A.Pr´eliminaires 1–Aspect´electriquedelatechniqueduPatchClamp DevoirlibredeSciencesPhysiquesn 1du10-09-2021Probl`emen

Devoir libre de Sciences Physiques n

^◦

1 du 10-09-2021

Probl` eme n

^o

1 – Aspect ´ electrique de la technique du Patch Clamp

Agro - V´eto 2005

Invent´e par E. Neher et B. Sakmann, le patch-clamp (ou l’´electrophysiologie cellulaire) est la technique de r´ef´erence pour l’´etude ´electrophysiologique des canaux ioniques. Chaque canal est travers´e par un flux ionique

´elev´e (de l’ordre de 10⁶ ions par seconde) et g´en`ere un courant ´electrique. Le patch-clamp consiste donc `a enregistrer l’activit´e ´electrique d’une membrane cellulaire.

A. Pr´ eliminaires

Etude de la loi d’Ohm´

On consid`ere un milieu homog`ene conducteur de conductivit´e ´electriqueσ. Une charge, de massemet de charge q, est susceptible de se d´eplacer librement `a l’int´erieur de ce mat´eriau mais subit au cours de son mouvement de nombreux chocs que l’on mod´elise globalement par une force de frottement du typef~f r=−α~v o`u~v est la vitesse de la charge et αune constante positive. On suppose que le mat´eriau ´etudi´e est plac´e dans un champ

´electrique uniforme et constantE~ =E~ex(o`uE=Cte). La charge subit alors une force ´electriquef~=q ~E. On n´egligera les forces de pesanteur.

1.En appliquant la relation fondamentale de la dynamique, d´eterminer l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par la vitesse~v.

2.Pr´eciser la vitesse limite~v∞ atteinte par la charge et le temps caract´eristiqueτ du r´egime transitoire.

3. Sachant que le mat´eriau poss`ede n charges mobiles par unit´e de volume, en d´eduire le vecteur densit´e volumique de courant~jen fonction de n,q,αetE~ lorsque le r´egime permanent est atteint.

4.Rappeler la loi d’Ohm locale. En d´eduire que la conductivit´e du mat´eriau vautσ=nq²τ m .

5.Montrer que la forcef~=q ~Eest une force conservative. Pr´eciser l’expression de l’´energie potentielleEp. On prendraEp(x= 0) = 0. En d´eduire l’expression du potentielV(x) en fonction de E etx.

6.Une portion de ce conducteur de section S et de longueurL est soumise `a une diff´erence de potentiel U. En d´eduire que la r´esistanceR de cette portion vautR= 1

σ L S.

On va maintenant ´etudier successivement trois montages qu’on assemblera par la suite.

Conversion intensit´e-tension et amplification

7.L’amplificateur op´erationnel est suppos´e parfait et fonctionne en r´egime lin´eaire. Le montage est celui de la figure 1 `a gauche. Exprimer la tension de sortieV0 en fonction de l’intensit´e du courantI, de la tension Vr´ef

et deR.

8. L’amplificateur op´erationnel est suppos´e parfait et fonctionne en r´egime lin´eaire. Exprimer la tensionvs

en fonction de ve1 et ve2 ainsi que des diff´erentes r´esistances. Que se passe-t-il si les quatre r´esistances sont identiques ?

bbb bb b

+ -

bbb b b

I

Vr´ef

V0

R

bb b

+ -

b bR2

b b

R1

b b

R^′₁

bb

R₂^′

b

ve1

v_e2 vs

Figure1 – A gauche : Convertisseur intensit´e-tension – A droite : Amplificateur

9.Dans le montageAN I de la figure 2 (`a gauche), l’amplificateur op´erationnel est suppos´e parfait et fonctionne en r´egime lin´eaire. D´eterminer la tensionv en fonction dev1,R etR<sub>var</sub>. Donner un nom `a ce montage.

bb b

R

bb b

+ -

b bRvar

v1

v

b b bbb

R2

bb

C

b bR1 i(t)

bb

ve(t)

b

u(t)

Figure 2 – MontageAN I – ´Etude d’un r´egime transitoire

Etude d’un r´´ egime transitoire

Nous consid´erons le circuit de la figure 2 (`a droite) constitu´e d’un condensateur de capacit´e C, initialement d´echarg´e, de deux r´esistancesR1 et R2, aliment´e par un g´en´erateur d´elivrant un signal variable dans le temps ve(t). Nous allons appliquer `a ce circuit une stimulation d’amplitude ∆V =Vr´ef>0 et de dur´ee ∆t. Pourt <0 et pourt >∆t, la tension appliqu´ee au circuit est nulle.

10.Exprimer i(t= 0⁺) en fonction deVr´ef etR1.

11.Exprimer i(t = ∆t⁻) en fonction de Vr´ef, R1 et R2. On supposera ∆t suffisamment grand pour que le circuit ait atteint un r´egime permanent `a l’instant ∆t⁻.

12.Etablir l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par´ u(t) en fonction deR1,R2,Cetve(t). Pr´eciser la constante de tempsτ^′ de ce circuit.

13.Etablir l’expression de´ u(t) sur l’intervalle [0,∆t]. En supposantτ^′ ≪∆t, pr´eciser la valeur de u(t). En d´eduirei(t) toujours sur l’intervalle [0,∆t].

14. Etablir l’expression de´ u(t) dans l’intervalle [∆t⁺,∞[. En d´eduire i(t) sur l’intervalle [∆t⁺,∞[. Tracer l’allure dei(t) dans l’intervalle [∆t⁺,∞[.

B. Mod` ele simplifi´ e de l’amplificateur Patch Clamp

Les techniques impos´e `a une membrane ont pur finalit´e le maintien du potentiel membranaire d’une cellule ou d’un groupe de cellules `a une valeur fixe et l’enregistrement simultan´e des courants ioniques li´es aux transferts d’ions `a travers la membrane. Toute mesure n´ecessite une paire d’´electrodes : une ´electrode de mesure reli´ee `a un convertisseur et une ´electrode de r´ef´erence indiff´erente (g´en´eralement une ´electrode au calomel ou au chlorure d’argent), mont´ees en opposition. La pipette d’enregistrement est un simple tube de verre contenant une solution ionique de composition fix´ee par l’exp´erience dans lequel est plac´ee une ´electrode d’argent chlorur´ee. L’ensemble permet la conduction ´electrique entre la membrane cellulaire ou l’int´erieur de la cellule et le premier ´etage de l’amplificateur qui est un convertisseur courant - tension. Nous donnons `a la figure 3 le sch´ema ´electrique

´equivalent en configuration cellule enti`ere qui permet l’enregistrement de courants macroscopiques.

b b b

bb bb b

+ -

bbb b b

i(t)

Vr´ef

V0

R_f

Pipette Electrodes´

bb b

+ -

b bR

b b

R

b b

R

bb

R

b

b bb b

R

bb b

+ -

b bRvar

v

b

v1

b

Figure 3 – Montage Patch Clamp

15.Exprimer V0 en fonction de Vr´ef etR_f.

16.Exprimer v1 en onction deVr´efet V0, puis en fonction dei(t) etR_f. 17.Exprimer ven fonction de i(t),R_f,R etR_var.

Mesure de la r´esistance de✭✭ seal ✮✮

La pipette est mod´elisable par une r´esistance R_pip de 10 MΩ. La zone de contact (ZC) entre la pipette et la membrane peut ˆetre repr´esent´ee par un cylindre de diam`etred= 1µm et de hauteurh= 2µm, de conductivit´e σ= 10⁻²Ω⁻¹· cm⁻¹. Voir la figure ci-contre.

h pipette

e d

solution membrane 18.Exprimer la r´esistance d’acc`esRacc`es `a la membrane en fonction de h, det

σ. Calculer num´eriquementRacc`es.

Il se forme de plus une r´esistance de jonction, ou de fuite, appel´ee r´esistance deseal conditionnant la stabilit´e de la liaison pipette - membrane. Cette r´esistance est constitu´ee par une colonne cylindrique entourant la zoneZC, de mˆeme conducti- vit´eσqueZC. Cette colonne a l’´epaisseure= 3×10⁻¹⁰m et la hauteurh= 2µm.

19.Exprimer la r´esistance de jonctionRseal en fonction deh,d,eetσ. Calculer num´eriquementRseal.

20. Quel est alors le montage ´electrique ´equivalent `a l’association de ces trois r´esistances : Rpip, Racc`es et Rseal? Compte tenu des valeurs num´eriques, simplifier le montage.

Mesure en configuration cellule enti`ere

On mod´elise par R1 la r´esistance ´equivalente de la pipette pr´ec´edente et (R2C) repr´esente la r´esistance et la capacit´e de la membrane, voir la figure 4.

b b

bb b

+ -

bbb b b

i(t)

Vr´ef

V0

Rf

bb b

+ -

b bR

b b

R

b b

R

bb

R

b

b bb b

R

bb b

+ -

b bRvar

v

b

v1

b

b

bb

R2

bb

C

b bR1

Figure 4 – Montage Patch Clamp On obtient ainsi l’enregistrement reproduit sur la figure 5.

b b b b b b b b

bbbbb

−0,2

−0,1 0,2 0,1

0

−0,4 −0,2 0,4

0,6 0,8 1,0

0,2

t(s) v(V)

Figure5 – Enregistrement

21.D´eduire de l’enregistrement dev(t) donn´e ci-dessous les valeurs deR1,R2etC. On pr´ecise queVr´ef= 5 mV, R_f = 100 MΩ et R_var = 0. Sur cet enregistrement, l’abscissetest en seconde et l’ordonn´ee est en volt.

Probl` eme n

^o

2 – Caract´ erisation de l’effet Zeeman

Agr´egation interne 2006 La lampe `a vapeur d’hydrog`ene ´emet un spectre de raies caract´eristique de cet ´el´ement. On s’int´eresse `a une raie tr`es lumineuse du spectre de fr´equenceν0. Si on soumet la lampe `a hydrog`ene `a un fort champ magn´etique, on constate un d´edoublement de la raie d’origine. Soumise `a un champ magn´etiqueB~ d’intensit´e ´elev´ee, on obtient deux raies de fr´equencesν1=ν0−∆νetν2=ν0+ ∆νavec ∆ν≪ν0. Cet effet porte le nom d’effetZeeman. Un photomultiplicateur plac´e dans un montage interf´erom´etrique deMichelsonva donner une intensit´e ´electrique i(t) proportionnelle `a l’´eclairement lumineux r´esultant des interf´erences entre les ondes lumineuses de fr´equence ν1 et des interf´erences entre les ondes de fr´equenceν2.

Pour une onde de fr´equenceνi, l’´eclairement obtenu dans le dispositif d’interf´erences est de la forme : Ei= 2E0(1 + cos4πeνi

c )

o`u E0 est un ´eclairement lumineux caract´erisant la raie de fr´equence νi, c = 3×10<sup>8</sup>m·s<sup>−1</sup> la vitesse de la lumi`ere eteune longueur caract´eristique r´eglable de l’interf´erom`etre deMichelson.

1.On indique que les deux raies de fr´equencesν1etν2sont caract´eris´ees par le mˆeme ´eclairementE0. Exprimer l’´eclairement total re¸cu par le photomultiplicateur. On mettra l’´eclairement total sous la forme :

E_tot= 4E0(1 +V(e) cos4πeν0

c ) o`uV(e) s’appelle le contraste ou visibilit´e des interf´erences. ExprimerV(e).

2.Repr´esenter la fonctionV(e) en fonction deepuis la fonctionEtot(e) en fonction de e.

3.Indiquer comment on peut acc´eder `a la connaissance de ∆νgrˆace `a un enregistrement de l’intensit´e ´electrique i(t) d´elivr´ee par le photomultiplicateur.

D’un point de vue ´electrique, le photomultiplicateur utilis´e (not´eP M sur la figure 6) se comporte comme une source de couranti(t) en parall`ele avec un condensateur de capacit´eC0= 15 pF. Afin de pr´elever une tension u(t) proportionnelle `a ce courant, on charge le photomultiplicateur par une r´esistancer= 50 Ω.

bb b

+ -

b b

R3

bb

R4

bb b

+ -

b b

R^′

bb

R0

b b

R^′

bb b

- +

b b

R1

b b

R2

s1(t)

b

B AO1 A

AO2

AO3

bb bb bb

i(t)

S1

E1

E2

u2

u1

[1]

[2]

C0

r u(t)

|{z}PM

Figure6 – Circuit de d´etection

4.On ´etudie la r´eponse de ce syst`eme `a un ´echelon de courant : la source id´eale de courant d´elivre une intensit´e I constante `a partir de l’instantt= 0. ´Etablir l’´equation diff´erentielle d´eterminantu(t).

5.R´esoudre cette ´equation en consid´erant la condition initialeu(0) = 0 et ´evaluert_R, le temps de r´eponse `a 5% du photomultiplicateur.

6. Le miroir mobile de l’interf´erom`etre se d´eplace `a une vitesse constante v telle que e = vt. La source de courant d´elivre un couranti(t) proportionnel `a l’´eclairementE(t) que le d´etecteur re¸coit. Montrer que pour des temps d’´evolution tr`es sup´erieurs `a tR, la tensionu(t) reproduit tr`es fid`element les variations de l’´eclairement.

Les signaux d´etect´es par le photomultiplicateur sont faibles, noy´es dans des bruits aussi bien continus qu’al- ternatifs. La transmission de l’information s’accompagne de parasites et nous consid´ererons qu’en pratique, un signal parasite existe identiquement sur les fils de liaison de r´esistance nulle not´es [1] et [2]. Le signal du pho- tomultiplicateur a besoin d’ˆetre conditionn´e. Dans le montage de la figure 6, les amplificateurs op´erationnels

utilis´es sont suppos´es id´eaux. Si un amplificateur fonctionne dans les conditions de saturation, on notera la tension de saturationV_satet on prendraV_sat= 15 V.

7.Exprimer la diff´erence de potentiel entre les pointsAetB vA(t)−vB(t) en fonction deu(t) =u1(t)−u2(t).

8.Quelle conditions doivent satisfaire les r´esistancesR1,R2,R3etR4pour que le signals1(t) soit proportionnel

`a u(t) ? Ces conditions seront respect´ees par la suite.

9.Quelles sont les fonctions de chacun des amplificateurs op´erationnels de la figure 6. Quel est l’int´erˆet d’un tel montage ?

Apr`es conditionnement, le signal est trait´e par le montage de la figure 7.

bb b

- +

AO4

b

S1

s1(t)

bb

R5

b b

R6

b b

C

bb

R

bb

R7

bb b

+ -

AO5

b b

R8

bb

R9

bb

R10

bb

s2

s3

b

s4 s(t)

i= 0 C.I.

ε5

Figure 7 – Circuit de comptage 10.Expliquer la fonction de l’amplificateur op´erationnel n^◦4.

11.Le signals3(t) est observ´e `a l’oscilloscope et on obtient le trac´e de la figure 8. Quel est l’int´erˆet du dispositif permettant de passer du signals2(t) au signals3(t) ? Comment choisir le produitRC pour obtenir le meilleur r´esultat ?

t(µs) s3( mV)

600 0 -600

-15 0 15

Figure 8 – Enregistrement du signals3(t)

12.Expliquer de mani`ere d´etaill´ee la fonction de l’amplificateur op´erationnel n^◦5 qui fonctionne en saturation.

On prendraR8= 100R7.

13.Le compteur d’impulsions (C.I.) plac´e en fin de montage fonctionne avec une tension d’entr´ee voisine de 5V et l’intensit´e de son courant d’entr´ee est nulle. La diode est id´eale, de tension de seuil nulle et de r´esistance nulle dans le sens passant. Elle se comporte donc comme un interrupteur id´eal ferm´e dans le sens passant et ouvert dans le sens bloqu´e. Les r´esistancesR9 etR10 v´erifient la relationR9= 2R10. Expliquer le rˆole jou´e par la diode dans l’´evolution des(t) au cours du temps et tracer sur le mˆeme graphique l’allure des oscillogrammes s4(t) ets(t).

14.Entre deux annulations de la visibilit´eV(e) (ou contraste), le nombre d’impulsions affich´e par le compteur est N = 4464 pour une dur´ee de comptage 2τ = 3×10⁻⁵s correspondant `a un d´eplacemente= 0,2721 mm.

calculer la valeur des fr´equencesν0 et ∆ν.