Problème proposé par Jean Nicot
Zig a suivi en partie un sentier rectiligne très long bordant un très grand bois. Il s’en écarte perpendiculairement sur 500 mètres, jusqu’à un point A où il repère un buisson de houx. Sans trop s’en écarter, il zigzague au voisinage de A pour chercher des champignons.
Pour repartir, il revient en A, mais il se rend alors compte qu’il ne sait plus du tout d’où il y est arrivé.
En comptant ses pas, Zig peut aller en ligne droite sur une distance choisie et tourner d’un angle de 15° ou d’un multiple. Suivre un arc de cercle lui parait impossible.
Q1- Quelle est la plus courte trajectoire qu’il doit suivre pour être absolument certain de retrouver le sentier ?
Q2- Même question si Zig avait été capable de suivre un arc de cercle.
On peut considérer que le sentier est une tangente au cercle (A) de centre A de rayon a=500m.
Si Zig sait suivre un arc de cercle, la trajectoire de longueur minimale est la suivante : Zig part de A en ligne droite jusqu’à un point B, d’où l’on voit le cercle (A) sous un angle 2θ, où θ est multiple de π/12 de façon à pouvoir pivoter sur une tangente : il rejoint le cercle (A) au point de contact C et le suit jusqu’au point D où la tangente est perpendiculaire en E à la seconde tangente issue de B : la mesure de l’arc CD est donc π/2+2θ, et la longueur du parcours est a(1/sinθ+1/tanθ+(π/2+2θ)+1) ; comme θ=kπ/12, elle est minimale pour k=4 soit θ=π/3, et une longueur L=a(√3+7π/6+1)=3,199 km
Si Zig ne sait pas suivre un arc de cercle, il s’approchera au mieux de cette trajectoire en parcourant un icosikaitetragone régulier (24 cotés, donc on passe d’un coté au suivant en pivotant de π/12) tangent au cercle en C et D ; le coté de ce polygone d’apothème a est c=2a tan(π/24)=a(√2+√6-√3-2), donc la longueur de l’arc 7aπ/6 est remplacée par celle de la ligne 14c=14a(√2+√6-√3-2)
La longueur du parcours devient L’=3,209 km.
