La géométrie dans l’espace Intro
La géométrie dans l’espace est une partie du programme qui commence dès le primaire et que l’on retrouve tout au long des cycles du collège et du lycée.
Elle est nécessaire aux enfants puisqu’ils évoluent dans un espace à 3 dimensions mais que les représentations des objets s’effectuent dans le plan, c’est-à-dire dans un univers à 2 dimensions.
L’étude de la géométrie dans l’espace en collège a donc pour but d’aider les élèves à passer d’un univers à l’autre.
1) Objectifs en collège
Etude des solides : Cube et parallélépipède rectangle en primaire et en 6e (description, construction, patron).
Prisme droit et cylindre de révolution en 5e Pyramide et cône en 4e
Sphère en 3e
Découverte de la perspective cavalière en 6e dont certaines caractéristiques sont données aux élèves.
Constructions de patrons : passage d’un objet à ses représentations et inversement (lien avec la technologie).
Fabriquer et consolider les images mentales relatives à des situations de parallélisme et d’orthogonalité.
Utilisation du vocabulaire : face, arête, sommet.
Calculs de longueurs, d’aires et de volumes dès la 4e. 2) Obstacles en classe de 3e
Voir : faire le lien entre un objet et ses représentations (perspective cavalière et patrons).
Dessiner : respecter les règles de la perspective cavalière.
Imaginer : section d’un solide par un plan (déplacement de ce plan de section le long d’un axe).
Calculer : comprendre que les propriétés de géométrie plane peuvent
s’appliquer aux solides, il suffit d’isoler un plan, et que les enchaînements de calculs nécessitent d’utiliser des valeurs exactes.
3) Activités
Activité 1 : (liée à l’obstacle voir) Construction d’un tétraèdre par pliage 1. Prendre une feuille de papier A4 et marquer le pli central.
2. Marquer le pli de part et d’autre du pli central 3. Plier chaque côté jusqu’au pli central.
4. Amener le coin inférieur droit sur le pli central
5. Amener le coin supérieur sur le côté inférieur 6. Plier à nouveau
7. Répéter cette opération une dernière fois 8. Plier le dernier triangle
9. Déplier à plat le tout en gardant le coin supérieur gauche plié.
10. Enrouler, puis rentrer le triangle de gauche dans le petit de droite.
11. Le tétraèdre est assemblé.
Activité 2 : (liée à l’obstacle voir, dessiner et calculer) Savoir construire en vraie grandeur
On considère la pyramide régulière ci- contre dans laquelle :
ABCD est un carré de 4 cm de côté,
SA=SB=SC=SD=10 cm
a) Construire, en vraie grandeur, le triangle SOA, puis un patron de la pyramide SOAB.
b) Calculer la valeur exacte du volume de la pyramide SOAB.
Activité 3 : (liée à l’obstacle dessiner, imaginer et calculer) Calculer le rayon d’une section plane d’une sphère
On donne une sphère de centre O et de rayon R, avec en centimètres R=16. On coupe la sphère par un plan Q. La perpendiculaire issue de O au plan Q coupe ce plan en H.
On sait que OH=10.
Calculer le rayon du cercle qui est l’intersection du plan et de la sphère.
O
H P
dessin à faire par l’élève.
A B
D C S
O
Activité 4 : (liée à l’obstacle imaginer et calculer) : Section d’un solide par un plan (TICE↔voir SECTION PYRAMIDE.g3w)
SABCD est une pyramide à base carrée de hauteur [SH].
On donne AB=4 cm et SH=6 cm.
Partie 1 :
1) Calculer l’aire de sa base
2) Calculer le volume de cette pyramide.
Partie 2 :
Touche 0 : M est un point libre du segment [SH]
On pose SM = x. M peut être déplacé avec la souris.
En vert, P est le plan contenant le point M et parallèle au plan de base de la pyramide.
Touche 1 : A’B’C’D’ est la section de la pyramide par le plan P.
Partie 3 :
1) Exprimer en fonction de x, la longueur du côté du carré A’B’CD’.
(aide : touche F7 pour afficher une vue de la face SAB Ctrl F1 pour revenir à la figure initiale)
2) Exprimer en fonction de x, l’aire du carré A’B’C’D’.
3) Exprimer en fonction de x, le volume de la pyramide SA’B’C’D’.
Partie 4 :
1) Compléter les deux premières lignes du tableau ci-dessous.
2) En utilisant la touche 2 et en déplaçant le point M, compléter les trois dernières lignes.
SM 2 3
Conclusion :
Les obstacles spécifiques à la géométrie dans l’espace relèvent principalement de la capacité de l’élève à se repérer lui-même dans l’espace. Les logiciels de
géométrie dynamique trouvent ici toute leur utilité (représentation de solides et glissement de sections planes). Toutefois, en 3e, la majorité des élèves a
surmonté l’obstacle principal (voir) et le travail portera surtout sur la transition espace↔plan pour les calculs.
Fiche Jury
La géométrie dans l’espace 1) Objectifs en collège
2) Obstacles en classe de 3 e 3) Activités
Activité 1 : (liée à l’obstacle voir) Construction d’un tétraèdre par pliage 1. Prendre une feuille de papier A4 et marquer le pli central.
2. Marquer le pli de part et d’autre du pli central 3. Plier chaque côté jusqu’au pli central.
4. Amener le coin inférieur droit sur le pli central 5. Amener le coin supérieur sur le côté inférieur 6. Plier à nouveau
7. Répéter cette opération une dernière fois 8. Plier le dernier triangle
9. Déplier à plat le tout en gardant le coin supérieur gauche plié.
10. Enrouler, puis rentrer le triangle de gauche dans le petit de droite.
11. Le tétraèdre est assemblé.
Activité 2 : (liée à l’obstacle voir, dessiner et calculer) Savoir construire en vraie grandeur On considère la pyramide régulière ci-contre dans
laquelle :
ABCD est un carré de 4 cm de côté,
SA=SB=SC=SD=10 cm
a) Construire, en vraie grandeur, le triangle SOA, puis un patron de la pyramide SOAB.
b) Calculer la valeur exacte du volume de la pyramide SOAB.
Activité 3 : (liée à l’obstacle dessiner, imaginer et calculer) Calculer le rayon d’une section plane d’une sphère
On donne une sphère de centre O et de rayon R, avec en centimètres R=16. On coupe la sphère par un plan Q. La perpendiculaire issue de O au plan Q coupe ce plan en H.
On sait que OH=10.
Calculer le rayon du cercle qui est l’intersection du plan et de la sphère.
Activité 4 : (liée à l’obstacle imaginer et calculer) : Section d’un solide par un plan Activité TICE avec Géospace
SABCD est une pyramide à base carrée de hauteur [SH].
On donne AB=4 cm et SH=6 cm.
Partie 1 :
1) Calculer l’aire de sa base
2) Calculer le volume de cette pyramide.
A B
D C S
O
Partie 2 :
Touche 0 : M est un point libre du segment [SH]
On pose SM = x. M peut être déplacé avec la souris.
En vert, P est le plan contenant le point M et parallèle au plan de base de la pyramide.
Touche 1 : A’B’C’D’ est la section de la pyramide par le plan P.
Partie 3 :
1) Exprimer en fonction de x, la longueur du côté du carré A’B’CD’.
(aide : touche F7 pour afficher une vue de la face SAB Ctrl F1 pour revenir à la figure initiale)
2) Exprimer en fonction de x, l’aire du carré A’B’C’D’.
3) Exprimer en fonction de x, le volume de la pyramide SA’B’C’D’.
Partie 4 :
1) Compléter les deux premières lignes du tableau ci-dessous.
2) En utilisant la touche 2 et en déplaçant le point M, compléter les trois dernières lignes.
SM 2 3
