H154– Randonnées bourbonnaises (3ème épisode) [*** à la main]
Les bourgs de Mayet-de-Montagne dans la Montagne bourbonnaise et de Saint-Pourçain-sur-Sioule dans la Limagne bourbonnaise envisagent de créer deux réseaux de sentiers de randonnée pédestre reliant six hameaux dans l'un et sept hameaux dans l'autre. Le cahier des charges donné à l'entreprise chargée d'aménager ces deux réseaux est le suivant:
- il y a cinq sentiers dans le réseau de Mayet-de-Montagne et six sentiers dans celui de Saint-Pourçain-sur - Sioule,
- chaque sentier relie deux hameaux distincts et deux sentiers quelconques ne se croisent jamais, - pour aller d’un hameau à un autre,on peut passer éventuellement par un ou plusieurs autres hameaux, - à l'intérieur d'un réseau, les longueurs des sentiers s’expriment en nombres entiers de kilomètres tous distincts et les longueurs de tous les parcours reliant les hameaux pris deux à deux prennent toutes des valeurs entières consécutives de kilomètres.
Démontrez que pour respecter ce cahier des charges, l'entreprise ne peut installer qu'un seul réseau. Donnez en une représentation graphique avec les longueurs correspondantes des sentiers. Justifiez vos réponses.
Solution proposée par Pierre Bornzstein Source : cours sur la théorie des graphes.
Soit n un entier pour lequel la construction d'un tel réseau est possible.Soit le graphe simple et non orienté associé à ce réseau dont les sommets sont les n hameaux et les arêtes les n − 1 sentiers. D'après l'énoncé ce graphe est connexe et comme il possède exactement n − 1 arêtes, c'est un arbre qui ne possède pas de cycle.
Soit A un hameau arbitraire. Soit x le nombre de hameaux dont la distance à A est paire (y compris A lui- même). De tels hameaux sont dits "Bons" et soit y le nombre de hameaux dont la distance à A est impaire.
Evidemment, on a x + y = n.
Comme il y a un seul sentier entre deux hameaux donnés, il y a exactement xy paires de hameaux {B,C}
dont l'un des deux exactement est "Bon". Pour la paire {B,C}, la distance de B à C est donc impaire.
Réciproquement, si la distance entre les hameaux B et C est impaire, c'est qu'un et un seul de ces deux hameaux est "Bon".
Ainsi, puisque les distances sont exactement 1,2,...,n(n − 1)/2, c'est que parmi ces entiers exactement xy sont impairs.
Or, si n = 4k ou n = 4k + 1, alors n(n − 1)/2 est pair et donc xy = n(n − 1)/4.
De l'équation x + y = n, on déduit alors que n = n² − 4xy = (x − y)²
Si n = 4k + 2 ou n = 4k + 3, alors n(n − 1)/2 est impair et donc xy = n(n − 1)/4 + 1/2 et on déduit que n − 2 = (x − y)²
Dans tous les cas, n ou n −2 doit être un carré parfait.
On en conclut que n = 6 ( bourg du Mayet-de-Montagne) peut convenir mais pas n = 7 (bourg de Saint- Pourçain-sur-Sioule)
Une configuration possible avec les six hameaux qui respecte les conditions de l'énoncé est la suivante:
