E116-Devinette
Problème proposé par Pierre Jullien Solution
A vrai dire, je répartis, dans le sens trigonométrique, tous les entiers sur le cercle en mettant en 1 toutes les puissances de 2 et les autres nombres entre 2n et 2n+1 de manière régulière (à égales distances). De la sorte, un nombre et son double sont placés au même endroit, où figure, comme tête de gondole, un nombre impair que je garde seul.
Pour trouver directement, la place d’un nombre impair I, il est commode d’étaler le cercle sur le segment [0,1[ et de passer à l’écriture binaire de I, où on remplace le premier 1 par 0,
Ainsi 1 est en 0 ; 3 en 0,1 ; 5 en 0,01 ; … ; 19 en 0,0011 ; etc.
0
21 23 25 27 29 31
1 0,1
1
3
5 7
9 11 13 15
17 19
0,01 0,101 0,11 0,111
0,001 0,011
L’impair 2009 s’écrit 11111011001. Il est en 0,1111011001 (très à droite).
Au moment de son écriture, il succède à 2008 et précède 2010. donc ses deux voisins sont 251 et 1005.
Etre diamétralement opposés, c’est différer de 0,1 (un demi en binaire). Donc 2009 est opposé au nombre placé en 0,0111011001 ; soit 10111011001 (1497) placé avant lui, dans le même tour (avec un écart de 512).
1497
2009 2009
1005 251
Remarque : au moment où il est placé, 1497 n’a pas d’opposé sur le cercle.
