Etuded’uneéquationdifférentiellequasi-linéaireabstraitesingulière Présentéparl’étudiant:MohamedMERABETSousladirectionduProfesseur:B.K.SADALLAH MÉMOIREDEMAGISTER

(1)

Pr ésent é par l’ étudiant : Mohamed MERABET Sous la direction du Professeur : B.K. SADALLAH

Etude d’une équation diff érentielle quasi-lin éaire abstraite singuli ère

M. MERABET Soutenance , 20 Juin 2007

(2)

Soutenance , 20 Juin 2007 M. MERABET

Notations et pr éliminaires Introduction Le probl ème lin éaire de Cauchy et l’op érateur d’ évolution Le probl ème quasi-lin éaire de Cauchy Applications Perspectives Bibliographie

.

1 Notations et pr ´eliminaires

2 Introduction

3 Le probl ème de Cauchy et l’op érateur d’ évolution

4 Le probl `eme quasi-lin ´eaire de Cauchy singulier

5 Applications

6 Perspectives

(3)

.

1 Notations et pr ´eliminaires

2 Introduction

3 Le probl ème de Cauchy et l’op érateur d’ évolution

4 Le probl `eme quasi-lin ´eaire de Cauchy singulier

5 Applications

6 Perspectives

(4)

.

1 Notations et pr ´eliminaires

2 Introduction

3 Le probl ème de Cauchy et l’op érateur d’ évolution

4 Le probl `eme quasi-lin ´eaire de Cauchy singulier

5 Applications

6 Perspectives

(5)

.

1 Notations et pr ´eliminaires

2 Introduction

3 Le probl ème de Cauchy et l’op érateur d’ évolution

4 Le probl `eme quasi-lin ´eaire de Cauchy singulier

5 Applications

6 Perspectives

(6)

.

1 Notations et pr ´eliminaires

2 Introduction

3 Le probl ème de Cauchy et l’op érateur d’ évolution

4 Le probl `eme quasi-lin ´eaire de Cauchy singulier

5 Applications

6 Perspectives

(7)

.

1 Notations et pr ´eliminaires

2 Introduction

3 Le probl ème de Cauchy et l’op érateur d’ évolution

4 Le probl `eme quasi-lin ´eaire de Cauchy singulier

5 Applications

6 Perspectives

(8)

.

1 Notations et pr ´eliminaires

2 Introduction

3 Le probl ème de Cauchy et l’op érateur d’ évolution

4 Le probl `eme quasi-lin ´eaire de Cauchy singulier

5 Applications

6 Perspectives

(9)

pr éliminaires Introduction Le probl ème lin éaire de Cauchy et l’op érateur d’ évolution Le probl ème quasi-lin éaire de Cauchy Applications Perspectives Bibliographie

Notations et pr ´eliminaires

(10)

Notations et pr ´eliminaires

Introduction Le probl ème lin éaire de Cauchy et l’op érateur d’ évolution Le probl ème quasi-lin éaire de Cauchy Applications Perspectives Bibliographie

E 0 , E 1 deux espaces de Banach tels que E 1 ⊂ E 0 avec injection continue et E ₁ = E ₀ .

On note par H(E ₁ , E 0 ) l’ensemble des

A ∈ L(E 1 , E 0 ) tels que, D(A) = E 1 et (−A) est un g én érateur infinit ésimal d’un semi-groupe analytique {e ^−tA , t ≥ 0}.

Le semi-groupe T A est dit d ´ecroissant exponentiellement s’il v ´erifie

(∗)...kT _A (t)k _L(E

₀

₎ ≤ Me ^−ωt , t ≥ 0

(11)

E 0 , E 1 deux espaces de Banach tels que E 1 ⊂ E 0 avec injection continue et E ₁ = E ₀ .

On note par H(E ₁ , E 0 ) l’ensemble des

A ∈ L(E 1 , E 0 ) tels que, D(A) = E 1 et (−A) est un g én érateur infinit ésimal d’un semi-groupe analytique {e ^−tA , t ≥ 0}.

Le semi-groupe T A est dit d ´ecroissant exponentiellement s’il v ´erifie

(∗)...kT _A (t)k _L(E

₀

₎ ≤ Me ^−ωt , t ≥ 0

(12)

.

Le sous-ensemble de H(E ₁ , E 0 ) form é des g én érateurs infinit ésimaux de semi-groupes v érifiant (∗) est not é H ⁻ (E 1 , E 0 ).

Pour k > 0, on pose

C k (J , E 0 ) := {f : J −→ E 0 \[t 7−→ t ^k f (t )] ∈ C(J, E 0 )}, o `u J ⊂ R ⁺ un intervalle contenant 0.

(13)

.

Le sous-ensemble de H(E ₁ , E 0 ) form é des g én érateurs infinit ésimaux de semi-groupes v érifiant (∗) est not é H ⁻ (E 1 , E 0 ).

Pour k > 0, on pose

C k (J , E 0 ) := {f : J −→ E 0 \[t 7−→ t ^k f (t )] ∈ C(J, E 0 )}, o `u J ⊂ R ⁺ un intervalle contenant 0.

(14)

.

Soit F un ensemble non vide. Pour k ∈ (1, +∞) et m ∈ R ⁺ , on pose

C _k ^m (J , F ) := {f ∈ C ^m ( ˙ J , F )\[t 7−→ t ^k f (t)] ∈ C ^m (J, F )},

o `u J ˙ := J \{0}.

C ¹⁻ (E 1 , E 0 ) := {u : E 1 → E 0 )\u est lipschitzienne}

(15)

.

Soit F un ensemble non vide. Pour k ∈ (1, +∞) et m ∈ R ⁺ , on pose

C _k ^m (J , F ) := {f ∈ C ^m ( ˙ J , F )\[t 7−→ t ^k f (t)] ∈ C ^m (J, F )},

o `u J ˙ := J \{0}.

C ¹⁻ (E 1 , E 0 ) := {u : E 1 → E 0 )\u est lipschitzienne}

(16)

Introduction

(17)

Les équations diff érentielles abstraites du premier ordre ont ét é étudi ées par de nombreux auteurs, parmi lesquels on trouve

T. Kato (≈ 1950), P. S. Sobolevskii (≈ 1960),

H. Tanabe (≈ 1970), H. Amann, (≈ 1980, 1990, 2000) et P. Guidotti (≈ 1990, 2000).

(18)

Notre travail a pour objet l’ étude d’une équation diff érentielle lin éaire abstraite

Equation

u ⁰ + A(t )u = f (t ), t ∈ J \{0}, (1)

Hypoth `eses du Probl `eme (1)

A ∈ C _k ^ρ (J , H ⁻ (E 1 , E 0 )), (avec 0 < ρ < 1 et k > 1), f ∈ C k−1 (J, E 0 ),( avec k > 1).

(19)

Notre travail a pour objet l’ étude d’une équation diff érentielle lin éaire abstraite

Equation

u ⁰ + A(t )u = f (t ), t ∈ J \{0}, (1)

Hypoth `eses du Probl `eme (1)

A ∈ C _k ^ρ (J , H ⁻ (E 1 , E 0 )), (avec 0 < ρ < 1 et k > 1), f ∈ C k−1 (J, E 0 ),( avec k > 1).

(20)

Notre travail a pour objet l’ étude d’une équation diff érentielle lin éaire abstraite

Equation

u ⁰ + A(t )u = f (t ), t ∈ J \{0}, (1)

Hypoth `eses du Probl `eme (1)

A ∈ C _k ^ρ (J , H ⁻ (E 1 , E 0 )), (avec 0 < ρ < 1 et k > 1), f ∈ C k−1 (J, E 0 ),( avec k > 1).

(21)

et l’ équation diff érentielle quasi-lin éaire abstraite Equation

u ⁰ + A(t , u)u = F (t , u), t ∈ J\{0}.

(2)

Hypoth `eses du Probl `eme (2)

A ∈ C _k ^ρ,1− (J × X α , H ⁻ (E 1 , E 0 )), (avec k > 1). i.e., A(., u) ∈ C _k ^ρ (J, H ⁻ (E 1 , E 0 )), pour u fix ´e dans X α

et

A(t, .) ∈ C ¹⁻ (X α , H ⁻ (E 1 , E 0 )), pour t fix ´e dans J,

o `u J est un intervalle dans

^{M. MERABET} Soutenance , 20 Juin 2007

R ⁺ , contenant 0.

(22)

et l’ équation diff érentielle quasi-lin éaire abstraite Equation

u ⁰ + A(t , u)u = F (t , u), t ∈ J\{0}.

(2)

Hypoth `eses du Probl `eme (2)

A ∈ C _k ^ρ,1− (J × X α , H ⁻ (E 1 , E 0 )), (avec k > 1). i.e., A(., u) ∈ C _k ^ρ (J, H ⁻ (E 1 , E 0 )), pour u fix ´e dans X α

et

A(t, .) ∈ C ¹⁻ (X α , H ⁻ (E 1 , E 0 )), pour t fix ´e dans J,

o `u J est un intervalle dans

^{M. MERABET} Soutenance , 20 Juin 2007

R ⁺ , contenant 0.

(23)

.

F ∈ C _k ^0,1− _,b (J × X α , E β )( avec 0 < β < α < 1 et k > 1)

i.e., F ∈ C _k ^0,1− (J × X α , E β ) et F est born é sur tout sous-ensemble born é de J × X _α . o ù J est un intervalle dans R ⁺ , contenant 0.

(24)

.

F ∈ C _k ^0,1− _,b (J × X α , E β )( avec 0 < β < α < 1 et k > 1)

i.e., F ∈ C _k ^0,1− (J × X α , E β ) et F est born é sur tout sous-ensemble born é de J × X _α . o ù J est un intervalle dans R ⁺ , contenant 0.

(25)

Le probl ème lin éaire de Cauchy et l’op érateur d’ évolution

(26)

Le probl `eme lin ´eaire de Cauchy

Pour k > 1 et ρ ∈ (0, 1), on suppose (3) A ∈ C _k ^ρ (J , H ⁻ (E 1 , E 0 )) (4) f ∈ C k−1 (J , E 0 )

et on consid `ere le probl `eme de Cauchy suivant : (P C ) _A, _f

( u ⁰ + A(t )u = f (t), t ∈ J\{0}, u(0) = 0.

(27)

On pose

J ∆ := {(t , s) ∈ J × J : s ≤ t}, J _∆ ^∗ := {(t , s) ∈ J × J : s < t}.

D ´efinition 01

On appelle op érateur d’ évolution ( Solution fondamentale, Propagateur) associ é au Probl ème (P C) A, f l’op érateur

U A : J ∆ −→ L(E 0 ) v érifiant les propri ét és suivantes:

(28)

.

i) U _A (t , s)U _A (s, r ) = U _A (t, r ), U _A (s, s) = I, r ≤ s ≤ t , (t, s) ∈ J ∆ .

ii) U _A (t , s) ∈ L(E ₀ , E ₁ ), pour (t , s) ∈ J ∆ . iii) t 7−→ U _A (t , s) est diff ´erentiable sur ]s, t]

dans L(E ₀ ), et _∂t ^∂ U _A (t, s) = −A(t)U _A (t, s), (t, s) ∈ J _∆ ^∗ .

iv) _∂s ^∂ U A (t , s)x = U A (t , s)A(s)x , pour (t , s) ∈ J ∆

et x ∈ E ₁ .

(29)

Corollaire 01

Supposons que A ∈ C ^ρ (J , H(E ₁ , E 0 )) pour tout ρ ∈ (0, 1), alors il existe un op ´erateur d’ ´evolution U A

unique associ ´e au Probl `eme (P C) A, f .

(30)

Soit E, F deux espaces de Banach, α ∈ R . D ´efinition 02

On note par R(E , F , α) l’espace de Fr ´echet (espace localement convexe, m ´etrisable et complet) suivant

R(E, F , α) := {k ∈ C(J _∆ ^∗ , L(E , F )) : kk k _(α),T < +∞}

o `u

kk k _(α),T := sup

0≤s<t ≤T

(t − s) ^α kk (t , s)k _L(E,F ₎ , T ∈ J ˙

Notation: Si E = F , on pose R(E , E, α) := R(E, α).

(31)

Th ´eor `eme 01

Soit α, β ∈ [0, 1), et h ∈ R(E , α). Alors

Pour tout a ∈ R(E , F , α), l’ ´equation lin ´eaire de Volterra u = a + u ∗ h admet une solution unique

u ∈ R(E , F , α), telle que u = a + a ∗ ω, o `u

w := X

n≥1

h ∗ ... ∗ h

| {z }

n fois

. et

a ∗ ω(t, s) :=

Z t s

a(t, τ )ω(τ, s)d τ.

(32)

Corollaire 02 Si on pose

(5)



 



 



u(t, τ ) := U _A (t , τ) a(t, τ ) := e ^{−(t−τ)A(τ)}

h(t , τ) := [A(τ ) − A(t)]e ^{−(t−τ)A(τ)} u ∗ h(t , τ ) := R t

0 u(t, σ)h(σ, τ )d σ

l’ ´equation

U A (t, τ ) = e ^{−(t−τ)A(τ)} − R t

τ U A (t , σ)[A(σ) − A(τ)]e ^{−(σ−τ)A(τ)} dσ

devient

u = a + u ∗ h.

(6)

(33)

.

Alors, d’apr ès le Th éor ème 01, l’ équation

(6) admet une solution unique U A ∈ R(E 0 , 0) donn ´ee par U A = a + a ∗ ω.

(34)

D ´efinition 03

Soit E un espace de Banach, M ≥ 1 et σ ∈ R . On d ésigne par G(E, M , σ) l’ensemble des A ∈ C (E ), tels que (−A) est un g én érateur infinit ésimal d’un semi-groupe fortement continu {e ^−tA , t ≥ 0}

satisfaisant `a ke ^−tA k L(E ) ≤ Me ^σt .

(35)

Remarque 01

Soit A ∈ C _k ^ρ (J , H ⁻ (E 1 , E 0 )). Alors il existe deux constantes M ≥ 1 et ω ₀ > 0 tels que

t ^k A(t ) ∈ G(E i , M, −ω 0 ) t ∈ J , i = 0, 1.

(36)

Lemme 01

Soit A ∈ C _k ^ρ (J , H ⁻ (E 1 , E 0 )). On suppose que 0 ≤ β ≤ α ≤ 1 et β < min{ρ, _k ¹

0

}. Alors il existe une constante c > 0, telle que

kU _A (t, τ )k _L(E

_β

_,E

_α

₎ ≤ c τ ^k ^(α−β)

(t − τ) ^(α−β) , t ∈ J\{0}, τ ∈ (0, t ), o `u k ⁰ est l’exposant conjugu ´e de k .

(37)

On a aussi la proposition essentielle suivante Proposition 01

Soit A ∈ C _k ^ρ (J , H ⁻ (E 1 , E 0 )). Alors pour t > 0 et α ∈ [0, 1], on a

τ −→ 0

U A (t , τ ) −→ 0 dans L(E 0 , E _α ).

(38)

Proposition 02

Soit A ∈ C _k ^ρ (J , H ⁻ (E 1 , E 0 )) et f ∈ L 1,Loc (J, E 0 ). Alors il existe un op ´erateur d’ ´evolution unique U A tel que

u(t ) = Z t

0 U A (t, τ )f (τ )dτ.

(7)

est une solution du Probl `eme (P C) A, f .

(39)

Proposition 03

Supposons que A ∈ C _k ^ρ (J , H ⁻ (E 1 , E 0 )) et f ∈ C k−1 (J , E 0 ) . Alors

u(.) = Z .

0 U A (., τ )f (τ)d τ ∈ C ^ν (J, E α ) (8)

o `u α ∈ [ _k ¹

0

, 1) et 0 ≤ ν < min{α, (1 − α)}.

Pour voir la d ´emonstration de cette proposition on a besoin du lemme suivant :

(40)

Lemme 02

Supposons que A ∈ C _k ^ρ (J , H ⁻ (E 1 , E 0 )) et α ∈ (0, 1).

Alors

kU _A (t, τ ) − U A (r , τ )k 0−→α ≤ c(t, r , τ )τ ^kα (t − r ) o `u

< min{α, (1 − α)}

et

c(t , r , τ ) = const[ (t − r ) ^α−

(t − τ ) ^α (r − τ ) ^α +(t −τ) ^1−α− (r −τ ) ¹⁻ ^ρ ^e +1]

(41)

pr éliminaires Introduction Le probl ème lin éaire de Cauchy et l’op érateur d’ évolution Le probl ème quasi-lin éaire de Cauchy

Applications Perspectives Bibliographie

Le probl `eme quasi-lin ´eaire de Cauchy

(42)

Notations et pr éliminaires Introduction Le probl ème lin éaire de Cauchy et l’op érateur d’ évolution Le probl ème quasi-lin éaire de Cauchy

On s’int éresse à l’ étude du probl ème de Cauchy quasi-lin éaire suivant :

u ⁰ + A(t, u)u = F (t , u), t ∈ J \{0} (P C Q) A,F

o `u

A ∈ C _k ^ρ,1− (J × X α , H ⁻ (E 1 , E 0 )), (9)

et

F ∈ C _k,b ^0,1− (J × X α , E β ), 0 < β < α < 1.

(10)

(43)

Th ´eor `eme 02

Supposons que les hypoth èses (9)-(10) sont v érifi ées, alors il existe T > 0, tel que le Probl ème (P C Q) A,F admet une solution unique

u ∈ C([0, T ], X _α ) qui est le point fixe de la formule de variation de la constante suivante :

u(t ) = Z t

0 U A(.,u) (t, τ )F (τ, u(τ))d τ.

(44)

.

De plus, on a

u ∈ C ^δ ([0, T ], E ) ∩ C((0, T ], E 1 ) ∩ C ¹ ((0, T ], E 0 ) o `u , δ ∈ (0, 1), tel que ≥ _k ¹

0

et δ < min{, (1 − )}.

La preuve de ce th éor ème n écessite les r ésultats pr éliminaires suivants :

(45)

Corollaire 03

Supposons que A ∈ C _k ^ρ (J , H ⁻ (E 1 , E 0 )) et f ∈ C k−1 (J , E 0 ). Alors il existe deux constantes δ, % ∈ (0, 1), tels que

ku(t ) − u(s)k _α ≤ c t ^% |t − s| ^δ , 0 ≤ s ≤ t ∈ J o `u u est une solution du Probl `eme (P, C) A, f .

(46)

Lemme 03

On suppose que A, B ∈ C _k ^ρ (J, H ⁻ (E 1 , E 0 )) et f , g ∈ C k−1 (J, E β ). Soit α ∈ [ _k ¹

0

, 1) et β ∈ (0, min{ρ, _k ¹

0

}) tels

que α − β > ^k−2 _k−1 avec k > 2.

De plus, soit u, v des solutions de (P C) A, f , (P C ) _B, _g respectivement. Alors

ku(t ) − v (t )k _α ≤ c t (k−1)(α−β)−k+2 (kA − Bk C

_k

+ kf − gk C

_k−1

).

(47)

Dans ce qui suit, d ´esignons par Φ(u) l’application suivante :

Φ(u)(t ) :=

Z t 0

U A(.,u) (t, τ )F (τ, u(τ))d τ, t ∈ J.

o `u u ∈ C ^δ (J, E α ), tel que δ v ´erifie la condition du Corollaire 03, et B C

^δ

(J,E

α

) (0, R) la boule ferm ´ee de centre 0 et de rayon R dans C ^δ (J , E α ).

Voyons à pr ésent quelques propri ét és de Φ(u).

(48)

Lemme 04

Supposons que les conditions (9) et (10) sont v ´erifi ´ees. Soit δ ∈ (0, 1) et α, β du Lemme 03. Alors il existe une constante R > 0 telle que pour tout u, v ∈ B C

^δ

(J ,E

α

) (0, R), on a

kΦu(t)k α ≤ c t (k−1)(α−β)−k+2

et

kΦu(t) − Φv (t)k α ≤ c t (k−1)(α−β)−k+2 ku − v k _C(J,E

_α

) , o `u c est une constante ne d ´ependant pas de u et v .

(49)

Th ´eor `eme du point fixe de Banach

Soit T un op érateur d’un espace de Banach E dans lui-m ême. Supposons qu’il existe une constante c v érifiant 0 < c < 1 telle que

kTu − Tv k _E ≤ cku − v k _E , ∀u, v ∈ E .

Alors, l’op ´erateur T poss `ede un point fixe unique, i.e., il existe u ∈ E , unique, tel que

Tu = u.

(50)

pr éliminaires Introduction Le probl ème lin éaire de Cauchy et l’op érateur d’ évolution Le probl ème quasi-lin éaire de Cauchy Applications

Perspectives Bibliographie

Applications

(51)

Application 01:

Probl èmes paraboliques lin éaires, non homog ènes

(52)

Notations et pr éliminaires Introduction Le probl ème lin éaire de Cauchy et l’op érateur d’ évolution Le probl ème quasi-lin éaire de Cauchy Applications

Supposons que

A , B ∈ C _k ^ρ (J , E ^% (Ω)), ( avec ρ ∈ (0, 1)) (11)

o `u % ∈ [ ¹ ₂ , 1] tel que γ ∈ [1 − %, ^% ₂ ] Supposons pour σ ∈ [0, 1] que

f , g ∈ C _k−1 ^σ (J , S _p, ^2γ−2 _B _(t) × ∂S _p ^2γ ), (12)

(53)

Supposons que

A , B ∈ C _k ^ρ (J , E ^% (Ω)), ( avec ρ ∈ (0, 1)) (11)

o `u % ∈ [ ¹ ₂ , 1] tel que γ ∈ [1 − %, ^% ₂ ] Supposons pour σ ∈ [0, 1] que

f , g ∈ C _k−1 ^σ (J , S _p, ^2γ−2 _B _(t) × ∂S _p ^2γ ), (12)

(54)

On consid ère le probl ème parabolique à valeurs initiales, singulier suivant :

.







u ⁰ + A (t )u = f (t ) dans Ω × J\{0}, B (t )u = g(t ) sur Γ × J\{0}.

(13)

(55)

Alors .

le Probl `eme (13) admet une solution unique u telle que u ∈ C ^ν (J , S ^2γ−2+2µ _p, _B ),

pour 0 ≤ ν < min{µ, (1 − µ)} < 1, tel que ν ≥ _k ¹

0

.

(56)

Application 02:

Probl `eme parabolique quasi-lin ´eaire aux limites

(57)

Soit γ ∈ ( _2p ¹ , ¹ ₂ + _2p ¹ ) et α, β ∈ (0, 1) telles que 0 < β < α < 1.

Supposons que

A , B ∈ C _k ^ρ,1− (J × S _p, ^2γ−2+2α _B , E ^% (Ω)) (14)

pour % ∈ [ ¹ ₂ , 1], tel que γ ∈ [1 − 1%, %]

f , g ∈ C _k ^ρ,1− ₋₁ (J × S ^2γ−2+2α _p, _B , S ^2γ−2+2β _p, _B × ∂S _p ^2γ+2β ) (15)

(58)

Soit γ ∈ ( _2p ¹ , ¹ ₂ + _2p ¹ ) et α, β ∈ (0, 1) telles que 0 < β < α < 1.

Supposons que

A , B ∈ C _k ^ρ,1− (J × S _p, ^2γ−2+2α _B , E ^% (Ω)) (14)

pour % ∈ [ ¹ ₂ , 1], tel que γ ∈ [1 − 1%, %]

f , g ∈ C _k ^ρ,1− ₋₁ (J × S ^2γ−2+2α _p, _B , S ^2γ−2+2β _p, _B × ∂S _p ^2γ+2β ) (15)

(59)

On consid ère Probl ème parabolique quasi-lin éaire aux limites

.







u ˙ + A (t, u)u = f (t , u) dans Ω × R ^∗ + , B (t , u)u = g(t , u) sur ∂Ω × R ^∗ + . (16)

(60)

Alors .

le Probl `eme (16) admet une solution maximale unique u ∈ C(J ⁺ , E α ), o `u J ⁺ est l’intervalle maximal

d’existence.

De plus

u ∈ C ^ν (J ⁺ , E µ ) ∩ C( ˙ J ^+, E 1 ) ∩ C ¹ ( ˙ J ⁺ , E 0 ), pour 0 ≤ ν < min{µ, (1 − µ)} < 1, tel que ν ≥ _k ¹

0

.

(61)

Etudier le Probl `eme de Cauchy abstrait non homog `ene ´ suivant :







u ⁰ + A(t )u = f (t ) 0 < t ≤ T ,

u(0) = x ,

o `u le domaine de A(t) d ´epend de t i.e., D(A(t)) = D(t ).

Etudier l’ équation diff érentielle abstraite compl ète ´ du second ordre

u ⁰⁰ (t) + 2B(t )u ⁰ (t ) + A(t)u(t) = f (t ), t ∈ (0, 1) avec les conditions aux limites u(0) = u 0 et u(1) = u 1 , o ù A(t ) et B(t) sont deux op érateurs lin éaires ferm és.

(62)

Etudier le Probl `eme de Cauchy abstrait non homog `ene ´ suivant :







u ⁰ + A(t )u = f (t ) 0 < t ≤ T ,

u(0) = x ,

o `u le domaine de A(t) d ´epend de t i.e., D(A(t)) = D(t ).

Etudier l’ équation diff érentielle abstraite compl ète ´ du second ordre

u ⁰⁰ (t) + 2B(t )u ⁰ (t ) + A(t)u(t) = f (t ), t ∈ (0, 1) avec les conditions aux limites u(0) = u 0 et u(1) = u 1 , o ù A(t ) et B(t) sont deux op érateurs lin éaires ferm és.

(63)

Etudier le Probl `eme de Cauchy abstrait non homog `ene ´ suivant :







u ⁰ + A(t )u = f (t ) 0 < t ≤ T ,

u(0) = x ,

o `u le domaine de A(t) d ´epend de t i.e., D(A(t)) = D(t ).

Etudier l’ équation diff érentielle abstraite compl ète ´ du second ordre

u ⁰⁰ (t) + 2B(t )u ⁰ (t ) + A(t)u(t) = f (t ), t ∈ (0, 1) avec les conditions aux limites u(0) = u 0 et u(1) = u 1 , o ù A(t ) et B(t) sont deux op érateurs lin éaires ferm és.

(64)

Etudier les probl `emes aux limites dans des ´ domaines non r ´eguliers.

(65)

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Etuded’uneéquationdifférentiellequasi-linéaireabstraitesingulière Présentéparl’étudiant:MohamedMERABETSousladirectionduProfesseur:B.K.SADALLAH MÉMOIREDEMAGISTER

Pr ésent é par l’ étudiant : Mohamed MERABET Sous la direction du Professeur : B.K. SADALLAH