Licence 3 Alg`ebre Universit´e Paris Diderot 2016-2017
Feuille de TD 5–sous-groupes de Sylow
Exercice 1. Combien d’´el´ements d’ordre 5 y a-t-il dans un groupe d’ordre 20 ?
Exercice 2. D´ecrire les 3-sous-groupes de Sylow de A3, A4et A6. D´ecrire les 2-sous-groupes de Sylow deA4 et Σ4. Combien y a-t-il de 7-sous-groupes de Sylow dans Σ9?
Exercice 3. Soient H et K deux sous-groupes distingu´es d’un groupe finiGsatisfaisant |H||K|=|G|
et H ∩K ={e}. Montrer queG est isomorphe `a H×K. En d´eduire que tout groupe d’ordre 15 est cyclique.
Exercice 4. SoitGun groupe d’ordre 30. Montrer que si Gn’a pas un unique 5-sous-groupe de Sylow alors il a un unique 3-sous-groupe de Sylow . En d´eduire queGn’est pas simple. En utilisant la m ˜Aame technique, montrer qu’un groupe d’ordre 56 n’est pas simple.
Exercice 5. SoitGun groupe d’ordre 6. Montrer queGa un unique 3-sous-groupe de Sylow . Montrer que siGn’a qu’un 2-sous-groupe de Sylow, alorsGest isomorphe `aZ/6Z. Supposons queGa plus d’un 2-sous-groupe de Sylow, et soit Hl’ensemble des 2-sous-groupes de Sylow de G. Montrer que l’action par conjugaison de G sur H est fid`ele et en d´eduire que G est isomorphe `a Σ3. Montrer que D3 est isomorphe `a Σ3.
Exercice 6. SoitGun groupe fini d’ordren= 2kmo`uk >1 etm >1 impair. SoitS un 2-sous-groupe de Sylow deG. On rappelle que pour σ∈Σn, la signature deσest d´efinie par (σ) = (−1)n−m(σ), o`u m(σ) d´esigne le nombre d’orbites deσ. On rappelle ´egalement que l’applicationG→S(G) qui `ah∈G associe la bijectionσhd´efinie parσh(g) =hgest injective. On identifiera par la suiteS(G) `a Σn.
1. Supposons queS soit cyclique engendr´e par h. On consid`ere l’action du groupeS×G→Gqui `a (hi, g) associehig. Quel est le stabilisateur d’un ´el´ement x∈G? Montrer que l’orbite dex∈G pour cette action est identique `a l’orbite dex∈Gsous l’action deσh. En d´eduire quem(σh) =m, puis que (σh) =−1.
2. Supposons que Gsoit simple et quen = 2mavec mimpair. En utilisant la question pr´ec´edente, montrer que le morphisme de groupes G→ {−1,1} qui `ag associe la signature deσg est surjectif.
En d´eduire une contradiction et ´enoncer un th´eor`eme.
Exercice 7. Soient Gun groupe, F un sous-groupe de G, p un nombre premier tel quep divise |F|.
SoitS unp-sous-groupe de Sylow de G. Montrer que le stabilisateur StabF(aS) deaS pour l’action de F sur G/S par translation `a gauche est F∩aSa−1. En ´ecrivant l’´equation aux classes, montrer qu’il existea∈Gtel que [F : StabF(aS)] est premier `ap, c’est-`a-dire queStabF(aS) est unp-sous-groupe de Sylow deF.
Exercice 8. SoitGun groupe d’ordre pq2, avecpet q premiers entre eux ; on se propose de montrer queGn’est pas simple. Etudier le cas o`up < q (on cherchera le nombre deq-sous-groupes de Sylow de G). On suppose quep > q ; montrer que le nombrenpdep-sous-groupes de Sylow deGvaut 1,qouq2. Dans la cas o`unp=q2, compter le nombre d’´el´ements deGet en d´eduire qu’il n’y a qu’un seulq-Sylow.
Conclure.
Exercice 9. SoitGun groupe d’ordre 24. On suppose qu’aucun des sous-groupes de Sylow deGn’est distingu´e. Le but de l’exercice est de montrer que Gest isomorphe `a Σ4.
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1. Montrer queGposs`ede trois sous-groupes de Sylow d’ordre 8; on noteF ={P1, P2, P3}l’ensemble de ces sous-groupes. Montrer que G poss`ede quatre sous-groupes de Sylow d’ordre 3; on note E = {H1, H2, H3, H4} l’ensemble de ces sous-groupes. Montrer que G poss`ede exactement 8
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el´ements d’ordre 3.
2. On consid`ere l’action deGpar conjugaison surE et on noteGHi le stabilisateur deHi pour cette action. On lui associe le morphisme de groupesϕ:G→S(E). On identifiera par la suiteS(E) `a S4.
(a) Montrer que kerϕ=∩iGHi
(b) Montrer queGHi = 6 puis que|kerϕ| ≤3. En d´eduire que |kerϕ| ≤2 (on utilisera que kerϕ est distingu´e dansG).
3. Consid´erons maintenant l’action par conjugaison deGsurF.
(a) Montrer que le stabilisateur dePi dansGpour cette action estPi lui-mˆeme. En d´eduire que l’on peut restreindre l’action en une action de P1 par conjugaison sur F \ {P1} ={P2, P3}.
Montrer que l’ordre de P1∩P2 est 4 et queP1∩P2 ⊂P3. En d´eduire que P1∩P2∩P3 est d’ordre 4.
(b) En comptant les ´el´ements contenus dans Hi etPj, 1≤i≤4 et `a l’aide d’un dessin montrer que : ∀x∈G,∃itel quex∈Hi ou∃j tel que x∈Pj.
(c) En d´eduire queGH n’a pas d’´el´ements d’ordre 6 et donc qu’il est isomorphe `a Σ3. 4. On suppose par l’absurde que kerϕ={e, x}
(a) Montrer quexcommute avec tous les ´el´ements deGet donc quex∈P1∩P2∩P3.
(b) SoientH ∈E et P ∈F fix´es. En consid´erant l’action de GH sur F, montrer que l’ordre de GH∩P est 2, puis queGH∩P={e, x}.
(c) D´eduire une contradiction en consid´erant les ´el´ements de GH. Puis conclure que Gest iso- morphe `a Σ4.
Exercice 10.
1. Factoriser le nombre 2015 en produit de facteurs premiers.
2. SoitGun groupe d’ordre 2015. Montrer qu’il ne poss`ede qu’un seul 13-sous-groupe de Sylow, not´e G13.
3. Montrer queG13 est cyclique. CombienG13a-t-il de g´en´erateurs ? 4. Montrer queGop`ere surG13par conjugaison.
5. Montrer que l’orbite d’un g´en´erateur deG13est form´ee de g´en´erateurs deG13, et donc queGop`ere sur les g´en´erateurs de G13. On notedle cardinal des orbites sous cette action.
6. Soit ξ un g´en´erateur de G13. Soit p un nombre premier `a 13. Montrer que l’orbite de ξp pour l’action deGest en bijection avec l’orbite deξ. On noteO(ξ) l’orbite deξpour l’action de Gpar conjugaison.
7. Montrer que 12 =dCard (O(ξ)). Quels sont les choix possibles pour Card(O(ξ))?
8. Montrer que tout ´el´ement deG13commute `a tout ´el´ement de G.
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