CONVEXITÉ
I CONVEXITÉ
1 FONCTION CONVEXE,FONCTION CONCAVE DÉFINITIONS
Soit f une fonction dérivable sur un intervalleIetCf sa courbe représentative.
– Dire que la fonction f est CONVEXE surI signifie que la courbeCf est située entièrement AU DESSUS de chacune de ses tangentes.
– Dire que la fonction f est CONCAVE surI signifie que la courbe Cf est située entièrement EN DESSOUS de chacune de ses tangentes.
EXEMPLES
O x
Cf y
convexe
O x
y Cf
...
...
... ...
REMARQUE
Intuitivement, quels que soient les pointsAetBde la courbeCf – Silesegment[AB]estau-dessusdelacourbealors f est ...
– Silesegment[AB]estau-dessousdelacourbealors f est ...
O x
y
a
f(a)
b f(b)
A
B
O x
y
a
f(a)
b f(b)
A
B
f est ... f est ...
THÉORÈME (admis)
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalleI.
– –
1
CONSÉQUENCE
On note f′′la dérivée seconde de la fonction f, c’est à dire la dérivée de la dérivée f′. – Si la dérivée seconde est positive alors la fonction f est convexe.
– Si la dérivée seconde est négative alors la fonction f est concave.
EXEMPLE
Soit f lafonctiondéfiniesurRpar f(x)=x3−6x2+1.
Étudedelaconvexitéde f surR:
f′′(x)= Lesvariationsde f′sedéduisentdusignedesadérivée f′′. f′′(x)=0équivautà soitx=2.D’oùletableau:
x −∞ 2 +∞
signe de f′′(x) 0
variations de f′
convexité de f
Conclusion: ...
2 POINT D’INFLEXION DÉFINITION
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalleIetCf sa courbe représentative. Soita∈I. On dit que le point A (a; f(a)) est unpoint d’inflexiondeCf si, en A, la courbeCf traversesa tangente.
EXEMPLE1
Reprenonsl’exempleprécédentavec:f(x)=x3 −6x2 +1définiesurR.
D’aprèsl’étudedelaconvexité,onremarquequ’enx=2lafonction f changedeconvexité.
ÉtudionsdeplusprèslapositiondelatangenteT parrapportàCf encepointd’abscissex=2 sur GÉOGEBRA.
2
5
−5
−10
−15
−20
−25
−30
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5
−0.5
−1.0
−1.5
−2.0
POINT D’INFLEXION enx=2
Cf
b
a=2
bM
T
LatangenteTd’équation:y= ... traverselacourbeCf aupointMd’abscissex=2 LepointMd’abscissex=2etd’ordonnée:y=f(2)=−15estdoncunpointd’inflexion
EXEMPLE2
La courbe représentative de la fonction cube définie sur R par f(x) =x3 admet comme point d’inflexion l’origineO(0;0)du repère.
O x
y
3
CONSÉQUENCES
– En un point d’inflexion la courbe traverse sa tangente : cela signifie que la fonctionchange de convexité. (la courbeCf passe de concave à convexe ou de convexe à concave.)
– Si ladérivée f′change de sens de variation enaalors la courbe admet un point d’inflexion d’abscissea.
– Sila dérivée seconde f′′s’annule en changeant de signe enaalors la courbe admet un point d’inflexion d’abscissea.
EXEMPLE
Soit f la fonction définie surRpar f(x) =x5−5x4etCf sa courbe représentative.
Déterminer le(s) point(s) d’inflexion de f.
Sadérivéeestlafonctionf′définiesurRparf′(x)= ...
Sadérivéesecondeestlafonctionf′′définiesurRparf′′(x)=... = ...
L’équation f′′(x)=0admetdeuxsolutionsx1= etx2=
Commepourx∈R,20x2>0alorsf′′(x)estdumêmesigneque ...
Les variations de f′se déduisent du signe de sa dérivée f′′. D’où le tableau :
x −∞ 0 3 +∞
signe de f′′(x) 0 0
variations de f′
Entenantcomptedeschangementsdevariationdeladérivéef′onendéduitquelacourbeCfadmetunseul pointd’inflexion,lepointA( ; ).(avecf(3)= )
Eneffet: –
–
100 200 300 400
-100 -200 -300
1 2 3 4 5
-1 -2
-3 O x
y
bc
Cf
A
