Partie 2 - Méthode de Lagrange

Lycée français de Vienne Mathématiques - F. Gaunard http://frederic.gaunard.com

Devoir Maison n

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Solution

Emprunt à annuités constantes Partie 1 - Étude de trois suites croisées

(1) Soitn ≥1. D’après la relation (R1), on aan+1+bn+1 =aⁿ+bⁿ mais en utilisant (R3), on obtient alors

an+1 = aⁿ+bⁿ−bn+1

= aⁿ+τ dⁿ₋1−τ dⁿ

= aⁿ+τ(dⁿ₋1−dⁿ).

(2) En passant tous les termes de (dⁿ) du même côté dans la relation (R2), on peut voir que dⁿ₋1−dⁿ=aⁿ. En injectant ceci dans l’égalite précédente, il suit que

an+1 =aⁿ+τ aⁿ= (1 +τ)aⁿ,

ce qui permet de conclure que la suite (aⁿ) est géométrique de raison 1 +τ. Il suit qu’on en déduit aisément l’expression de son terme général

∀n ≥1, aⁿ= (1 +τ)ⁿ⁻¹a1.

(3) On sait calculer la somme des termes d’une suite géométrique. Ainsi, S =

N

X

n=1

aⁿ =a1

1−(1 +τ)^N 1−(1 +τ)

=a1

(1 +τ)^N −1

τ .

Il est alors immédiat que

a1 = Sτ (1 +τ)^N −1.

(4) En utilisant les relations (R1) et (R3) avec n = 1, on voit que a =a1+b1 =a1 +τ d0 =τ

S

(1 +τ)^N −1 +d0

.

Partie 2 - Méthode de Lagrange

On noteα la solution de f(x) = 0 sur [a;b]. On introduit donc les fonctions g : x∈[a;b[7−→ bf(x)−xf(b)

f(x)−f(b) et

h : x∈[a;b]7−→f(b)²+ (x−b)f^′(x)f(b)−f(b)f(x).

On suppose ici que la fonction f a les propriétés suivantes:

(i) La fonction f est deux fois dérivable sur [a;b];

(ii) f(a)<0 etf(b)>0;

(iii) Pour tout x∈[a;b], f^′(x)>0(c’est à dire que la fonction y est strictement croissante);

(iv) Pour tout x∈[a;b], f^′′(x)>0 (c’est à dire que la fonction y est convexe).

(1) On admet que la stricte croissante de f sur [a, b], combinée à l’hypothèse (ii) assure l’existence d’un et d’un unique α ∈ [a;b] tel que f(α) = 0. Le tableau de signe est alors immédiat à dresser, sachant que la fonction est croissante et s’annule enα:

x f(x)

a α b

− 0 +

(2) Par hypothèse,f est dérivable deux fois, donc f^′ est dérivable eth l’est aussi. On voit que h^′(x) = (x−b)f(b)f^′′(x) +f(b)f^′(x)−f(b)f^′(x) = (x−b)f(b)f^′′(x).

Il est alors immédiat, sachant que f^′′(x) > 0, que f(b) > 0 et que x ∈ [a;b[ de voir que h^′(x)<0pour toutx∈[a;b[et ne s’annule qu’enx=b. La fonctionhest donc strictement décroissante sur[a;b].

(3) Un calcul immédiat donne h(b) = f(b)² −f(b)² = 0. Il découle alors de la question précédente queh(x)>0pour toutx∈[a;b[. Or,hintervient dans le calcul deg^′. En effet, pourx∈[a;b[,

g^′(x) = (bf^′(x)−f(b))(f(x)−f(b))−(bf(x)−xf(b))f^′(x)

(f(x)−f(b))² = h(x)

(f(x)−f(b))².

Connaissant, via la question précédente, le signe deh(x), on en déduit aisément queg^′(x)>

0pour tout x∈[a;b[ et ainsi que g est strictement croissante sur [a;b[.

(4) Par définition, si x∈[a;b[,

g(x)−x= bf(x)−xf(b)−xf(x) +xf(b)

f(x)−f(b) = (b−x)f(x) f(x)−f(b).

D’après les hypothèses faites surf, on a f(x)−f(b) <0 (car f est strictement croissante sur [a;b[) et on sait que b−x > 0. Ainsi, on obtient, à l’aide de la première question, le signe de g(x)−x:

x g(x)−x

a α b

+ 0 −

(5) On introduit alors la suite (uⁿ) définie par u0 = a

un+1 = g(uⁿ) (n≥0)

(a) L’initialisation de la propriété est trivialement vérifiée. Siuⁿ existe et uⁿ∈[a;α[pour un certain n, alors uⁿ est bien dans l’ensemble de définition de g et on peut calculer un+1 =g(uⁿ). De plus, g étant strictement croissante, on a

g(a)< g(uⁿ) =uⁿ+1 < g(α) =α.

D’après le tableau précédent, g(a)−a≥0ou encore g(a)≥0. On a donc bien a≤un+1 < α.

(b) Si la suite(uⁿ) converge vers une limite ℓ, par passage à la limite dans les inégalités, on sait que, nécessairement, a ≤ ℓ ≤ α. En passant également à la limite dans la relation de récurrence un+1 = g(uⁿ), g étant continue, on voit que ℓ =g(ℓ). Ainsi, la seule valeur possible pour ℓ est ℓ=α.

(c) Tous les termes de la suite(uⁿ)sont dans l’intervalle[a;α[, où on sait queg(x)−x≥0.

Ainsi,

un+1−uⁿ=g(uⁿ)−uⁿ≥0,

et on en déduit que la suite est croissante. Étant également majorée (par α), le théorème de convergence monotone assure qu’elle converge. La remarque précédente nous permet alors d’affirmer que (uⁿ) converge vers α.

(6) On propose le programme suivant (qui ne peut fonctionner que si la fonction f est au préalable définie).

Partie 3 - Un plan de remboursement

(1) Avec toutes les notations introduites, d0 représente la dette avant le début du rembourse- ment, elle est donc égale au capital emprunté S,i.e. d0 =S.

(2) Chaque année n à partir de la première (n ≥ 1), l’annuité a qui est versée par le bel et sombre inconnu est composée d’une part de l’amortissement de l’année aⁿ et d’autre part des intérêts de la même annéebⁿ, c’est à dire que

a=aⁿ+bⁿ,

et on a bien (R1). Il faut alors retirer de la dette dⁿ (qui correspond à ce qui reste à rembourser de la somme empruntée avant le versement de l’annuité de la n−ième année) la part de l’annuité correspondant au remboursement, c’est à dire la part d’amortissement de l’emprunt, ou encoreaⁿ, donc on a bien

dⁿ₋1 =dⁿ−aⁿ,

c’est qui la relation (R2). Enfin, on nous dit que la part bⁿ des intérêts correspond à un pourcentage de t%de la dette restante, c’est dire

bⁿ = t

100 ×dⁿ₋1, et on retrouve (R3) avec τ = ₁₀₀^t .

(3) En utilisant la formule trouvée au (4) de la première partie, combinée au fait que d0 =S, on a

a = t

100

S

(1 + ₁₀₀^t )ⁿ−1+d0

= t 100

S

(1 + ₁₀₀^t )ⁿ−1+S

= t

100S

(1 + ₁₀₀^t )^N (1 + ₁₀₀^t )^N −1

.

En prenant S = 120000, t= 1,90etN = 20, le calcul (que l’on fait faire àSciLab) donne a= 7268,1755

que l’on arrondit, à l’euro près, à 7268 euros par an.

(4) Il suffit d’écrire un programme (ou une fonction) qui utilise la formule précédente. Par exemple, on peut écrire:

(5) Il y a plusieurs manières de calculer le total des intérêts perçus par la banque. On peut par exemple calculer la somme des bⁿ (et l’implémenter à l’aide d’une boucle for) mais le plus simple est de calculer la différence entre le capital emprunté et le total des annuités payées. On rajoute donc au programme précédent deux lignes:

Partie 4 - Une approximation du taux

(1) On utilise la formule de la question (4) de la première partie, en y intégrant le fait que d0 =S. Ainsi, la relation entre annuité, taux et capital est

a= Sτ(1 +τ)^N (1 +τ)^N −1.

En prenant N = 15, S = 120000 eta = 9255, on trouve que 9255 = 120000τ(1 +τ)¹⁵

(1 +τ)¹⁵−1 ⇐⇒ 120000

9255 τ(1 +τ)¹⁵−(1 +τ)¹⁵+ 1 = 0, qui est bien l’équation annoncée.

(2) Notons alors, pour alléger tout cela,

f(x) =Qx(1 +x)¹⁵−(1 +x)¹⁵+ 1.

C’est un polynôme, donc f est continue et dérivable deux fois sur l’intervalle en question.

Les approximations données par l’énoncé permettent de justifier qu’on a bien f(a)<0 et f(b)>0. De plus, on a

f^′(x) = Q(1 +x)¹⁵+Qx15(1 +x)¹⁴−15(1 +x)¹⁴

= (1 +x)¹⁴(Q(1 +x) + 15Qx−15)

= (1 +x)¹⁴(16Qx+Q−15).

Comme, d’après l’énoncé,(15−Q)/16Q < 0.015, on en déduit quef^′(x)>0sur[0.015,0.02].

Il reste donc à montrer que la dérivée seconde est, elle aussi, strictement positive. On fait le calcul

f^′′(x) = 14(1 +x)¹³(16Qx+Q−15) + 16Q(1 +x)¹⁴

= (1 +x)¹³(15×16Qx+ 30Q−14×15)

Comme on sait aussi que(14×15−30Q)/(15×16×Q) <0.015, on en déduit que f^′′(x)>0 sur notre intervalle et on peut donc appliquer la méthode de Lagrange à cette fonction pour trouver la solution def(x) = 0 sur [0.015,0.02].

(3) Il suffit de définir, sous SciLab, la fonction f et d’utiliser le programme précédemment écrit sur l’intervalle [0.015,0.02]:

On voit qu’alors, le taux correspondant à cette offre est inférieur à 1.88%.