Institut des Sciences Appliquées et Économiques
ISAE-Cnam Liban
C en tre du L iban A ssocié au C N A M de P aris
Date:Septembre-Durée:1h30 Partiel
2014-2015
Sujet coordonné par: J.Saab
Proposé pour les centres d’enseignement de:
Beyrouth-Baakline-Baalbek-Ghazza- Tripoli-Bickfaya
Langue de l’éxamen: Français
Est autorisé:
Calculatrice Non Programmable
Partiel
Base de l’analyse Mathématique - MVA010
1. (15pts)
(a) Utiliser le développement limité en0 pour trouver lim
x!0(1 + sinx) 1 x
(b) Utiliser le développement limité en+1pour trouver lim
x!+1(ln(1 +e x2) 1 x
(c) Donner le développement limité en0à l’ordre 4 def(x) = ln(cos1x), en déduire la tangente à la courbe def en0ansi que sa position par rapport à cette courbe.,
Solution:
a) (4pts) Soit f(x) = (1 + sinx) 1 x
0 (1)1: Considéronslnf(x) = 1xln(1 + sinx) = 1xln(1 +x+x") =
1
x(x+x") = 1 +"et donc lim
x!0lnf(x) = 1parsuite lim
x!0f(x) =e b) (4pts) Soitf(x) = (ln(1 +e x2)
1 x
1(00):Considéronslnf(x) = 1xln(1 +e x2):Commeln(1 +t)
0 t alorslnf(x)
1
e x2
x etlim ln
x!1f(x) = 0parsuite lim
x!1f(x) = 1
c) (7pts) Au voisinage de0,cosxest positive.lncos1x = ln cosx= ln[1 x22+x244+x4"] = ln(1 +t) avect= x22 +x244 +x4" !0
x!0 :
f(x) = [t t2 2 +t3
3 t4
4 +t4"]
f(x) = [( x22 +x244) 12(x44) +x4"] = x22 +121x4+x4":Ainsiy= 0 (x0x)est tangente à la courbe de f en0 etf(x) x22 0 donc la courbe est au dessus de la tangente.
(Barème:7pts= D.L de cos (2pts), DL …nal (3pts), tan (1pt) position (1pt))
2. (15pts) On considère les suites(un)et (wn) : un =
Xn
k=1
1
k! = 1 +1 2 + 1
3!+ + 1
n!; wn=un+ 1
n:n!; n 1 (a) Montrer que les deux suites considérées sont adjacentes
(b) Montrer que leur limite commune l est un nombre irrationnel. (Procéder par contradiction en supposant quel=pq avecp; q2N )
1
(c) Pour tout(a; b)2R2;déterminer en fonction de lla limite de la suite à terme général:
Xn
k=1
ak+b k!
Solution:
a) (7pts) On awn un= n:n!1 >0. D’autre part, un+1 un =
n+1P
k=1 1 k!
Pn k=1
1 k!
= (n+1)!1 >0 la suite (un)est donc strictement croissante.
wn+1 wn = 1
(n+ 1)! + 1 (n+ 1):(n+ 1)!
1 n:n!
= n(n+ 1) +n (n+ 1)2 n:(n+ 1):(n+ 1)!
= 1
n:(n+ 1):(n+ 1)! <0 la suite (wn)est strictement décroissante.
On a(un)croissante et majorée parw1et(wn)est décroissante et minorée paru1 donc ces suites sont convergente. On a
limwn= limun+ lim 1
n:n! = limun=l Parsuite les deux suites sont adjacentes.
[Barème: 7pts= 1pts pour wn > un; 2ptspour (un)%; 3ptspour(wn)&; 1ptmême limite.]
b)(4pts):Supposons le contraire, soitl= pq 2Q; p; q2N : On a
uq< l < wq
uq< pq < wq uq< pq < uq+q:q!1 quq < p < quq+q!1
Comme quq est un entier, pest un entier et (quq+q!1) quq = q!1 <1 alors c’est une contradiction.
D’où l =2Q
[Donner 1 point pour toute tentative de recherche]
c) (4pts) SoitXn=Pn k=1ak+b
k! =a Pn k=1
k k!+b
Pn k=1
1 k! =a
Pn k=1
1 (k 1)!+b
Pn k=1
1
k! =a(1 +un 1) +bun alors limXn=a(1 +l) +bl
3. (10pts) Soitf :I !Rune fonction continue sur un intervalleI= [a; b]et dérivable sur son interieur ]a; b[. On suppose qu’il existe(m; M)2R2tel que, pour tout tinterieur àI;on aitm f0(t) M:
(a) Montrer que pour toutxet y éléments deI;tels quex < y;on a l’ecadrement m(y x) f(y) f(x) M(y x)
(b) Appliquation: Donner un encadrement de
4 en faisant appel à la fonctionarctansur un intervale convenable (Donner àx; yde valeurs particulières)
2
Solution:
a) (4pts) Les conditions du T.A.F sont toutes remplie sur [x; y]donc il existec2]x; y[tel que f(y) f(x) = (y x)f0(c)
et commem f0(c) M alors
m(y x) f(y) f(x) M(y x)
b)(6pts) Soitf(t) = arctant, x= 0; y= 1:On af0(t) =1+t12 2[12;1]pour toutt2[0;1]:D’où 1
2(1 0) arctan 1 arctan 0<1:(1 0) 0:5 <
4 <1
3
