Devoir libre de Sciences Physiques n
◦2 du 04-10-2021
Probl` eme n
o1 – Contraste de phase
E3A PC 2012 De nombreux objets transparents sont le si`ege de variations locales d’indice de r´efraction qui influent seulement sur la phase de l’onde lumineuse qui les traverse. Ces variations locales sont imperceptibles avec les moyens de l’optique g´eom´etrique. La m´ethode du contraste de phase, tr`es utilis´ee en microscopie, consiste `a transformer les fluctuations de phase induites par l’objet en fluctuations d’amplitude, facilement d´etectables. Le chemin optique entre deux pointsM etN sera not´e (M N). Toutes les exp´eriences sont r´ealis´ees dans l’air, dont l’indice de r´efraction est assimil´e `a celui du vide. Nous utilisons la convention usuelle relative `a la repr´esentation complexe d’un signal optique : le signals(M, t) associ´e au point M, `a une onde optique de pulsationω et d’amplitude complexea(M) est obtenu par la relations(M, t) =ℜ[a(M) exp(jωt)].A. Interf´ erences ` a trois sources ponctuelles
Consid´erons la situation id´ealis´ee repr´esent´ee sur la figure 1 : trois sources ponctuelles ´equidistantesA0,A1et A−1 sont align´ees sur l’axeOx, aux positions respectivesx= 0,x=betx=−b. Ces sources sont parfaitement monochromatiques, de longueur d’onde dans le videλet coh´erentes entre elles.
z x
bbb
A1 A0
A−1
O
(L1) x
M F′
f′ y
Ecran´
bb
Figure 1 – Interf´erences `a 3 sources
Les deux sourcesA1 etA−1 oscillent en phase, mais sont en retard de phase deϕrelativement `a la sourceA0. L’´eclairement est observ´e au pointM d’un ´ecran plac´e dans le plan focal image d’une lentille convergente (L1), d’axe optique confondu avec l’axeOz, de distance focale imagef′. Le pointM est rep´er´e par ses coordonn´ees dans le rep`ereF′xy, F′ ´etant le point focal image de (L1). Il est admis que le pointM est voisin du centre de l’´ecran (|x| ≪f′ et |y| ≪f′).
Diff´erences de marche et d´ephasages
1.Montrer que la diff´erence de marche au pointM, δ1/0=−bx/f′ entre l’onde issue deA1 et celle issue de A0.
2.Exprimer la diff´erence de marcheδ−1/0 observ´ee enM entre l’onde issue de A−1 et celle issue de deA0. 3.D´eterminer, en fonction deϕ,x,f′,λetb, le d´ephasageδφ1/0au pointM entre l’onde issue deA1et celle issue deA0. Mˆeme question pourδφ−1/0.
Eclairement observ´´ e sur l’´ecran
Lorsqu’elle est seule, la source A0 cr´ee enM un ´eclairement E0. La sourceA1 est beaucoup moins puissante que A0 : seule, elle cr´ee enM un ´eclairementm2E0, o`u m est une constante v´erifiantm≪1. La source A−1 est de mˆeme intensit´e que la sourceA1. Soit a0, l’amplitude complexe au pointM de l’onde issue deA0 eta1
l’amplitude complexe enM de l’onde issue de A1. 4.Quelle relation lie|a1|et|a0|?
5.Justifier la relation suivante, entre les arguments dea1 eta0 : arg(a1) = arg(a0)−ϕ+2πbx
λf′ Exprimera1 en fonction dea0,x, b,f′,m,λet ϕ.
6.En d´eduire, au pointM, l’amplitude r´esultanteatot due `a la superposition des trois ondes en fonction de a0,x,b,f′,m,λetϕ.
7.Montrer, au premier ordre enm, que l’´eclairementE sur l’´ecran est de la forme :
E=E0
1 +γcosϕcos2πbx λf′
et exprimerγ en fonction dem.
8.Pr´eciser la forme et l’orientation des franges brillantes. D´eterminer leur position en distinguant les cas o`u cosϕ >0 et cosϕ <0.
9.Quel est, en fonction deγ etϕ, le contraste Γ de la figure d’interf´erences ? 10.Pour quelles valeurs de ϕ, les interf´erences disparaissent-elles compl`etement ?
B. Diffraction et imagerie
Diffraction de Fraunhofer par une fente allong´ee
Le montage est celui de la figure 2 : une fente tr`es allong´ee selon Y, de centreO et de largeurL, situ´ee dans le planOXY, est ´eclair´ee en incidence normale par une onde monochromatique incidente, plane, de longueur d’onde dans le vide λ. L’´ecran d’observation est situ´e dans le plan focal image d’une lentille convergente (L1) de distance focalef′. Un pointM du plan d’observation est rep´er´e par son abscissex.
z
X (L1) x
M F′
f′ y
Ecran´
bb
Onde incidente
bb
P O
Fente
L
Figure2 – Diffraction par une fente allong´ee
11.Rappeler le principe d’Huygens-Fresnel.
12.Reproduire sur votre copie le sch´ema de la figure 2 et repr´esenter le trajet suivi par deux ondes parvenant au pointM : l’une passant parO et l’autre passant par un pointP d’abscisseXP de la fente.
13.Exprimer la diff´erence (P M)−(OM), des chemins optiques suivis par ces deux ondes en fonction dex, XP et f′ en admettant que|x| ≪f′.
14. Expliquer qualitativement pourquoi la diffraction s’effectue seulement dans le plan OXz. Justifier que l’amplitude complexea(M) de l’onde r´esultante diffract´ee enM par la fente est donn´ee par l’int´egrale :
a(M) =K Z L/2
−L/2
exp
j2πxXP
λf′
dXP
o`uK est une constante multiplicative.
15.D´eterminer explicitementa(M) en fonction deK,L,λ,xetf′.
16.Exprimer l’´eclairementE(x) en fonction deK,L,λ,xetf′et de l’´eclairement maximalEmax. Repr´esenter graphiquement la courbeE(x) en faisant apparaˆıtre les points remarquables.
17.Que devient la figure de diffraction siL→ ∞?
18.Application num´erique : l’onde plane incidente a une longueur d’ondeλ= 500 nm, la fente est de largeur L= 5 cm et la lentille (L1) a pour distance focale f′ = 1 m. D´eterminer num´eriquement la largeur ∆xdu pic central d’´eclairement.
Diffraction par une lame d’indice variable
Une lame parfaitement transparente, ditelame objet, d’´epaisseur d, est plac´ee devant la fente pr´ec´edente, voir la figure 3. L’indice de cette lame varie d’un point `a l’autre : il d´epend de l’abscisseX selon la loi p´eriodique n(X) =n0+εcos2πX
Λ , o`u Λ est la p´eriode des variations d’indice etεune constante v´erifiantε≪1. La lame objet ne provoque aucun changement d’intensit´e des ondes qui la traversent.
z
X (L1) x
M F′
f′ y
Ecran´
bb
Onde incidente
bb P
O Fente
L d
Figure3 – Diffraction avec lame d’indice variable
19. D´eterminer, en fonction de x, XP, d, ε, Λ et f′, la diff´erence, not´ee δP/O, entre les chemins optiques menant de la source `aM, et qui passent respectivement par les pointsP etO.
20.En d´eduire que l’amplitude complexe de l’onde r´esultante diffract´ee enM par le syst`eme lame-fente est donn´ee par l’int´egrale1 :
a(M) =K′ Z L/2
−L/2
exp
j2π λ
xXP
f′ −εd
cos
2πXP
Λ
−1
dXP
o`uK′ est une constante.
Dans la mesure o`uε≪1, il est possible d’´ecrire au premier ordre enε: exp
j2π
λ xXP
f′ −εd
cos
2πXP
Λ
−1
≃exp
j2πxXP
λf′ 1−j2πεd λ
cos
2πXP
Λ
−1
21.Montrer que l’amplitude complexe de l’onde diffract´ee est de la forme2 : a(M) =
1 +j2πεd λ
F(x)−jπεd λ F
x−λf′
Λ
−jπεd λ F
x+λf′
Λ
o`uF(x) est une fonction que l’on exprimera en fonction deK′,L,λ,xetf′. Dans la suite du sujet, on consid´erera que 1 +j2πεdλ
≃ 1 et on travaillera avec l’expression suivante de l’amplitude complexe :
a(M) =F(x)−jπεd λ F
x−λf′
Λ
−jπεd λ F
x+λf′
Λ
22.En d´eduire qu’`a la limiteL → ∞, l’amplitude de l’onde diffract´ee est nulle partout, sauf en trois points B0,B1 et B−1, dont les abscisses respectives sont not´ees 0,x1,x−1. Exprimer x1 en fonction deλ, Λ etf′.
23.Application num´erique : les valeurs num´eriques sont celles de la question18.et la p´eriode de modulation d’indice est Λ = 0,1 mm. D´eterminerx1. Comparer `a ∆xet commenter.
24.Quel est le retard de phaseφdes ondes observ´ees en B1 etB−1par rapport `a celle obtenue enB0? Observation dans le plan conjugu´e de la fente
Le montage de la figure 3, est modifi´e comme indiqu´e en figure 4. Une lentille (L′1) identique `aL1, est intercal´ee entre l’´ecran et le plan focal de (L1). L’´ecran est plac´e dans le plan focal de (L′1). Le centreOde la fente co¨ıncide avec le point focal objet de (L1). Les pointsB0,B1et B−1 sont ´egalement indiqu´es sur la figure 4.
25.Pr´eciser l’aspect de l’´ecran, en l’absence des ph´enom`enes de diffraction.
26.Justifier que l’onde observ´ee en un pointM de l’´ecran peut ˆetre consid´er´ee comme la superposition des ondes issues de trois sources ponctuelles fictives situ´ees aux pointsB0,B1et B−1.
Soita′0l’amplitude complexe enO′ associ´ee `a l’onde issue deB0.
27.Exprimer enO′ les amplitudes complexesa′1eta′−1correspondant aux ondes issues respectivement deB1, B−1en fonction de a′0,ε,det λ.
1. L’expression donn´ee dans l’´enonc´e ´etait fausse, la contribution du termeεdavait ´et´e oubli´ee.
2. L’expression donn´ee dans l’´enonc´e ´etait fausse, le terme
1 +j2πεdλ
avait ´et´e oubli´e.
X (L′1) x M
F′
f′ y O′
Ecran´
bb
Onde incidente
b bbb
O
B0
B1
B−1 (L1)
f′ f′
f′
Figure4 – Observation dans le plan conjugu´e de la fente
Pour calculer l’´eclairement au point M, il est donc possible de transposer les r´esultats vus dans la premi`ere partie du probl`eme en consid´erant que les sources fictives B0,B1 et B−1 jouent le rˆole des sourcesA0, A1 et A−1avec les param`etres de phase et d’amplitude ad´equats. Par exemple, le retard de phaseφdeB1par rapport
`
a B0joue le mˆeme rˆole que le param`etreϕde la premi`ere partie.
28. Pr´eciser les expressions `a donner aux grandeurs γ et b de la relation de la question 7. pour obtenir l’´eclairement enM dans le montage de la figure 4.
29.Montrer que, au premier ordre en ε, l’´eclairement sur l’´ecran est uniforme sur une bande de largeurL′, `a exprimer en fonction deL. Commenter ce r´esultat.
Le montage de la figure 4 ne permet donc pas de visualiser les variations d’indice qui existent dans la lame : l’in- formation associ´ee `a ces variations est irr´em´ediablement perdue ! La m´ethode du contraste de phase, introduite par le physicien n´eerlandaisZernikeen, permet d’acc´eder `a cette information.
Contraste de phase
Juste avant le plan focal de (L1), est dispos´ee une lame de verre (Dp) d’indice n1, `a faces parall`eles, poss´edant une sur´epaisseur e au niveau de B0, voir la figure 5. Les ´epaisseurs au niveau de B1 et B−1 sont ´egales. les angles d’incidence ´etant tr`es faibles, il est possible de n´egliger les d´eviations par r´efraction dues `a la lame (Dp) et de consid´erer qu’elle est travers´ee sous une incidence normale.
X (L′1) x
M
F′
f′ y O′
Ecran´
bb
Onde incidente
b bbb
O
B0 B1
B−1 (L1)
f′ f′
f′
Dp
e
Figure 5 – Contraste de phase
30.Exprimer, en fonction de φ,n1, λet e, le nouveau retard de phaseφ′ des ondes obtenues enB1 et B−1 relativement `aB0.
31.En d´eduire que l’´eclairementE(M) observ´e sur l’´ecran est de la forme : E(M) =E0
1 + 4επd λ sin
2π
λ (n1−1)e
cos 2πx
Λ
Quel est le sens concret de E0? Expliquez comment l’analyse de la figure d’´eclairement permet d’acc´eder aux variations d’indice de la lame.
32.L’indicen1´etant fix´e, quelles sont les valeurs deequi rendent maximal le contraste de la figure ? Application num´erique : calculer la plus petite valeur deeayant cette propri´et´e. On prendran1= 1,5.
33.Quelle est l’abscisseXM′ du point M′ de la fente dont l’image g´eom´etrique par l’ensemble du montage est le pointM d’abscissex? Parmi les valeurs optimales dee, quelles sont celles pour lesquelles un maximum d’´eclairement en M est associ´e `a un maximum d’indice de la lame objet enXM′? De mˆeme, quelles sont les
valeurs de e pour lesquelles un maximum d’´eclairement en M est associ´e `a un minimum d’indice de la lame objet enXM′?
C. Suivi d’une exp´ erience de diffusion
La technique de contraste de phase peut ˆetre utilis´ee pour ´etudier la diffusion de corps transparents dans l’eau.
On ´etudie, ici, la diffusion du sucre (saccharose) et plus particuli`erement l’att´enuation d’une inhomog´en´eit´e de concentration par diffusion.
Perturbation sinuso¨ıdale de concentration
Le coefficient de diffusion du sucre dans l’eau est not´eDs. Il est suppos´e ind´ependant de la concentration. Une solution sucr´ee poss`ede, `a l’instantt= 0, une concentration en sucre d´ependant de l’abscissexselon une loi de la forme :
c(x, t= 0) =c0+c1cos 2πx
Λ
o`uc0,c1≪c0 et Λ sont des constantes. L’´evolution ult´erieure pourt >0 de la concentration est cherch´ee sous la forme c(x, t) =c0+f(t) cos
2πx Λ
. On rappelle que l’´equation de diffusion, dans une situation unidimen- sionnelle, est :
∂2c
∂x2 = 1 Ds
∂c
∂t
34.D´eterminer, en fonction deDs et Λ, l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par la fonctionf(t). R´esoudre cette
´equation en tenant compte des conditions initiales. Exprimerf(t) en fonction dec1,tet d’un temps caract´eris- tiqueτ1 `a ´ecrire en fonction deDset Λ. Quel sens concret donnez-vous au param`etreτ1?
35.Repr´esenter graphiquement, pour t > 0 donn´e, l’´evolution de la concentration c(x, t) en fonction de x.
Tracer ´egalement la distribution limitec(x, t→ ∞).
Visualisation par contraste de phase et analyse exp´erimentale
L’indice de r´efraction de l’eau sucr´ee varie, aux faibles concentrations, selon une loi quasi lin´eaire :n=ne+βc, avecne= 1,33 etβ= 3×10−4m3·mol−1. Une cuve `a faces parall`eles, d’´epaisseurd, est remplie d’une solution dont la concentration en sucre, `a l’instantt= 0, varie de fa¸con p´eriodique avec une p´eriode spatiale Λ. Apr`es une phase initiale, la concentrationc(x, t) peut ˆetre d´ecrite par la loi vue pr´ec´edemment. Cette cuve est utilis´ee comme lame objet dans le montage d´ecrit dans la partie pr´ec´edente. La source lumineuse et la g´eom´etrie du dispositif sont inchang´ees. La lame Dp est ajust´ee de telle fa¸con qu’un maximum d’indice correspond `a un maximum d’´eclairement.
36.Montrer que l’´eclairementE observ´e sur l’´ecran `a l’instanttpeut s’´ecrire : E=E0
1 + (ξc1d) exp−t τ1cos
2πx Λ
et exprimerξen fonction de β etλ.
Dans la suite, sera adopt´ee pourξ la valeur num´eriqueξ= 7,5×103m2· mol−1. En pratique, les franges sont visibles si leur contraste est sup´erieur `a une valeur Γmin= 0,010.
37. Pour une cuve d’´epaisseur d donn´ee, exprimer la plus petite variation de concentration cmin d´ecelable initialement, en fonction de Γmin,ξ etd. Calculer num´eriquementcmin en mol·m−3 pourd= 1,0 mm.
La figure 6 repr´esente le contraste normalis´e Γ(t)/Γ(0) en fonction du temps en secondes, obtenu pour une r´epartition initiale de p´eriode spatiale Λ = 1 mm.
38.Expliquer pourquoi les premiers points ne sont pas align´es avec les autres.
39.D´eduire de ces r´esultats la valeur num´erique du coefficient de diffusion Ds du sucre dans l’eau.
0 50 100 150 200 0,01
0,1 1 10
t(s) Γ(t)
Γ(0)
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
Figure6 – Contraste normalis´e en fonction du temps
