I135. Perdu dans le bois
Zig a suivi en partie un sentier rectiligne très long bordant un très grand bois. Il s’en écarte perpendiculairement sur 500 mètres, jusqu’à un point A où il repère un buisson de houx. Sans trop s’en écarter, il zigzague au voisinage de A pour chercher des champignons.
Pour repartir, il revient en A, mais il se rend alors compte qu’il ne sait plus du tout d’où il y est arrivé.
En comptant ses pas, Zig peut aller en ligne droite sur une distance choisie et tourner d’un angle de 15° ou d’un multiple. Suivre un arc de cercle lui parait impossible.
Q1- Quelle est la plus courte trajectoire qu’il doit suivre pour être absolument certain de retrouver le sentier ? Q2- Même question si Zig avait été capable de suivre un arc de cercle.
SOLUTION
Il est possible de donner d’abord la solution de la question 2 car elle pourra donner une orientation pour la solution de la question 1.
Q2 – Possibilité d’aller en ligne droite et de suivre des arcs de cercle (pas de contrainte d’angle à 15°).
Il faut d’abord rejoindre au plus vite une zone où est susceptible de se trouver le chemin.
Zig part tout droit pour sortir de la zone de 500 mètres où il ne peut rencontrer le chemin.
Il continue au-delà des 500 mètres jusqu’à un point B.
On appelle D1 la droite issue de B tangente à (C) en C, et D2 l’autre tangente à (C) en K, toujours issue de B.
Soit D l’autre extrémité du diamètre KA, E le milieu de l’arc DK et F le pied de la perpendiculaire à D2 abaissée de E
Zig est donc arrivé au point B, il change alors de direction pour se déplacer sur D1 jusqu’au point C.
L’optimum est alors de rester sur le cercle des 500 mètres (C) jusqu’au point E afin de ne pas allonger le contournement de la zone des 500 mètres
Arrivé au point E, Zig change alors de direction et part en ligne droite jusqu’à F.
Il aura ainsi croisé toutes les possibilités de chemin.
Il faut calculer la longueur totale du chemin ABCDEF et optimiser la longueur du premier parcours AB qui le conditionne.
Prenons comme inconnue x=KB et exprimons les longueurs en hectomètres pour ne pas alourdir la notation.
AB² = KB²+KA² = x²+25 BC = BK = x
α = angle(ABC) = angle(ABK) = Atan(5/x) (CD) = 2π.5.2α/2π = 10 Atan(5/x) L1 = AB+BC+(CD) = √𝑥2+ 25 +x+10 Atan(5/x)
L2min = 5π/2+5 Cherchons le minimum de L1
Dérivée (L1) = x/√𝑥2+ 25 + 1 – 50/(x²+25)
D’où BC = x =5/√3 AB = 10/√3 Tan(α) = √3 α = 60° = π/3 L1min= 10/√3 + 5/√3 + 10.π/3
Ltot = L1min + L2min = 10/√3 + 5/√3 + 10.π/3 + 5π/2+5 = 5 (√3+7π/6+1) (en hm) D’où Ltot = 3198,62 mètres
Zig doit donc prévoir le parcours suivant :
• Suivre un rayon sur 577,35 mètres
• Tourner de 60° pour rejoindre tangentiellement le cercle C en parcourant La longueurs BC = 288,68 mètres
• Suivre le cercle C sur 1832,59 mètres
• Quitter tangentiellement le cercle C pour parcourir 500,00 mètres, Il aura nécessairement rencontré le chemin au cours de ce périple (compliqué).
Q1 – Contrainte d’un angle de 15° ou d’un multiple.
Une possibilité simple est de suivre non pas un cercle, mais un polygone régulier tangent au cercle des 50 mètres.
Pour un polygone à n côtés, il suffit de rejoindre un sommet B, puis de suivre n-1 côtés pour rencontrer le chemin.
On obtient les distances totales suivantes :
C’est l’octogone qui donne la meilleure solution, mais cela est améliorable en mixant les polygones.
Puisque l’on ne pas suivre d’arc de cercle, il est logique de chercher comment approcher du mieux possible la trajectoire optimale de la question précédente avec la contrainte de l’angle de 15° (ou d’un multiple de 15°) Zig part selon un rayon AB pour rejoindre un sommet de l’hexagone défini ci-dessus. Il parcourt alors ½ côté de l’hexagone pour parvenir en C (point sur le cercle des 500 mètres) et enchaine sur le polygone à 24 côtés (dont il parcourt au total une distance égale à 14 côtés) et il finit par un carré dont il parcourt ½ côté.
Au total Zig devra parcourir :
• La longueur AB = 500/cos(60°/2) = 577,35 mètres
• La longueurs BC = ½ côté hexagone = 288,68 mètres
• 14 fois la longueur d’un côté du polygone à 24 côtés, soit 14x131,65 = 1843,13 mètres
• La longueur EF = ½ côté du carré = 500,00 mètres
• TOTAL : 3209,16 mètres (distance n’excédant que d’une dizaine de mètres l’optimum précédent de 3198,62 mètres)
Nbre côtés alpha degrés longueur côté (n-1) côtés AB Ltot 3 120 1 732,05 3 464,10 1 000,00 4 464,10 4 90 1 000,00 3 000,00 707,11 3 707,11 6 60 577,35 2 886,75 577,35 3 464,10 8 45 414,21 2 899,49 541,20 3 440,69 12 30 267,95 2 947,44 517,64 3 465,08 24 15 131,65 3 028,01 504,31 3 532,32
