I135 - Perdu dans le bois [**** à la main]
Problème proposé par Jean Nicot
Zig a suivi en partie un sentier rectiligne très long bordant un très grand bois. Il s’en écarte
perpendiculairement sur 500 mètres, jusqu’à un point A où il repère un buisson de houx. Sans trop s’en écarter, il zigzague au voisinage de A pour chercher des champignons.
Pour repartir, il revient en A, mais il se rend alors compte qu’il ne sait plus du tout d’où il y est arrivé.
En comptant ses pas, Zig peut aller en ligne droite sur une distance choisie et tourner d’un angle de 15° ou d’un multiple. Suivre un arc de cercle lui parait impossible.
Q1- Quelle est la plus courte trajectoire qu’il doit suivre pour être absolument certain de retrouver le sentier ?
Q2- Même question si Zig avait été capable de suivre un arc de cercle.
Solution proposée par Daniel Collignon
Intuitivement on doit tourner le long du cercle de centre A et de rayon 500m en croisant l'ensemble de ses tangentes puisque l'on ignore où se trouve le sentier.
On part de A et on se déplace dans une direction arbitraire sur une longueur un peu supérieure à 500 m, puis on revient tangenter le cercle et on déroule un arc de cercle jusqu'à recroiser la même tangente
qu'initialement.
Q2 :
Q1 :
On cherche à approcher la trajectoire circulaire par un polygone dont les côtés ont des angles multiples de 15°
Pour un polygone régulier à n côtés, l'angle entre 2 côtés vaut pi(n-2)/n = k*pi/12.
D'où n=24/(12-k).
La qualité de l'approximation sera proportionnelle à n : d'où k=11 et n=24.
La longueur de la trajectoire vaut alors
500(1+1/sin(pi/3)+1/tan(pi/3)+28*tan(pi/24)), soit approximativement 3209,16 m.
En fixant l'angle de rebond t=k*pi/12 pour k=1..6, la longueur de la trajectoire vaut
500(1+1/sin(t)+1/tan(t)+pi/2+2t).
On vérifie qu'elle est minimale pour k=4, soit un angle de rebond de 60° : la longueur de la trajectoire vaut alors approximativement 3198,62 m.
