P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE L YON
B ERNARD P ERROT
Topologies mixtes dans le cas de structures vectorielles non nécessairement convexes
Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1973, tome 10, fascicule 4 , p. 81-92
<http://www.numdam.org/item?id=PDML_1973__10_4_81_0>
© Université de Lyon, 1973, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la série « Publications du Département de mathématiques de Lyon » im- plique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).
Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pé- nale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.
eme
II — Coll. Anal. Fonct. Publications d u . U 9 T 3 , Bordeaux) Département de
p . 359-370 Mathématiques Lyon 1973 1.10-4
T O P O L O G I E S M I X T E S DANS L E CAS D E S T R U C T U R E S V E C T O R I E L L E S
NON N E C E S S A I R E M E N T C O N V E X E S
p a r
B e r n a r d P E R R O T
0O0
I N T R O D U C T I O N : L e s t h é o r i e s [ 4 ] [ i l ] qui g é n é r a l i s e n t l e s " t w o - n o r m s p a c e s " i n t r o d u i t s p a r A . A L E X I E W I C Z et Z . S E M A D E N I [ l ] [ 2 j [ 3 ]
p r e n n e n t c o m m e c a d r e : E un e s p a c e v e c t o r i e l m u n i d'une t o p o l o g i e l o c a l e m e n t c o n v e x e s é p a r é e u et d'une b o r n o l o g i e c o n v e x e (3 qui donnent l e m o d e d e c o n v e r - g e n c e s é q u e n t i e l Y ; on dit q u ' u n e suite (x ) d ' é l é m e n t s d e E c o n v e r g e
n
v e r s un p o i n t x de E au s e n s d e Y si la suite (x ) c o n v e r g e v e r s x n n
p o u r la t o p o l o g i e u et si c e t t e suite e s t b o r n é e p o u r la b o r n o l o g i e P • On a p p e l l e t o p o l o g i e m i x t e l o c a l e m e n t c o n v e x e et o n n o t e m (u, P ) la t o p o l o g i e l o c a l e m e n t c o n v e x e l a p l u s fine qui induit la m ê m e t o p o l o g i e que u sur l e s p a r t i e s de P ; et de m ê m e on o b t i e n t la t o p o l o g i e m i x t e v e c t o r i e l l e mV( u , P ) ( r e s p : t o p o l o g i e m i x t e g é n é r a l e , m ^ ( u , P )) c o m m e étant la t o p o l o g i e v e c t o - r i e l l e ( r e s p : g é n é r a l e ) la p l u s fine qui induit l a m ê m e t o p o l o g i e que u sur l e s p a r t i e s de 3 .
Si l ' o n s ' i n t é r e s s e à mV (u, P ) , i l a p p a r a î t que l e c a d r e n a t u r e l dans l e q u e l on p e u t f a i r e c e t t e étude e s t l e s u i v a n t : E un e s p a c e v e c t o r i e l m u n i d'une t o p o l o g i e v e c t o r i e l l e u et d'une b o r n o l o g i e P v e c t o r i e l l e ( l e s d e u x s t r u c t u r e s u et P ne s o n t p a s n é c e s s a i r e m e n t c o n v e x e s ) qui donnent l e
Topologies mixtes dans le cas de structures vectorielles . . .
m o d e de c o n v e r g e n c e s é q u e n t i e l Y et l e s t o p o l o g i e s m i x t e s m ^ (u, 3 ) e t
mV( u , 3 )• Nous a l l o n s m o n t r e r que mV( u , 3 ) p o s s è d e l e s m ê m e s p r o p r i é t é s q u e dans l e c a s c o n v e x e , et que la c o m p a r a i s o n a v e c m ^ ( u , 3) se fait de la
m ê m e m a n i è r e .
§ 1 - P R O P R I E T E S G E N E R A L E S D E mV( u , P ) : N o u s nous p l a ç o n s dans l e c a d r e d é c r i t dans l ' i n t r o d u c t i o n où E e s t un e s p a c e v e c t o r i e l sur E ou (C muni dfu n e t o p o l o g i e v e c t o r i e l l e u et d'une b o r n o l o g i e v e c t o r i e l l e P . C o m m e P e s t v e c t o r i e l l e on peut t o u j o u r s c h o i s i r une b a s e de P f o r m é e de p a r t i e s é q u i - l i b r é e s v o i r [ ò ] ; on n o t e r a A [ u ] la p a r t i e A de E m u n i e de la t o p o l o g i e induite p a r u .
T h é o r è m e 1 - Dans l e s c o n d i t i o n s d é c r i t e s c i - d e s s u s on a :
* A [ u ] - ^ — * E m V ( u ) P )
( l ) mV( u , P ) e s t la t o p o l o g i e v e c t o r i e l l e la plus fine r e n d a n t u n i - f o r m é m e n t continue l e s i n j e c t i o n s c a n o n i q u e s i p o u r t o u t e s p a r t i e s A de 3 •
( lf) mV( u , P ) e s t la t o p o l o g i e v e c t o r i e l l e la plus fine r e n d a n t c o n - tinue l e s i n j e c t i o n s c a n o n i q u e s i p o u r toutes p a r t i e s A de P . ( lM) mV( u , P ) e s t la t o p o l o g i e v e c t o r i e l l e la plus fine r e n d a n t c o n t i n u e à l ' o r i g i n e l e s i n j e c t i o n s c a n o n i q u e s i p o u r toutes p a r t i e s A de P
f.
* E v , ft . 3- — > F
m ( u , P )
où F e s t un e s p a c e v e c t o r i e l t o p o l o g i q u e q u e l c o n q u e et ( f . ) u n e f a m i l l e d ' a p p l i c a t i o n s l i n é a i r e s de E dans F .
mV( u , P ) e s t la s e u l e t o p o l o g i e v e c t o r i e l l e p o s s é d a n t la p r o p r i é t é :
Topologies mixtes dans le caxde structures vectorielles . . .
(2) ( f . ) é q u i c o n t i n u e (f. o i j u n i f o r m é m e n t é q u i c o n t i -
Jj € J J Aj € J
nue p o u r toute p a r t i e A de 3 .
( 21) ( f , ) é q u i c o n t i n u e ° (f. o i ) é q u i c o n t i n u e p o u r toute
Jj 6 J J A j 6 j
p a r t i e A de 3 .
( 2! l) (f. ) é q u i c o n t i n u e * (f. o i ) é q u i c o n t i n u e à l ' o r i g i n e
J j € J 3 A j € J
p o u r toute p a r t i e A de P .
*- P o u r toute p a r t i e A de P on n o t e la t o p o l o g i e v e c - t o r i e l l e la plus fine sur E ( s o u s e s p a c e v e c t o r i e l de E e n g e n d r é
j
p a r A ) qui r e n d e continue l ' a p p l i c a t i o n ^ £UJ A > E ^ . A l o r s p o u r A c z B o n a E A , uA ^ E _ , u_ a v e c TT continue d o n c (E , u ; TT A) f o r m e un s y s t è m e inductif.
A A A € P
(3) E v , o N e s t la l i m i t e i n d u c t i v e dans la c a t é g o r i e d e s e s p a c e s m (u, P )
v e c t o r i e l s t o p o l o g i q u e s du s y s t è m e inductif d é c r i t c i - d e s s u s .
On a é v i d e m m e n t ( l1) , p o u r o b t e n i r ( l ) et ( l1 1) i l suffit d e v o i r que si p o u r toute p a r t i e A de P l e s i ^ sont c o n t i n u e s à l ' o r i g i n e a l o r s e l l e s sont u n i f o r m é m e n t c o n t i n u e s ; i l faut b i e n r e m a r q u e r c e p e n d a n t que c e l a ne p r o v i e n t p a s du l e m m e c l a s s i q u e qui d i t que si une a p p l i c a t i o n l i n é a i r e f e s t c o n t i n u e à l ' o r i g i n e sur un d i s q u e A a l o r s e l l e e s t u n i f o r m é m e n t c o n t i n u e s u r A c a r i c i on n ' i m p o s e p a s à P d ' ê t r e c o n v e x e a l o r s une b a s e de P e s t en g é n é r a l é q u i l i b r é e m a i s non d i s q u é e . D i r e que i . e s t u n i f o r m é m e n t continue c ' e s t d i r e q u e p o u r tout v o i s i n a g e W de l ' o r i g i n e dans E p o u r m (u, P ) i l e x i s t e un v o i s i n a g e V de l ' o r i g i n e dans E p o u r la t o p o l o g i e u tel que
V(x, y ) € A x A et v é r i f i a n t x - y € V on ait x - y € W ; c e qui s ' o b t i e n t en é c r i v a n t que if î e s t c o n t i n u e à l ' o r i g i n e p o u r l e b o r n é B = A - A . D ' u n e m a n i è r e c l a s s i q u e on d é m o n t r e la p r o p r i é t é ( 2 " ) a l o r s la d é m o n s t r a t i o n p r é c é d e n t e e n t r a î n e (2) et ( 21) . L a d é m o n s t r a t i o n de ( 3 ) d é c o u l e d i r e c t e m e n t d e s définitions de m (u, P ) et d e s l i m i t e s i n d u c t i v e s ; c e t t e p r o p r i é t é e s t
Topologies mixtes dans le cas de structures vectorielles . . ,
a n a l o g u e à c e l l e d é m o n t r é e dans le c a s c o n v e x e par D . J. H. G A R L I N G 2 p r o p . 2 [ 5 ] •
L a p r o p r i é t é ( ll f) m o n t r e que la t o p o l o g i e m i x t e introduite p a r T. P R E C U P A N U dans [ i o ] e s t la t o p o l o g i e mV( u , P ) l o r s q u e la b o r n o l o g i e e n g e n d r é e par la f a m i l l e de p a r t i e s G q u ' i l c o n s i d è r e , e s t v e c t o r i e l l e .
P r o p o s i t i o n 1 - L e s v o i s i n a g e s de l!o r i g i n e de mV( u , P ) sont l e s p a r t i e s U qui v é r i f i e n t l e s deux p r o p r i é t é s suivantes :
(i) V A Ç P 3 V v o i s i n a g e de 0 p o u r u tel que V 0 A c U (ii) 3 (U ) t e l l e que fu v é r i f i e ( i ) V n
n - ) n
n 1 4 | U 3 U i + u , i U i D U ? + u ? r - - u 3 U + U
^ 1 1 1 2 2} n n+1 n+1 L e s p a r t i e s U qui v é r i f i e n t (i) et ( i i ) sont l e s v o i s i n a g e s de 0
d'une t o p o l o g i e v e c t o r i e l l e qui r e n d l e s i c o n t i n u e s à l ' o r i g i n e d o n c c e t t e t o p o l o g i e e s t m o i n s fine que mv( u , P ) d ' a p r è s t h é o r è m e 1 ( 1 " ) ; m a i s tout v o i s i n a g e de 0 p o u r mV( u . P ) v é r i f i e ( i ) et ( i i ) c e qui p e r m e t de c o n c l u r e .
T h é o r è m e 2 - Si P e s t une b o r n o l o g i e à b a s e d é n o m b r a b l e , s o i t ( B ) une n n
b a s e q u e l c o n q u e de P a l o r s l e s p a r t i e s de la f o r m e suivante f o r m e n t un s y s t è m e fondamental de v o i s i n a g e s de 0 p o u r mV( u , P )
00
(1) U ( B . n v , + B n v + . . . + B n V )
, 1 1 c c n n
n = l
00
(2) v n (
n
B + v )o n n n=l
(3) v o n (
n 5
n + vn)n=l
où l e s sont d e s v o i s i n a g e s de 0 p o u r la t o p o l o g i e u , et lfo p é r a t i o n ~ " d é s i g n e la f e r m e t u r e p o u r u .
Topologies mixtes dans le cas de structures vectorielles . • .
L e s p a r t i e s de la f o r m e ( l ) v é r i f i e n t (i) et ( i i ) de la p r o p o s i t i o n 1 ; r é c i p r o q u e m e n t s o i t U v é r i f i a n t (i) et ( i i ) a l o r s on a
U , + U + U , + + U C U V m a i s dfa p r è s ( i ) i l e x i s t e une suite ( V ) de
1 2 3 n n n n
v o i s i n a g e s de 0 de u t e l s que B fl V c U d o n c la p a r t i e
° ^ n n n oo
U ( B n v ,
1 1
+ . . . + B n n n v ) C U .n= l
On v é r i f i e a i s é m e n t que l e s p a r t i e s de la f o r m e ( 2 ) donnent un s y s t è m e fondamental de v o i s i n a g e s de 0 p o u r une t o p o l o g i e v e c t o r i e l l e qui c o ï n c i d e a v e c u sur l e s b o r n é s de P , r é c i p r o q u e m e n t i l faut m o n t r e r qu'une t e l l e p a r t i e c o n t i e n t une p a r t i e du type ( l ) c e qui se fait d'une m a n i è r e analogue à 2 . 3 p . 53, 54 dans [ 1 2 ] , on f e r a j o u e r aux l e r61e que
j o u e n t l e s n U et la c o n v e x i t é n ' i n t e r v i e n t p a s .
oo
P o u r o b t e n i r ( 3) i l suffit de v o i r qu'une p a r t i e V fl ( 0 B + V )
x ' n r o N , n n
n = l
c o n t i e n t une p a r t i e de la f o r m e ( 3 ) ; en effet u étant v e c t o r i e l l e s o i t U q un v o i s i n a g e de 0 de u tel que UQ C V q et s o i t p o u r tout n un v o i s i n a g e U ~ de l ' o r i g i n e p o u r u tel que U + U + U c V a l o r s B + U c
n & ^ n n n n n n
((B + U ) + U ) + U C B + V d o n c n n n n n n
_ oo — 00
U n ( f i B + U ) c v n ( f ï B + V ) o , n n o , n n
n = l n = l
L e t h é o r è m e 2 e s t l ' a n a l o g u e du l e m m e 1 p . 58 [ 11 ] dans l e c a s d e s s t r u c - t u r e s c o n v e x e s .
C o r o l l a i r e : Si P e s t à b a s e d é n o m b r a b l e , mV (u, P ) a d m e t un s y s t è m e f o n d a m e n t a l de v o i s i n a g e s d e l1 o r i g i n e f e r m é s p o u r u
On en déduit a u s s i que mV (u, P ) = mV( u , P ) o ù P d é s i g n e la
b o r n o l o g i e e n g e n d r é e p a r l e s f e r m e t u r e s p o u r u d e s p a r t i e s de P ; m a i s c e r é s u l t a t i m p o r t a n t s ' o b t i e n t d i r e c t e m e n t s a n s aucune h y p o t h è s e de d é n o m b r a - b i l i t é sur P .
Topologies mixtes dans le cas de structures vectorielles . . •
T h é o r è m e 3 - mV (u, 3 ) = mV( u , P )
l .
C ' e s t lfa n a l o g u e du t h é o r è m e 1 [ 5 ] dans l e c a s c o n v e x e , m a i s la d é m o n s t r a t i o n n e peut se f a i r e de la m ê m e m a n i è r e que dans [ 5 ] où on u t i l i s e de m a n i è r e e s s e n t i e l l e l e s s e m i - n o r m e s qui d é f i n i s s e n t une t o p o l o g i e l o c a l e m e n t c o n v e x e , p c p c e qui e n t r a î n e mV( u , P ) plus fine que mV( u , P ) m o n t r o n s la r é c i p r o q u e :
E v , p v i ^ E v , û x
m ( u , P ) 7 m (u, P )
A
 [ u ] S
d ' a p r è s l e t h é o r è m e 1 p a r t i e ( 2n) i e s t continue si et s e u l e m e n t si i o j — e s t continue à l ' o r i g i n e p o u r toute p a r t i e A de P
i o J7 : A [ u ] ——> E v , ft v
JA | A m (u, P )
m a i s d ' a p r è s (1) du t h é o r è m e ( 1 ) i e s t u n i f o r m é m e n t continue p o u r toute p a r t i e A de p d o n c i l e x i s t e un p r o l o n g e m e n t p a r continuité i de A [ U ] dans E m v ^ u l e c o m p l é t é de E m v ( u g j • ^ suffit de m o n t r e r
maintenant que 1^ = i o j j £ ; s o i t x € A , on a p p e l l e B l e b o r n é
IB ~
A U { x } de P . B [ U ] " ~ *EmV( u P ) * B 6 T * A s o n t c o n t i n u e s sur B [ u j e l l e s c o ï n c i d e n t s u r A qui e s t d e n s e d o n c e l l e s sont é g a l e s au point x d o n c i ( x ) = i g ( x ) = x = i o j — ( x ) .
P o u r une t o p o l o g i e v e c t o r i e l l e t q u e l c o n q u e on n o t e r a IB t c o n f o r - m é m e n t à [ ó ] la b o r n o l o g i e c a n o n i q u e a s s o c i é e à la t o p o l o g i e t .
Topologies mixtes dans le cas de structures vectorielles . . .
P r o p o s i t i o n 2 - Si 3 e IB u a l o r s P c B mV (u, P )
I
Soit A un b o r n é de P et s o i t U un v o i s i n a g e de 0 de mV( u , P ), a l o r s i l e x i s t e V un v o i s i n a g e d e 0 de u tel que V fl A c U m a i s
P c B u e n t r a î n e q u ' i l e x i s t e un r é e l o < X S 1 tel que X A e V donc X A c V f l A c U et A e s t b o r n é p o u r mV( u , P ) ; é v i d e m m e n t on s ' e s t l i m i t é p o u r f a i r e l a d é m o n s t r a t i o n aux b o r n é s é q u i l i b r é s de P .
T h é o r è m e 4 - ( l ) Si P c B u et P à b a s e d é n o m b r a b l e a l o r s : B mV( u , P ) = P
(2) Si P c B u e t s i P e s t la b o r n o l o g i e c a n o n i q u e d'une t o p o l o g i e v e c t o r i e l l e T qui a d m e t un s y s t è m e f o n d a m e n t a l de v o i - s i n a g e s de 0 f e r m é s p o u r u a l o r s :
B mV( u , P ) = P
La p r e u v e e s t a n a l o g u e à c e l l e du t h é o r è m e 1.1 [ 1 2 ] qui c o n c e r n e l e c a s c o n v e x e , m a i s la c o n v e x i t é n ' i n t e r v i e n t p a s f o n d a m e n t a l e m e n t , i l suffit
oo
e s s e n t i e l l e m e n t de r e m p l a c e r l e s p a r t i e s d e la f o r m e fl (n V + U) n=l
oo
p a r H V + V + . . . + V + U p o u r v o i r q u ' o n o b t i e n t d e s v o i s i n a g e s d e 0 n=l ^ „ ^
n f o i s p o u r mV( u , P ).
P r o p o s i t i o n 3 - (1) Si P e s t à b a s e d é n o m b r a b l e l e s s u i t e s qui c o n v e r g e n t p o u r Y (u, P ) s o n t e x a c t e m e n t l e s s u i t e s qui c o n v e r g e n t p o u r mV( u , P ) , c ' e s t - à - d i r e que mV (u, P ) t o p o l o g i se l e m o d e d e c o n v e r - g e n c e s é q u e n t i e l Y (u, P ) .
(2) Si P e s t la b o r n o l o g i e c a n o n i q u e d'une t o p o l o g i e v e c t o - r i e l l e T qui a d m e t un s y s t è m e f o n d a m e n t a l de v o i s i n a g e s de 0
Topologi es mixtes dans le cas de structures vectorielles . . .
f e r m é s p o u r u a l o r s mV( u , P ) t o p o l o g i s e l e m o d e de c o n v e r g e n c e s é q u e n t i e l Y(u, 3 ) .
Une suite (x ) qui c o n v e r g e p o u r Y ( u, P ) ou Y(u, P) e s t b o r n é e p o u r P o r m (u, 3 ) = m (u, 3 ) c o ï n c i d e a v e c u sur l e s p a r t i e s b o r n é e s de P d o n c (x ) c o n v e r g e p o u r mV (u, P ) . La r é c i p r o q u e p r o v i e n t du fait que d a n s l e s
n _ c o n d i t i o n s ( l ) ( r e s p : ( 2 ) ) on a B m (u, P ) c p ( r e s p : P ) d ' a p r è s l e
t h é o r è m e 4 ; en effet la c o n d i t i o n P c B u n ' i n t e r v i e n t que p o u r o b t e n i r P c B mV( u , P ) .
§ 2 - C O M P A R A I S O N DE mV( u , P ) et mg( u , P )
L e m o d e de c o n v e r g e n c e s é q u e n t i e l Y(u, P ) (noté Y l o r s q u ' a u c u n e confusion n ' e s t à c r a i n d r e ) fait de E un e s p a c e de type L au s e n s de [ 72 . A l o r s d'une m a n i è r e standard on a p p e l l e p a r t i e Y - f e r m é e toute p a r t i e d e E
qui contient l e s l i m i t e s de s e s s u i t e s c o n v e r g e a n t e s p o u r Y ; et la t o p o l o g i e de la Y - f e r m e t u r e e s t la t o p o l o g i e obtenue en p r e n a n t c o m m e f a m i l l e de p a r t i e s f e r m é e s la f a m i l l e d e s p a r t i e s Y - f e r m é e s . Cette t o p o l o g i e e s t i n v a -
riante p a r h o m o t h é t i e et t r a n s l a t i o n i l suffit d o n c de c o n n a î t r e un s y s t è m e f o n - damental de v o i s i n a g e s de l ' o r i g i n e , on peut en o b t e n i r une c o n s t r u c t i o n e f f e c t i v e , par la m é t h o d e d e s " c h a î n e s c o h é r e n t e s " e x p o s é e dans [8*3 où u et P
sont c o n v e x e s , m a i s la c o n v e x i t é n ' i n t e r v i e n t p a s p o u r c e s c o n s i d é r a t i o n s s u r la t o p o l o g i e de la Y - f e r m e t u r e .
P r o p o s i t i o n 4 - Si u e s t m é t r i s a b l e (ou plus g é n é r a l e m e n t si l e s r e s t r i c t i o n s de u aux p a r t i e s d'une b a s e de P sont s é q u e n t i e l l e s ) a l o r s la
t o p o l o g i e mg( u , P ) et la t o p o l o g i e de la Y - f e r m e t u r e c o ï n c i d e n t .
On r a p p e l l e q u ' o n dit qu'une t o p o l o g i e e s t s é q u e n t i e l l e si toute p a r t i e s é q u e n t i e l l e m e n t f e r m é e e s t f e r m é e ; la d é m o n s t r a t i o n de la p r o p o s i t i o n 4 s e fait en m o n t r a n t que l e s deux t o p o l o g i e s o n t l e s m ê m e s p a r t i e s f e r m é e s .
Topologi es mixtes dans le cas de structures vectorielles . . .
La p r o p o s i t i o n 4 donne une i n t e r p r é t a t i o n o r i g i n a l e de l a t o p o l o g i e mg( u , P) qui dans [ 8 J n o u s p e r m e t d e m o n t r e r p a r un e x e m p l e que
mg( u , P ) e s t s t r i c t e m e n t plus fine q u e mV( u , P ) m ê m e dans d e s c a s t r è s p a r t i c u l i e r s t e l s que l e s " t w o - n o r m s p a c e s1 1 o ù u et P p r o v i e n n e n t de n o r m e s .
T h é o r è m e 5 - u étant m é t r i s a b l e si P a d m e t une b a s e d é n o m b r a b l e f o r m é e de p a r t i e s c o m p a c t e s p o u r u a l o r s mg( u , P ) = mV( u , P ).
Ce t h é o r è m e dans l e c a s c o n v e x e e s t donné dans [ 11 ] et d é c o u l e du t h é o r è m e de B a n a c h - D i e u d o n n é qui fait i n t e r v e n i r la d u a l i t é , i l faut d o n c d o n n e r i c i une a u t r e d é m o n s t r a t i o n . S o i t (B ) une b a s e d e P f o r m é e de
n
p a r t i e s c o m p a c t e s p o u r u et s o i t U tin v o i s i n a g e d e 0 o u v e r t p o u r mg( u , P ) a l o r s i l e x i s t e V un v o i s i n a g e de 0 f e r m é p o u r u tel que
B^ 0 car sur B^ l e s t o p o l o g i e s u et m6( u , P ) c o ï n c i d e n t ; on fait un r a i s o n n e m e n t p a r r é c u r r e n c e : s o i t V , V . . . V t e l s que
B fl V + B fl V + . . . + B fl V c U et m o n t r o n s q u ' i l e x i s t e un v o i s i n a g e
X i . £ £ Jx. IV.
de 0 f e r m é p o u r u V ^+ 1 tel que B fl V + . . . +B k n v k + B k + 1 n v k + j c U • u étant m é t r i s a b l e s o i t (W ) un s y s t è m e fundamental d e v o i s i n a g e s de 0 ,
n
s i on ne p o u v a i t t r o u v e r l e v o i s i n a g e c h e r c h é a l o r s
B , fl V_ + B n v0 + . • . + B , nV, + B, , , n W s e r a i t non contenu dans U
1 1 2 2 k k k+1 n
p o u r tout n , i l e x i s t e r a i t une suite ( x + y ) t e l l e que n
x € B O V , + . . . + B, n v . ; y € B, . . fl W. . . et x + y ^ U p o u r tout
n i l k k ' n k+1 k+1 n 7n
n . L a p a r t i e B^f)+ . . . + B ^ fl Vf c étant c o m p a c t e p o u r u i l e x i s t e une s o u s suite (x ) qui c o n v e r g e v e r s un de s e s p o i n t s x ; la suite (y ) c o n -
r n r
v e r g e en 0 p o u r u ; d o n c l a s o u s suite (x + y ) c o n v e r g e v e r s x p o u r
n n r r
r
u ; m a i s c e t t e suite a p p a r t i e n t à B^ + B^ + . • . + qui e s t b o r n é e p o u r P ,
Topologies mixtes dans le cas de structures vectorielles . • .
sur un t e l l e p a r t i e l e s t o p o l o g i e s u et mg( u , P ) c o ï n c i d e n t d o n c la suite (x + y ) de p o i n t s qui n ' a p p a r t i e n n e n t p a s à U c o n v e r g e v e r s x
r n r r
appartenant à U p o u r mg (u, P ) c e qui e s t en c o n t r a d i c t i o n a v e c l e fait que U s o i t o u v e r t p o u r mg( u , P ) . A l o r s on peut f o r m e r la p a r t i e
oo
U (B flV + , , , + B Í 1 V ) qui e s t contenue dans U c e qui a c h è v e la
, 1 1 n n
n= 1
d é m o n s t r a t i o n d ' a p r è s ( l ) du t h é o r è m e 2 .
P r o p o s i t i o n 5 - u étant m é t r i s a b l e , si P a d m e t une b a s e d é n o m b r a b l e f o r m é e de p a r t i e s f e r m é e s p o u r u ou si P e s t la b o r n o l o g i e c a n o n i q u e
d'une t o p o l o g i e v e c t o r i e l l e qui a d m e t un s y s t è m e f o n d a m e n t a l de v o i s i n a g e s de 0 f e r m é s p o u r u a l o r s on a é q u i v a b l e m e n t :
(a) m g (u, P ) = mv( u , P )
(b) mV( u , P ) e s t une t o p o l o g i e s é q u e n t i e l l e .
Dans c e t t e p r o p o s i t i o n 5 c o m m e dans la suivante o n p o u r r a i t g é n é - r a l i s e r un peu en r e m p l a ç a n t : l !u m é t r i s a b l e1 1 p a r : "p a d m e t une b a s e t e l l e que l e s r e s t r i c t i o n s de u aux p a r t i e s de cette b a s e sont s é q u e n t i e l l e s1 1, La t o p o l o g i e mg( u , P ) e s t s é q u e n t i e l l e c a r e l l e e s t é g a l e à la t o p o l o g i e de l a Y - f e r m e t u r e d ' a p r è s la p r o p o s i t i o n 4 , d ' a u t r e p a r t l e s s u i t e s qui c o n v e r g e n t p o u r la t o p o l o g i e de la Y - f e r m e t u r e , sont l e s suites t e l l e s que : de t o u t e s
s o u s - s u i t e s , on p u i s s e e x t r a i r e une s o u s - s u i t e qui c o n v e r g e p o u r Y d ' a p r è s l e t h é o r è m e de K i s y n s k i p . 209 dans [ 7 ] ; a v e c l e s c o n d i t i o n s de la p r o p o -
sition 5 c e sont l e s suites qui c o n v e r g e n t p o u r Y d o n c p o u r mV( u , P ) d ' a p r è s la p r o p o s i t i o n 3 ; a l o r s mg( u , P ) et mV( u , P ) ont d o n c l e s m ê m e s s u i t e s
c o n v e r g e n t e s , c e qui p e r m e t de c o n c l u r e .
P r o p o s i t i o n 6 - u étant m é t r i s a b l e et P à b a s e d é n o m b r a b l e c o n t e n u e d a n s B u s ' i l e x i s t e une p a r t i e de P telle que sa f e r m e t u r e p o u r u
Topologies mixtes dans le cas de structures vectorielles • . .
n ' a p p a r t i e n n e p l u s à P a l o r s mg( u , P ) e s t s t r i c t e m e n t plus fine que mV( u , P ).
Soit ( B ^ ) une b a s e de P et A une p a r t i e de P t e l l e que A ne s o i t p l u s b o r n é e p o u r P a l o r s A <t n B V , d o n c il e x i s t e une suite (x )
n n n
x n d ' é l é m e n t s de A t e l l e que ( — ) n e s o i t p a s b o r n é e p o u r P , c e qui e n t r a î n e
x n
que la suite ( ~ ) n e c o n v e r g e p a s p o u r Y (u, P ) d o n c p o u r mg( u , P ) d ' a p r è s
n _ l e début de la d é m o n s t r a t i o n de la p r o p o s i t i o n 5 ; m a i s A e s t b o r n é e p o u r u
xn _
la suite ( — ) c o n v e r g e d o n c p o u r u , étant b o r n é e p o u r P e l l e c o n v e r g e n
p o u r Y (u, P ) d o n c p o u r mV( ut P ) = mV( u , P ) d ' a p r è s la p r o p o s i t i o n 3 et l e t h é o r è m e 3 ; c e qui a c h è v e la d é m o n s t r a t i o n .
L e s r é s u l t a t s du p a r a g r a p h e 2 f o r m e n t la b a s e de la c o n f é r e n c e d o n n é e aux j o u r n é e s d ' a n a l y s e f o n c t i o n n e l l e de B o r d e a u x o ù n o t r e but était e s s e n t i e l l e m e n t d ' o b t e n i r un e s p a c e b i - n o r m e d a n s l e q u e l
m g (u, P ) ^ mV( u , P ) ; p o u r s i m p l i f i e r la p r é s e n t a t i o n n o u s a v i o n s i m p o s é à u et P d ' ê t r e d e s s t r u c t u r e s c o n v e x e s , a l o r s d è s que P e s t à b a s e d é n o m b r a b l e l ' é t u d e se r a m è n e à m ( u , P ) c a r m ( u , P ) = mV( u , P ) [ 8 ] .
oOo
Topologies mixtes dans le cas de structures vectorielles . • .
B I B L I O G R A P H I E
[ l ] A L E X I E W I C Z A . and SEMADENI Z . - L i n e a r functionals on the t w o - n o r m s p a c e s [Studia Math. 17 (1958) 1 2 1 - 1 4 0 ] .
[ 2 ] A L E X I E W I C Z A . and S E M A D E N I Z . - The t w o - n o r m s p a c e s and t h e i r conjugate s p a c e s [ Studia. Math. 18 (1959) 2 7 5 - 2 9 3 ] . [ 3 ] A L E X I E W I C Z A . and SEMADENI Z . - S o m e p r o p e r t i e s o f the t w o - n o r m
s p a c e s and a c h a r a c t e r i z a t i o n of r e f l e x i v i t y o f B a n a c h s p a c e s [ S t u d i a Math. 19 ( i 9 6 0 ) 1 1 5 - 1 3 2 ] .
[ 4 ] A RIMA S. and ORIHARA M . - G e n e r a l i z a t i o n of the m i x e d t o p o l o g y [ Y o k o h a m a Math. Journal 12 (1964) 6 3 - 6 8 ] .
[ 5 ] G A R L I N G DJH. - A g e n e r a l i z e d f o r m o f inductive l i m i t t o p o l o g y f o r v e c t o r s p a c e s [ P r o c . L o n d o n . Math. S o c . 3 . 1 4 (1964)
1 - 2 8 ] .
[ 6 ] H O G B E - N L E N D H. - T h é o r i e d e s h o m o l o g i e s et a p p l i c a t i o n s [ L e c t u r e N o t e s in M a t h e m a t i c s n ° 2 1 3 ] .
[ 7 ] KISYNSKI J. - C o n v e r g e n c e de type L [ C o l l o q u i u m M a t h e m a t i c u m V o l . 7 f a s c . 2 (1960) 2 0 5 - 2 1 l ] .
[ 8 ] P E R R O T B . - Sur la c o m p a r a i s o n entre d i f f é r e n t e s t o p o l o g i e s m i x t e s dans l e s e s p a c e s b i - n o r m é s [ à p a r a î t r e ] .
[ 9 ] PERSSON A . - A g e n e r a l i z a t i o n o f t w o - n o r m s p a c e s [ A r k i v f o r M a t h e m a - tik 5 (1963) 2 7 - 3 6 ] .
[ l u ] P R E C U P A N U T . - R e m a r q u e s sur l e s t o p o l o g i e s m i x t e s [ A n n . Str. U n i v .
" A l l I C u z a1 1 la s o S e c t I. a. Mat. 13 (1967) 2 7 7 - 2 8 4 ] . [ i l ] R O E L C K E W. - On the f i n e s t l o c a l l y c o n v e x t o p o l o g y a g r e e i n g with
a given t o p o l o g y on a s e q u e n c e of a b s o l u t e l y c o n v e x s e t s [ M a t h . Annalen 1 9 8 (1972) 5 7 - 8 0 J .
[ l 2 ] W I W E G E R A . - L i n e a r s p a c e s with m i x e d t o p o l o g y [ Studia. Math. 20
( 1 9 6 1 ) 4 7 - 6 8 ] .
0O0
