UNE MÉTHODE ITÉRATIVE SIMPLE POUR CALCULER L'EFFET DES DISCONTINUITÉS DANS LES GUIDES D'ONDES PAR LA THÉORIE MODALE

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HAL Id: jpa-00230742

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Submitted on 1 Jan 1990

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UNE MÉTHODE ITÉRATIVE SIMPLE POUR

CALCULER L’EFFET DES DISCONTINUITÉS DANS LES GUIDES D’ONDES PAR LA THÉORIE MODALE

J. Kergomard

To cite this version:

J. Kergomard. UNE MÉTHODE ITÉRATIVE SIMPLE POUR CALCULER L’EFFET DES DIS-

CONTINUITÉS DANS LES GUIDES D’ONDES PAR LA THÉORIE MODALE. Journal de Physique

Colloques, 1990, 51 (C3), pp.C3-129-C3-133. �10.1051/jphyscol:1990314�. �jpa-00230742�

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UNE

METHODE

ITERATIVE SIMPLE POUR CALCULER L'EFFET DES

DISCONTINUITES

DANS LES GUIDES D'ONDES PAR LA

THEORIE

MODALE

J. KERGOMARD

Laboratoire d'Acoustique de l'Université du Maine, CNRS URA-IIOl, Route de Laval, BP 535, F-72017 Le Mans Cedex, France

Résumé

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On montre, dans le cas particulier d'une discontinuité simple de section, les avantages de la méthode des modes propagatifs sur la méthode classique de la matrice de diffusion. On décompose les vecteurs en deux parties, correspondant respectivement aux modes propagatifs et aux modes évanescents. Ceci évite l'emploi de matrices complexes, et permet de résoudre les problèmes de discontinuité sans inversion de matrice. Ceci est avantageux à la fois pour le calcul numérique et l'obtention d'approximations analytiques.

Abstract

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The "propagative modes" method is compared to the classical method of the scattering-matrix, in the context of a simple step discontinuity. The vectors are divided in two parts, corresponding to propagating and evanescent modes, respectively. The method avoids the use of complex matrices, and allows to solve problems of discontinuities without matrix inversion. It is interesting for both numerical calculations and analytical approximations.

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INTRODUCTION

La méthode dite des modes propagatifs pour le calcul, par théorie modale, des discontinuités dans les guides d'ondes, permet de se ramener au calcul de matrices réelles. Elle permet en outre de trouver des solutions itératives évitant l'inversion de matrices, et généralisant la méthode de Schwinger. Les explications détaillées sont données dans un article soumis au J. d'Acoustique, auquel nous renvoyons le lecteur. Ci-dessous, nous nous contentons de donner une synthèse de l'intérêt de la méthode sur un cas particulier important : la discontinuité de section simple.

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DEFINITIONS DES MATRICES DE BASE

Fig. 1 : Discontinuité de section simple entre deux guides semi-infinis de section Si et S p

.

Le raccordement modal (éq.3) se fait dans le plan de la discontinuité.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1990314

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COLLOQUE DE PHYSIQUE

Soit le changement brusque de section (cf fig.1) entre deux guides de section S et S2 (les indices 1 et 2 caractérisant chacun des guides respectivement 1. En régime harmonique (e jot , sous-entendu), la pression et la vitesse peuvent se décomposer selon les modes propres du guide, +.(x,y):

Les vecteurs P(z) et U(z) sont les inconnues du problème. Les valeurs propres sont notées ai, la constante de propagation selon z s'écrivant

2 O

k . =

- -

ai2. Pour un guide semi-infini, on a :

z1 2

où Z est la matrice (diagonale) impédance caractéristique, définie par

2 . = pc s-'k/kzi (le signe + sera ici pour le guide 2, le signe

-

pour le

guide 1).

Classiquement, la matrice de discontinuité F permet de relier les vecteurs de part et d'autre de la discontinuité :

Le choix de modes orthonormés et du vecteur U (éq.1) assure la réciprocité :

La méthode de la matrice de diffusion (matrice S, cf. réf.2) résout le problème en fixant la valeur des modes propagatifs incidents dans l'un des guides, et en considérant tous les autres modes (propagatifs dans l'autre guide, et évanescents dans les deux guides) comme fermés sur leur impédance caractéristique. La méthode que nous proposons ferme seulement les modes évanescents : pour cela, il convient de décomposer les vecteurs en deux parties.

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DECOMWSITION DES VECTrmRS ET MATRICES

Nous considérons ici les plus basses fréquences, avec un seul mode propagatif, le mode plan. On décompose les vecteurs entre le mode plan et les modes évanescents :

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On en tire les équations du problème :

La matrice de discontinuité relie leCs) mode(s) propagatiffsl :

avec Zd = f P;/u.

En résolvant 1' éq. 5 pour 1' inconnue P'/u, on obtient la formule (nouvelle à notre connaissance) :

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-

DISCUSSION DU RESULTAT

Cette formule est équivalente à celle obtenue par Schwinger [voir réfs. 3 ou 41, que nous mettons sous forme matricielle :

Dans les équations ( 6 ) ou (71, l'approximation du piston plan (Y' = O) donne Zd = f 2; tf. résultat classique. La démonstration de la formu;ation variationnelle de Schwinger, utilisant la notation matricielle (éq.7) est évidente, la grandeur d'essai étant le profil de vitesse sur l'ouverture SI, c'est-à-dire U9/u.

L'équation 6 permet de calculer une solution sous forme de série de Neumann

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COLLOQUE DE PHYSIQUE

Si on met M sous la forme M = (1-Q) (1+Q2+

. . .

^QZn⁺

. . .

^1, la troncature au termeQ donne 2n un reste R de la forme :

n

qui peut également être écrit sous forme variationnelle, le résultat exact étant un minimum absolu. On en déduit que la série (éq.9) donne une série alternée de résultats pour Zd. Il reste à montrer que cette série converge, autrement dit que la matrice Q est de norme inférieure à l'unité.

On peut remarquer qu'il suffit de faire la démonstration pour un changement infinitésimal de section, car la défintion de la matrice Q a la propriété suivante :

pour trois guides tels que S C S2 C S3

Nous avons alors montré la formule suivante, pour un guide S très peu différent du guide S2, et des fréquences tendant vers zéro :

avec

I =

/Is2-sl

^{2 i 2 j}⁺a 2 i a 2 j 1

2

^{2 i}

. 2 +

^2J^.)^ds

(On remarque que seuls interviennent les modes du guide 2, le résultat peut donc être exploité pour des géométries quelconques du guide 1). La démonstration cherchée repose alors sur la propriété suivante de la matrice Q : Q = 1

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Ê^T,ôhÊ tend vers zéro, et

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CONCLUSION

Il suffit en pratique de calculer les trois ou quatre premiers termes de la série alternée donnée par les équations 8 et 9, le résultat étant obtenu par interpolation. Le gain en temps de calcul de notre méthode est considérable. Elle peut être généralisée à des discontinuités plus compliquée ; dans le cas d'un diaphragme sans épaisseur, le résultat peut être obtenu par une double série infinie, ce qui est intéressant car ce problème pose de réelles difficultés en théorie modale (cf par exemple Vassal10 [SI). On peut également tirer de cette méthode des schémas électriques équivalents contenant seulement des inductances ou des capacités, ne dépendant que de la géométrie du problème. D'une façon générale, la méthode est très propice aux calculs numériques comme aux approximations analytiques.

REFERENCES

/1/ Roure, A., Thèse de Doctorat, Aix-Marseille (1976) /2/ Wexler, A. , IEEE Trans. , MTT-15 (19671, 508.

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(New York, Gordon and Breach, 1968).

/5/ Vassallo, C., Théorie des guides d'ondes électromagnétiques, Tome 2 (Paris, Eyrolles, 1985).