? Spé - St Joseph/ICAM Toulouse ?
Math. - CC 1 - S2 - Analyse
vendredi 12 mars 2021 - Durée 1 h
Toutes les réponses seront justifiées. La notation tiendra compte du soin apporté à la rédaction.
EXERCICE 1
On cherche les fonctionsg: R2→R, de classeC1, vérifiant :
∂g
∂x +∂g
∂y =a , a∈R 1. On notef : R2→Rla fonction définie parf(u, v) =g
u+v 2 ,u−v
2
. Montrer que
∂f
∂u =a 2 2. En déduire les solutions de l’équation initiale.
EXERCICE 2 1. a. Convergence
On poseJn = Z +∞
0
tne−t2dtetIn= Z +∞
−∞
tne−t2dt.
i. Justifier que pour toutn∈N, tne−t2 =
t→+∞◦ 1
t2
.
ii. Montrer alors que pour tout n∈N, l’intégraleJn est convergente.
iii. En déduire que pour toutn∈N, l’intégraleIn est convergente.
iv. En déduire que pour tout polynômeP∈R[X], l’intégrale Z +∞
−∞
P(t)e−t2dtest convergente.
b. Calcul
Pour la suite, on admet que Z +∞
−∞
e−t2dt=√ π.
i. Établir à l’aide d’une intégration par parties que pour toutn∈N, In+2 =n+ 1 2 In. ii. Montrer que pour toutp∈N, I2p+1= 0.
iii. Montrer que pour toutp∈N, I2p= (2p)!
22pp!
√π.
2. Recherche des extrema
SoitF la fonction définie surR2 par
F(x, y) = 1
√π Z +∞
−∞
(t−x)2(t−y)2e−t2dt a. Montrer queF est définie surR2et que∀(x, y)∈R2, F(x, y) =3
4 +1
2(x2+ 4xy+y2) +x2y2. b. Montrer queF possède trois points critiques surR2 qui sont(0,0),
1
√2,− 1
√2
et
− 1
√2, 1
√2
. c. Déterminer, lorsqu’ils existent, les extremum locaux de F surR2.
Fin de l’énoncé d’analyse
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