On me donne n points dans le plan, trois d’entre eux n’étant jamais sur la même droite.
Je les répartis en 100 sous-ensembles disjoints, en sorte de minimiser le nombre total de triangles que je peux former avec trois points du même sous-ensemble (ces triangles sont comptés comme distincts même quand ils ont un ou deux sommets en commun). Déterminer n, sachant que chaque sous-ensemble contient au moins 3 points et qu'il y a 116280 triangles.
Avec k points, on peut former k(k-1)(k-2)/6 triangles distincts; si le nombre total de triangles que l’on peut former est minimal, l’écart entre les nombres de point de deux sous-ensembles est au maximum de 1. En effet la concavité de la
fonction entraine que si k-h>1, le nombre total de triangles pour deux ensembles de k-1 et h+1 points est inférieur à celui de deux ensembles de k et h points.
Il y a donc en moyenne un peu plus de 1162 triangle par paquet ; on obtient 1140 triangles pour k=20 et 1330 pour k=21.
Or 1330-1140=190, et 116280-114000=2280=12*190.
Il y a donc 12 paquets de 21 points et 88 paquets de 20 points, soit 2012 points.
