Réponses des exercices 42 à 46 p 121 & 67,67 p 123

Réponses des exercices 42 à 46 p 121 & 67,67 p 123

p 121

Questions Borne Borne Remarques

a. f : x e ^x – e ^{– x} 2

x lim – ∞

f  x = – ∞ lim

x ∞

f x =∞ Aucun problème, appliquer les règles de calcul avec les limites.

b. f : x e ^{x – 1/ x} – 1 lim

x – ∞

f  x =e – 1 ^lim

x 0 x0

f  x =∞

lim

x 0 x0

x −1

x =∞

c. f : x e ^{– 1/ x} e ^{x lim}

x 0 x0

f  x =1 lim

x ∞

f x =∞

d. f : x e ^{x – x}

lim _{x – ∞} f  x =0 lim

x ∞

f x =0 – x ² tend vers – ∞ en ∞ et en – ∞

P 121

Questions Limite Remarque

a. f : x e ^x – 1 2 e ^x 1

x lim – ∞

f x =– 1 lim

x −∞

e ^x =0

b. f : x e ^x

2 e ^x −1 lim

x ∞

f x = 1 2

Factoriser e ^x au numérateur et au dénominateur. ( e ^x × e ^{– x} =1 !!!)

c. f : x x −2 e ^{1/1−x lim}

x1 x1

f x =0 lim

x 1 x1

1

1− x =−∞

d. f : x x 1 e ^{1/ x lim}

x 0 x0

f  x =0

P 121. On sait que : lim

x  0

e ^x – 1

x =1 (limite de référence) Aide : e ^{2 x} – 1

x = e ^{2 x} – 1

2 x ×2 puis poser X =2 x . L'expression devient e ^X – 1

X × 2 et on utilise la limite de référence. (réponse : 2)

Aide : x

1 – e ^{– x} = xe ^x

e ^x – 1 = e ^x e ^x – 1

x

Conclure avec la limite de référence. (réponse : 1)

P 121. On sait que : lim

x  0

e ^x – 1

x = 1 (limite de référence) Aide : e ^{3 x} – e ^2x

x =e ^2x × e ^x – 1

x Conclure avec la limite de référence. (réponse : 1) Aide : e ^x – 1

 ^{x =}  ^{x× e x – 1}

x Conclure avec la limite de référence. (réponse : 0)

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Réponses des exercices 42 à 46 p 121 & 67,67 p 123

P 121.On sait que : lim

x  0

e ^x – 1

x = 1 (limite de référence) Aide : x e ^1/x – 1 = e ^1/x – 1

1 x

, poser X = 1

x (si x tend vers ∞ alors X tend vers 0 ^ ) (réponse : 1)

Aide : x e ^1/x

– 1= e ^{1/ x}

– 1 1 x ²

× 1

x , poser X = 1

x ² (si x tend vers −∞ alors X tend vers 0 ^ ) (réponse : 0)

P 123.

Équations Solutions

y ' = 2 y1 y  x=Ce ^{2 x} – 1

2 où C est une constante réelle arbitraire.

y ' =−3 y 2 y  x=Ce ^{−3 x}  2

3 où C est une constante réelle arbitraire.

2 y ' 3 y1=0 ⇔ y ' = – 3

2 y – 1 2

y  x=Ce ⁻

3 x 2 − 1

3 où C est une constante réelle arbitraire.

2 y ' – y=2 ⇔ y ' = 1

2 y1 y  x=Ce

x

2 −2 où C est une constante réelle arbitraire.

P 123.

Équations Solutions

y ' =− 2 y1

3 et y0=2 y  x=Ce ⁻

2 x 3 − 1

2 y 0=2 ⇒ C = 5 2 5y ' −3 y= 2 et y 1=−1

y  x=Ce

3x 5 − 2

3 y 1=– 1 ⇒ C =– 1 3 e ^{– 3 /5} y=2 y' – 3 ⇔ y ' = 1

2 y 3

2 y  x=Ce

x

2 −3 ^{y  – 1 =3} ⇒ C =6  ^e

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