec une réduction de 15 centimes par calisson.
Quel est le prix de chaque calisson dans les boîtes de ?
Solution : Soit le prix en euros d’un calisson dans une boîte de . Le problème précédent se traduit par ( )
le prix d’un calisson dans une boîte de est de centimes, alors qu’il n’est que de centimes dans la boîte de .
Certains problèmes peuvent amener à des multiplications du nombre recherché par lui-même.
Par exemple, si un carré à pour côté inconnu cm, et que son aire vaut cm², le problème se traduira par l’équation
Les mathématiciens ont décidé de noter
se lit « puissance » ou « au carré ». Ainsi, le problème précédent s’écrira
Cela nous permet de noter plus simplement les multiplications d’un nombre par lui-même : ( ) ( ) Attention : Donc ( )
On peut remarquer tout de suite la propriété suivante valable quel que soit le nombre relatif :
En effet, est la multiplication de par lui-même, donc la multiplication de deux nombres de même signe. Le résultat est positif.
1) Une solution de l’équation existe, c’est la longueur d’un triangle rectangle dont les côtés
perpendiculaires mesurent cm et cm, l’hypoténuse mesurant cm (c’est le théorème de Pythagore qui l’affirme). Il se trouve que cette solution ne peut pas s’écrire sous forme décimale, ni sous forme
fractionnaire (j’en fais la démonstration en fin de chapitre), il faut donc lui donner un nom et une écriture : Ce nombre positif sera noté √ et se lira « racine carrée de » ou plus simplement « racine de »
On a donc (√ ) C’est-à-dire √ √ En fait √ Car
En tout cas, √ donc √ , et vérifie √ √ √ √ , ce qui signifie que √ est une autre solution de l’équation .
Ce sont en fait les deux seules solutions de cette équation (ce que je démontre aussi dans le dernier paragraphe grâce à l’aide de l’équation produit et d’une identité remarquable que l’on verra par la suite).
De la même manière, on peut définir √ quel que soit le nombre , comme la solution positive de l’équation .
On comprend bien que cette équation n’a pas de solution pour car . Donc, pour l’instant, nous ne pouvons pas définir √ pour un nombre . Ce qui donne la propriété immédiate (vraie quel que soit le nombre )
√ √ C’est-à-dire
(√ )
Contrairement à √ , parfois √ peut-être un nombre entier ou décimal : √ √ √ √ √ √ Cela montre la propriété générale, vraie quel que soit le nombre :
√
2) Deux propriétés permettent d’écrire plus simplement certaines racines carrées : √ √ √ ( )
√ √
√ ( )
Quels que soient pour la formule ( ), et quels que soient pour la formule ( ) Voici comment les utiliser sur quelques exemples :
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √
√ √
√ √ √ √ √ √ √
Attention, les propriétés similaires n’existent ni pour l’addition, ni pour la soustraction. En effet : √ Donc √ √ Or √ Donc √ √ √ De même, √ Donc √ √ Or √ Donc √ √ √
Exercice : Une pierre semi-précieuse (par exemple le lapis-lazuli) est vendue euros lorsque sa masse est de grammes. Quelle masse doit peser cette pierre pour être vendue euros ?
Solution : Le problème précédent peut être traduit par La masse étant un nombre positif, la solution est
√
La pierre doit donc peser environ grammes pour être vendue euros.
3) Un autre type d’équation peut être résolu grâce à une simple constatation :
Lorsque le produit de deux nombres relatifs et est nul, c’est forcément que l’un des deux nombre est nul. Autrement dit : { } Par exemple : ( )( ) L’équation ( )( ) a donc deux solutions qui sont et
( )( )
L’équation ( )( ) a donc deux solutions qui sont et . Une situation pouvant mener à ce type d’équation est la suivante :
Notre lapis-lazuli est vendu euros, l’extraction du lapis-lazuli a un coût de euros, à partir de quelle masse de lapis-lazuli vendue peut-on en tirer un bénéfice ?
On peut traduire la situation par : A partir de quel moment le bénéfice égal à est égal à ? C’est-à-dire qu’on est amené à résoudre l’équation
On ne voit pas directement une équation produit, mais grâce au facteur commun , on peut l’écrire ( )
Donc
C’est-à-dire
En réalité, on peut constater que pour compris entre et grammes, le « bénéfice » ( ) est négatif car alors que donc le produit des deux est négatif.
Alors que pour supérieur à grammes, le « bénéfice » ( ) est positif car et que donc le produit des deux est positif.
On peut donc tirer un bénéfice positif à partir de la vente de pièces de lapis-lazuli supérieure à grammes.
4) Pour créer des équations-produit lorsque cela est possible, il faut pouvoir factoriser une expression algébrique. Nous connaissons déjà la formule ( ) qui permet de factoriser. En voici d’autres tirées de la double distributivité :
Quels que soient les nombres relatifs , on a :
( )( )
En effet, écrivons et appliquons la distributivité (à trois reprises) :
( )( ) ( ) ( ) ( ) Exemples :
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
Cette double distributivité permet de donner quelques cas particuliers appelés « identités remarquables » : ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) Quels que soient les nombres relatifs et .
En effet, on utilise la double distributivité pour obtenir ( ) de la manière suivante :
( ) ( )( ) Idem pour obtenir ( ) :
( ) ( )( ) ( ) ( ) Et enfin, ( ) s’obtient ainsi :
( )( ) ( ) ( ) Exemples :
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) Pour factoriser, on prend ces identités remarquables dans l’autre sens :
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (√ ) ( √ )( √ ) √ √ √ √ √ √
Problème : On lance verticalement et vers le haut, une balle de tennis à la vitesse de . La hauteur (en mètres) atteinte par la balle en fonction du temps (en secondes) est donnée par
A quel instant, la balle atteindra une hauteur de mètres ? Solution : Il faut trouver tel que
( )
5) Bien entendu, le problème précédent n’aurait pas pu être résolu grâce aux techniques vues jusqu’à présent si à la place de mètres, on se serait posé la question pour mètres car la factorisation grâce aux identités remarquables n’aurait pas été possible.
Voici comment résoudre toutes les équations de la forme où sont trois nombres relatifs quelconques et :
Commençons par le cas où .
Un petit jeu d’écriture et les équations-produit vont nous donner les solutions de cette équation. (√ ) √ √ ( √ ) ( √ ) (√ √ ) (( √ ) ) Premier cas :
Si ( √ ) , alors l’équation n’a pas de solution car cela voudrait dire que (√
√ ) Ce qui n’est pas possible car un carré est toujours positif.
Deuxième cas :
Si ( √ ) , alors l’équation n’est autre que (√ √ ) √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ Troisième cas :
Si ( √ ) , alors l’équation peut s’écrire : (√ √ ) (( √ ) ) (√ √ ) (√( √ ) ) (√ √ √( √ ) ) (√ √ √( √ ) ) √ √ √( √ ) √ √ √( √ ) √ √ √ √ √ √
√ √ √ √ ( ) √ √ √ √ ( ) √ √ √ √ √ √ √ √ √ √
Le nombre est tellement important dans la résolution de ces équations, que les mathématiciens lui ont donné un nom : est appelé discriminant de l’équation
De sorte que le troisième cas se conclut ainsi : √
√ On écrit en fait que l’équation a deux solutions :
√
√
Remarque : Les trois cas (où ( √ ) est soit strictement positif, soit nul, soit strictement négatif) s’écrivent en général de manière un peu différente.
En effet, comme ( √ ) (( √ ) ) ( ) De même, ( √ ) (( √ ) ) ( ) Et enfin, ( √ ) (( √ ) ) ( )
Donc les trois cas précédent s’écrivent plus simplement : ou ou . Il reste à résoudre l’équation lorsque .
En fait, cette équation est équivalent à ( )
C’est-à-dire à que je vais écrire avec . Comme , donc . On est donc ramené à ce qui a été fait précédemment pour conclure : Si alors l’équation n’a pas de solution,
Si alors l’équation a une seule solution qui s’écrit ( ) Si alors l’équation a deux solutions qui s’écrivent
√ √ On remarque que ( ) ( ) ( ) Pour conclure :
Si alors l’équation n’a pas de solution,
Si alors l’équation a une seule solution qui s’écrit ( ) Si alors l’équation a deux solutions qui s’écrivent
√ ( ) √ ( ) √ ( √ ) √ Et √ ( ) √ ( ) √ ( √ ) √ Finalement, les solutions ne dépendent pas du signe de et on peut conclure :
Pour résoudre l’équation , on commence par calculer le discriminant . Si alors l’équation n’a pas de solution
Si alors l’équation a une seule solution qui s’écrit Si alors l’équation a deux solutions qui s’écrivent
√ √ Exemples : a) Résoudre ( ) L’équation a deux solutions :
( ) √ ( ) √ b) Résoudre
On peut écrire cette équation pour bien reconnaître les coefficients et . ( ) ( )
L’équation a deux solutions :
( ) √ √ ( ) √ √ c) Résoudre ( )
Cette équation est équivalente à , c’est-à-dire ( )
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ d) Résoudre L’équation a une solution :
e) Résoudre
Cette équation est équivalente à
L’équation a une solution :
f) Résoudre
Cette équation peut s’écrire pour bien reconnaître les coefficients .
L’équation n’a pas de solution.
g) Résoudre ( )( ) ( ) Cette équation est équivalent à
( ) L’équation n’a pas de solution.
h) Problème : Au fond d’un canyon coule une rivière. Du bord d’un surplomb rocheux, on laisse tomber une pierre et on chronomètre le temps écoulé entre le lâcher de la pierre et l’instant où on entend « plouf » dans la rivière : il s’écoule secondes. L’objectif est de déterminer la profondeur du canyon. Les lois de la physique donnent : la distance parcourue par la pierre en fonction du temps est
La distance parcourue par le son en fonction du temps est Solution :
Les secondes peuvent être décomposées en deux temps et où est le temps mis par la pierre pour atteindre la rivière et est le temps mis par le son pour aller de la rivière à l’oreille de celui qui l’a lancée. On a donc
De plus, les formules physiques permettent d’écrire :
Et Mais Donc
( ) Ce qui nous donne
( ) ( ) D’où deux solutions à cette équation
̅ √
̅̅
√
Mais le temps est un nombre positif donc
̅̅ √
La profondeur du canyon est donc d’environ mètres.
6) Terminons par une conséquence de la démonstration précédente concernant les solutions des équations
Lorsque , Cette équation a deux solutions (éventuellement identiques si ) qui s’écrivent √
√ Dans ce cas, on peut factoriser pour l’écrire
( )( ) Preuve : ( )( ) ( √ ) ( √ ) ( √ √ √ √ ) ( (√ ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) Exemples :
a) L’équation a deux solutions car
( ) Elles valent ( ) √ ( ) √ Donc ( )( ) b) L’équation n’a qu’une solution car
Elle vaut Donc ( ( )) ( ( )) ( )
On peut, comme dans le paragraphe précédent, proposer le problème suivant :
1) Quelle doit être la mesure de l’arête d’un cube pour que son volume soit égal à Si l’arête du cube mesure , la question se traduit par l’équation
Les mathématiciens ont décidé de noter
se lit « puissance » ou « au cube ». Ainsi, le problème précédent s’écrira
Cela nous permet de noter plus simplement les multiplications suivantes :
( ) ( ) ( )
L’étude de la fonction (cf mon livre à venir sur les fonctions) montre que tout équation admet une unique solution que l’on notera √ quel que soit le nombre relatif .
√ se lit « racine cubique de a ». Elle a donc la particularité d’exister pour les nombres positifs et les nombres négatifs (contrairement à la racine carrée qui n’existe que pour les nombres positifs ou nul) Conséquence :
√ √
√ √
De la même manière on notera ⏟
que l’on lira « puissance » où est un entier naturel plus grand ou égal à .
En fait si , cette notation est encore valable car . C’est la formule précédente avec un seul facteur.
On admettra (ce qui sera prouvé grâce à l’étude de la fonction , cf mon livre à venir sur les fonctions) que l’équation admet une unique solution lorsque est un nombre positif, que l’on notera √ et qui se lira « racine n-ième de ».
Problème de t merca ?
2) L’étude des équations passionna les mathématiciens du 16e siècle. Pour les résoudre, Jérôme Cardan et Raphaël Bombelli avaient besoin d’avoir des solutions aux équations quelle que soit la valeur du discriminant , il a donc fallu inventer le nombre √ .
Exemple : √ √ √ √ √ √ √ √ Or cette écriture posa des problèmes comme le remarqua Léonard Euler. En effet, avec les propriétés des racines carrées, on aurait
√ √ √ ( ) √ Ce qui est faux bien entendu !
√ s’est alors noté (pour imaginaire).
Un nouveau nombre étant créé, les opérations élémentaires ( ) ont dues être définies pour ce nombre.
Donnons quelques exemples :
étant un nouveau nombre, en est aussi un, en est un autre, en est aussi un nouveau.
Idem pour les nombres
√
En fait, on peut créer une infinité de nouveaux nombres où et sont deux nombres relatifs. Si , cela donne simplement qui est un nombre relatif déjà connu.
Les nombres pouvant s’écrire s’appellent les nombres complexes.
Ce seront les seuls nombres que l’on pourra créer grâce aux règles déjà connues des opérations élémentaires ( ) sur les nombres relatifs en y incorporant le nombre .
En effet
a) La somme (ou la soustraction) de deux nombres complexes s’effectue comme sur ces exemples : ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Donc la somme (ou la soustraction) de deux nombres complexes est encore un nombre complexe b) La multiplication de deux nombres complexes s’effectue comme sur ces exemples :
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
Donc le produit de deux nombres complexes est encore un nombre complexe
c) La division entre deux nombres complexes est un peu plus délicate, l’astuce est la suivante : ( ) ( )
Ou écrite de manière plus générale : ( ) ( )
Ainsi, grâce à cette astuce, chaque division de deux nombre complexes, par exemple est aussi un nombre complexe.
Remarque : Le nombre s’appelle le conjugué du nombre . Et donc forcément, le nombre est le conjugué de car ( ) .
Si , on note son conjugué ̅ Ainsi, est le conjugué de , et vice-versa. Si , son conjugué est ̅
3) Nous pouvons faire un petit bilan et classer les nombres : L’ensemble des entiers naturels : 0 ; 1 ; 2 ; … ; 455 ; … se note
L’ensemble des entiers relatifs est constitué de tous les entiers naturels et de leurs opposés : et se note
L’ensemble des nombres décimaux est constitué de tous les entiers relatifs et des nombres positifs ou négatifs pouvant être écrits avec un nombre fini de chiffre après la virgule : Cet ensemble se note
L’ensemble des nombres rationnels est constitué de tous les nombres pouvant s’écrire sous la forme d’une fraction, il se note
L’ensemble des nombres réels est constitué des fractions et des autres nombres présents sur la droite graduée (comme √ √ ). Il se note
L’ensemble des nombres complexes est constitué des nombres pouvant s’écrire où et sont deux nombres réels. Il se note
Nous pouvons maintenant résoudre les équations qui ont un discriminant , à condition d’autoriser les solutions à être des nombres complexes :
Si alors l’équation a deux solutions complexes conjuguées √
√
Pour la démonstration, il faut reprendre celle faite lorsque et remarquer que ( √ ) ( )
De sorte que √ est en fait « une racine carrée complexe » du nombre négatif . Exemples :
a) L’équation a pour discriminant ( ) ( ) Elle admet donc deux solutions complexes conjuguées
√ ( ) √ √ √ ( ) √ √
b) L’équation a pour discriminant Elle admet donc deux solutions complexes conjuguées
√ √ √ √
Remarque : La factorisation ( )( ) est toujours valable si on autorise les solutions et à être des nombres complexes.
V Voici les démonstrations difficiles laissées en suspens :
1) Démontrons la formule
où a et c sont des entiers relatifs quelconques, b et d des entiers relatifs quelconques différents de zéro. vérifie , vérifie , vérifie .
Si on part de l’égalité Cela donne Puis
C’est-à-dire
Donc est la solution de l’équation qui n’est autre que Donc
2) Démontrons la règle des signes pour la division grâce à la règle des signes de la multiplication et à la formule :
Bien sûr, si et b sont positifs, aussi.
Si est négatif, et positif, alors est aussi positif, donc est négatif, donc aussi. Si est négatif, comme et que est positif, c’est forcément que est négatif. Donc si est positif et négatif, alors est négatif, donc aussi.
Si maintenant est négatif et négatif, alors est positif, donc aussi.
3) Démontrons la formule
( )
Tout d’abord, si , la formule devient , elle est toujours vraie. Même chose si . Enfin, si , cela donne simplement l’égalité qui est vraie.
Si , alors ces trois nombres peuvent être vus comme des longueurs (ou largeur) de rectangles. Ainsi ( ) est l’aire d’un rectangle de côtés et , est l’aire d’un rectangle de côtés et , est l’aire d’un rectangle de côtés et , et on a bien l’égalité des aires ( ) comme l’illustre le dessin ci-dessous :
En écrivant , on a aussi , c’est-à-dire avec bien sûr L’égalité ( ) s’écrit alors ( ) donc ( ), soit
( ) C’est-à-dire
( ) Soit
( ( )) ( )
Le nombre étant quelconque et positif, le nombre est quelconque et supérieur à Si maintenant , on a et aussi , avec ( ). Donc
( ) Que l’on peut écrire aussi
( ( )) Ou encore ( ) Donc ( ) C’est-à-dire ( ) ( ( )) Ou encore ( ( )) ( )
Cela donne la preuve de l’égalité ( ) lorsque
Bien entendu, si , il suffit de changer en et en pour avoir encore l’égalité ( )
Enfin, si , on aura aussi qui sera l’opposé de . Donc on peut écrire ( ) Donc ( ) ( ( )) ( ( )) Donc ( ) ( ( )) ( ) ( ) Donc ( ) C’est-à-dire ( )
Remarquons tout d’abord que tout nombre écrit sous forme décimale, c’est-à-dire avec un nombre fini de chiffre après la virgule peut s’écrire sous la forme d’une fraction.
Par exemple :
Supposons maintenant que √ puisse s’écrire sous la forme d’une fraction : √ où et sont deux entiers naturels avec tels que la fraction soit irréductible.
Comme (√ ) , on a donc ( ) donc donc donc donc est un multiple de , donc est un multiple de .
(en effet, si n’était pas un multiple de , ne pourrait pas l’être non plus) C’est-à-dire que peut s’écrire où est un entier naturel plus petit que . L’égalité peut s’écrire
On peut donc diviser des deux côtés de cette dernière égalité pour obtenir
Ou bien
Ce qui veut dire que est un multiple de , donc est un multiple de Donc peut s’écrire où est un entier naturel plus petit que . Finalement
Donc n’est pas irréductible, cela contredit l’hypothèse faite au départ. Donc √ ne peut pas s’écrire comme une fraction.
5) Démontrons que l’équation n’a que deux solutions qui sont √ et √ (√ ) ( √ )( √ ) Donc √ √ C’est-à-dire √ √
