Extensions de corps, g´ en´ eralit´ es

(1)

Alg`ebre 2 – correction du TD2 2010-2011

Extensions de corps, g´ en´ eralit´ es

Exercice nô 1 Soient K un corps, etP un polynôme irréductible de degré n sur K. SiLest une extension deK de degré premier àn, montrer queP est irréductible surL.

Correction. Soit Q un facteur irréductible deP surL, et notons L⁰ un corps de rupture de Q dans L. Si α une racine de Q dans L. Le degr´e de l’extension L⁰/L est égal au degré de Q. Le corpsK[α] est un corps de rupture de P dans K, ce qui montre queK[α] :K] =n. On a l’´egalité

[L⁰ :K] = [L⁰ :L][L:K] = [L⁰ :K[α]][K[α] :K] =n[L⁰ :K[α]].

Commen est premier avec [L:K], n divise [L⁰ :L] = degQ. Comme le degr´e de Q est inférieur ou égal à n, cela prouve que ce dgr´e vaut n, ce qui signifie que P est irréductible sur L.

Exercice n^o 2 Soit L/K une extension de degr´e 2.

1. Si la caract´eristique de K est diff´erente de 2, montrer qu’il existe x ∈ L tel que L = K(x) et x² ∈ K. Montrer que K(√

x) et K(√

y) sont isomorphes commeK-alg`ebres si et seulement si yx⁻¹ est un carr´e dans K.

2. Supposons que K est de caractéristique 2. Montrer que si L n’est pas de la forme K(x) avec x² ∈K, il existez ∈L tel que L=K(z) et z²−z ∈K. En déduire une classification des extensions de degré 2 de K à isomorphisme de K-alg`ebre près.

Correction.

1. Voir cours.

2. Avec les notations de l’énoncé, soit x ∈L\K. Comme L est de degré 2 sur K,L=K[x] et l’on a une relation du typex² =ax+b aveca, b∈K. Comme par hypothèsex² n’est pas dans K, a est non nul. On peut alors écrire

(x

a)² = x a + b

a². Sit = ^x_a, on a donc L=K(t) et t²−t∈K.

Soient Let L⁰ deux extensionsK-isomorphes de degré 2 deK. Alors siL est engendrée par une racine carrée d’un élément K, c’est aussi le cas de L⁰, ce qui nous ramène au cas de la première question. Sinon, L et L⁰ sont toutes deux engendrées par des élémentsyetz tels que y²−y =a etz²−z=b,aet béléments deK. LesK-algèbresLetL⁰ sont alors isomorphes si et seulement si il existeµ∈K tel queµ²−µ=a−b. En effet, si les deux alg`ebres sont les mêmes, on peut écrire z =λy+µ. On a alors

b =z² −z =λ²a+µ²−µ+λ(λ−1)y.

Commeb est dansK, cela implique λ= 1 et µ²−µ=a−b. La r´eciproque se traite de mˆeme.

(2)

Exercice nô 3 (Autour de la clôture algébrique) 1. Dans C, considérons les corps K = Q(i), L = K(√

2), M = K(√⁴

2) et le corps Q des nombres alg´ebriques sur Q. Soit f ∈ Aut_K(L) l’automorphisme qui envoie√

2 sur son oppos´e. Montrer qu’il existe un automorphisme de M qui prolonge f, mais qu’il n’existe pas d’automorphisme involutif de M qui prolonge f.

2. Montrer que tout automorphisme de Q laisse M stable. En d´eduire qu’il n’existe pas d’automorphisme involutif deQ qui prolonge f.

3. Montrer qu’il n’existe pas d’applicationclôture algébrique qui à tout corps K associe un corpsK et un morphisme de corpsK →K et à tout morphisme de corps f :K →Lassocie un morphisme f :K →L tel que le diagramme

K ^f ^//L

K ^//

OO

L

OO

commute et tel que pour tousf, g, on aitf ◦g =f◦g.

Correction.

1. M est le corps de décomposition du polynôme X⁴−2 sur K, c’est donc une extension normale de K. Consid´erons le morphisme L → Q défini comme le composé de f avec l’inclusion de L dans Q. D’apr`es le cours, il se prolonge à M en un morphisme φ : M → Q. Comme M est le corps de décomposition dans Q d’un polynôme à coefficients dans K, l’image de φ est contenue dans M, et c’estM pour des raisons de degré. L’automorphismef ainsi obtenu est bien un prolongement def.

Soit ψ un automorphisme involutif de M qui prolonge f. Le morphisme ψ envoie √⁴

2 sur une racine de X⁴ −2, soit sur i^k√⁴

2 pour un certain entier k.

Comme f, et donc ψ, envoie i sur i, ψ envoie i^k√⁴

2 sur (−1)^k√⁴

2. Comme ψ est une involution, k est pair. Cela implique

ψ(√

2) =ψ(√⁴

2)² = (−1)^k√ 2 =√

2, ce qui est une contradiction.

2. On a vu que M est une extension normale de Q. Le corps M est donc globa- lement stable par automorphisme deQ. Le r´esultat suit.

3. Remarquons tout d’abord que si K est un corps, Id_K =Id_K. En effet, on a Id_K◦Id_K =Id_K =Id_K◦Id_K

ce qui implique le r´esultat.

Soient maintenantLetf comme plus haut. Commef est une involution, l’as- sertion précédente montre que f est une involution. Cela implique, puisque deux clôtures algébriques de L sont isomorphes, l’existence d’un automorphisme involutif de Q qui prolonge L. On obtient bien une contradiction.

(3)

Quelques calculs explicites

Exercice n^o 4

1. D´eterminer le polynˆome minimal de√ 2 +√

3.

2. Quel est le degr´e de l’extension engendr´ee par √⁵

10 +√³ 7 ?

Correction.

1. Soit

P(X) = (X−√ 2−√

3)(X+√ 2−√

3)(X−√ 2+√

3)(X+√ 2+√

3) =X⁴−10X²+1.

Le polynôme P est un polynôme à coefficients entiers qui annule √ 2 +√

3.

PuisqueP n’a pas de racine dansQ, siP n’est pas irréductible, il a un facteur irréductible de degré 2 à coefficients dans Q. L’expression donnée ci-dessus de P comme produit de polynômes de degré 1 permet de se convaincre facilement que ce n’est pas le cas.

2. Soit α = √⁵

10 +√³

7. On peut commencer par montrer en utilisant le crit`ere d’Eisenstein queL=Q(√²

10,√³

7) est de degr´e 15 sur Q. Montrons queQ(√³

7) est l’unique sous-corps de degré 3 deL. SoitK un sous- corps de dimension 3 sur Q. Si le polynôme X³−7 n’est pas irréductible sur K, K(√³

7) est un sous-corps de degré 9 de L, ce qui est impossible car 9 ne divise pas 15. Il a une racine dans K, c’est une racine r´eelle car les éléments deK sont réels, c’est donc √³

7, et K =Q(√³ 7).

De même, siK est un sous-corps de degré 5, on peut voir queX⁵−10 n’est pas irréductible sur K. S’il n’a pas de racine dans K, il a un diviseur de degr´e 2 irréductible dans K. Ses racinesαetβ vérifient alorsα+β ∈K ⊂R. Comme elles sont de la forme ζⁱ√⁵

10 avec ζ = e^2iπ⁵ , l’examen des racines 5-i`emes de l’unit´e montre que l’on a obligatoirement αβ = √⁵

10². Donc √⁵

10² ∈ K.

Comme 2 et 5 sont premiers entre eux, on a alors √⁵

10∈K etK =Q(√⁵ 10).

Ces deux résultats impliquent sans difficulté que le sous-corps engendré parα est de degré 15.

Exercice n^o 5 Soit K =Q(√³

2, j) o`u j =e^2iπ/3 ∈C.

1. Déterminer le degré deKsurQ, et exprimerKcomme corps de décomposition d’un polynôme bien choisi.

2. D´eterminer tous les sous-corps de K ainsi que leur degr´e.

3. Donner un polynôme irréductible de degré 3 à coefficients rationnels dont le corps de décomposition est de degré 3 surQ.

Correction.

1. On v´erifie sans difficult´e que √³

2 est de degr´e 3 sur Q car racine de X³ −2.

Sij ´etait dans Q(√³

2), il engendrerait une extension de degr´e 2 de Q incluse

(4)

dans Q(√³

2, ce qui est impossible car 2 ne divise pas 3. Comme j est racine deX²+X+ 1,K est une extension de degr´e 2 deQ(√³

2, doncK est de degr´e 6 sur Q. Les racines du polynˆome X³−2 dans C sont √³

2, j√³

2 etj²√³ 2, ce qui montre queK est le corps de d´ecomposition de X³−2.

2. Les nombres √³ 2, j√³

2 et j²√³

2 sont les trois racines du polynôme X³ − 2 et ce dernier est irréductible sur Q. Ils sont donc tous trois de degré 3 sur Q. Ils engendrent des sous-corps différents, d’où plusieurs sous-corps de L = Q(j,√³

2) : Q, Q(j) de degr´e 2, Q(√³

2), Q(j√³

2), Q(j²√³

2) de degrés 3 et L lui-même de degré 6. Nous allons montrer que ce sont les seuls. Soit K un sous-corps deLqui soit différent deQ et deL. Son degré divise 6, c’est donc 2 ou 3. Supposons K de degré 2. Si j /∈ K, K(j) serait de degr´e 2 sur K, donc de degré 4 sur Q, c’est impossible étant donné que 4 ne divise pas 6. Si maintenantK est de degré 3 et ne contient aucune des trois racines deX³−2, ce dernier est irréductible surK et donc K(√³

2) est de degr´e 3 sur K, donc 9 surQ. Encore une fois, 9 ne divise pas 6, ce qui conclut.

3. On rappelle la formule de trigonom´etrie

cos 3x= 4 cos³x−3 cosx.

SoitP(X) = 4X³−3X−¹₂. Les racines deP sont cos^π₉, cos(^π₉ +^2π₃ ) = −cos^2π₉ et cos(^π₉ − ^2π₃ ) =−cos^4π₉ . Il est facile de voir que ces trois racines engendrent le même corps, ce qui montre que le corps de décomposition deP est de degré 3 sur Q. On pourra voir le TD 3 pour un examen détaillé de cette question.