EPL - SESSION 1998 CORRIGÉ

CORRIGÉ

Électrocinétique.

1. Par définition la puissance moyenne fournie par la source idéale de courant au circuit est P =1

{ }

2ℜe u i. * où u et i sont liés par la relation :

( )

i I j t Yu

R j C

L u

= = = +  −

 





 



2 1 1

0exp ω ω

ω avec Y admittance complexe du circuit.

Il en résulte que :

P=

+  −

 

 RI R C

L

0 2

2 2

1 1

ω ω

La fonction f( ) R C

ω ω L

= +  − ω

 



1 ₂ 1 ²

, telle que C L

C L Cte ω

ω= = , passe par un minimum pour ω = ω₀ telle que C

ω L

0 ω

0

= 1 . Il en résulte que la puissance moyenne est maximale pour :

LC 1

0= ω

et vaut P_max =RI₀².

Remarque. Une simple analyse dimensionnelle montre que, parmi les résultats proposés, seul 1

LC est homogène à l'inverse d'un temps.

2. Si on pose x= ω

ω₀ alors on peut écrire P P

=

+  −

 



max

1 ₂ 1 ²

Q x

x

à condition que :

0 0 20

max L

RC R Q ,

RI = ω = ω

P =

Notons que Q, facteur de qualité du circuit, est sans dimension ce qui élimine directement le résultat a).

3. On a P=1P

2 ^max quand Q x x

2 1 2

− 1



 

 = ce qui nous conduit aux solutions x1 et x2 telles que :

x x Q x

x Q

1 1

2 2

1 1 1 1

− = − , − =

Par addition on obtient

(

)

x x x

1 2

1 2

1 1 1 2

0 1

+  −

 

 = d' où x = . Par soustraction il vient

(

)

x x Q x

2 1 Q

1 2

2 1

1 1 2 1

−  +

 

 = d'où x − = . On en déduit la bande passante :

Q

2 0 1

=ω ω

− ω

= ω

∆

d'autant plus étroite que le facteur de qualité est grand.

4. La tension efficace aux bornes du générateur est aussi celle aux bornes du résistor de résistance R,

soit U RI

Q x

x

=

+  −

 



0

2 2

1 1 , dont la valeur maximale - résonance en tension - obtenue pour x = 1 vaut :

0 max RI

U =

5. L'intensité efficace du courant qui circule dans le condensateur est I_C = ωC U soit :

2 2

C 0

x x 1 Q 1 I xQI



 

 − +

=

6. On peut écrire

( ) I

I f X

C 0

= 1 avec f X( ) X

Q X

= −  −

 

 +

4

2

2 1 1 2

2 1 si on pose X

= x1 . On observe aisément que f(X) passe par un minimum pour X

= 1− Q1 >

2

1

2 si Q 2. Ainsi IC passe par un maximum pour :

1 Q 2

2 x Q

et 2 Q 1

2−

=

>

7. La valeur maximale de cette intensité est :

1 Q 4

I Q I 2

2 2 0 max

C = −

Cette surintensité est susceptible de conduire à la destruction du composant.

Optique géométrique.

8. Un rayon incident parallèle à l'axe optique émerge en restant parallèle à cet axe donc le système optique est afocal.

9. Ce système impose que −∞→^L1 F_i1et F_o3→^L3+∞ ce qui implique F_i1→^L2F_o3 : les foyers image de L1 et objet de L3 sont conjugués à travers L2.

10. Avec la formule de conjugaison des Descartes le résultat précédent se traduit par :

− 1 + 1 = 1

2 1 2 3 2

O F_i O F_o f

avec O F_{2 i1}=O O_{2 1}+O F_{1 i1}= − +a f₁ et O F_{2 o3} =O O_{2 3}+O F_{3 o3} = −b f₃ , d'où on déduit :

2 1

3 f

1 a f

1 f b

1 =

− −

−

11. Les triangles homothétiques de sommet Fi1 nous donnent ^Y

R

O F O F

f a f

i 1 i

2 1

1 1 1

1

= = −

et ceux de sommet Fo3

conduisent à ^Y R

O F O F

b f f

o 2 o

2 3

3 3

3 3

= = −

− .

R₁

O1 O2 O3

R₂

L3

L₂ L₁

Y F_i1 Fo3

b f

a .f f f R R

3 1 1 3 1 2

−

= −

12. D'après la question 10 on a ^{1 1 1}

3 2 1

f −b = −f −f a

− donc ^f f

R R

f a f

1 3

2 1

1 2

= − − 1

− d'où on tire :



 



 + +

=

1 2 3 2 1

1 R

R f 1 f f f a

13. Toujours d'après la question 10 on a ^{1 1 1}

1 2 3

f −a= −f −f b

− donc ^f f

R R

f b f

3 1

1 2

3 2

= − − 1

− d'où on tire :



 



 + +

=

2 1 1 2 3

3 R

R f 1 f f f b

14. On a d O O= ₁ = +a b

3 soit avec les résultats précédents :

cm R 19

R f f R R f 2 f f f f d

2 1 1 3 1 2 3 2 1 3

1 =



 



 + +

+ +

=

Électrocinétique.

15. Pour déterminer l'impédance du générateur de Thévenin équivalent on court-circuite le générateur de tension idéal ; il ne reste donc, entre A et B, que R en parallèle avec C, d'où :

ω

= + jCR 1 Z_th R

Pour déterminer la f.é.m. du générateur de Thévenin équivalent on applique le théorème de Millman en A, d'où :

ω

= + jCR 1 E_th E

16. A vide la fonction de transfert du quadripôle - quadripôle en "Π" ou "triangle" - est :

( )

1 E

E E j V

T ^th

C'est une fonction de transfert du premier ordre fondamental dont la pulsation de coupure, à −3dB, est : RC

1

0= ω

17. Si on met en sortie une charge purement résistive alors, en utilisant le diviseur de tension, on a

V RE

R Z

th th

'=

+ ce qui nous conduit à :

( )

2 2 ' jCR , 2

1 E

' j V '

T ω₀= ω₀ =

ω

= +

= ω

18. L'impédance complexe d'entrée du filtre chargé est définie par

( )

Z E

I

jC R Z R Z jC

e = =

+

+ +

1

1 ω

ω

//

//

avec

Z Y

R jC

/ / //

= =

+

1 1

1 ω

ce qui nous donne :

( ) ( )

e 1 3jCR CR

jCR 2 Z R

ω

− ω +

ω

= +

19. Pour ω ω= '₀= 2

RC il vient :

( ) ( )

Z R

j R R

j R

e ω jC ' ω

0 '

0

2

15 1 3 2 15

2 5

2 15

4

= − = + = +5

Dans ce cas le filtre chargé est équivalent, du point de vue de l'impédance d'entrée, à un dipôle R1C1 série tel que :

4 C C 5 15 ,

R

R₁=2 ₁=

20. Par définition P_g = ℜ¹ e e i

{ }

{ }

2 . * . * . Or, pour ω = ω'0, on a

( ) ^{( )}

I E

Z

E

R j

e

= =

ω'₀ − 15

2 1 3 , d'où :

R 4

E 3 ²

g= P

21. La puissance moyenne dissipée dans la charge résistive est P_u= ℜ¹ e v i

{ }

{ }

2 '. '* '. '* avec,

dans les mêmes conditions,

( ) ( ) _{( )} ( ) ( )

V T j E E

j I V

' ' ' ' ' ' ' 'R

ω ω ω ω

0 0 0

0

= = 2 1

+ et = , ce qui nous donne : R

8 E²

u= P

Particule chargée dans un champ magnétique.

22. On ne tient compte que du champ électrique, supposé constant et uniforme, pendant la durée du vol entre les deux "D". Le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un proton conduit à :

d E q V

q ₀

c= =

∆E

23. La deuxième loi de Newton appliquée à un proton qui évolue dans le champ magnétique B, uniforme et constant, s'écrit ma=q(v B∧ ). Elle montre que a.v = 0 soit v² = Cte. Le mouvement du proton est circulaire uniforme et le rayon de courbure R de sa trajectoire est tel que mv

R qvB

2

= , soit :

qB R=mv

24. Le proton parcourt la distance πR à la vitesse constante v ; il met donc une durée : qB

m v

T R π

π =

=

25. Le champ électrique E, entre les deux "D", est toujours accélérateur s'il présente une période minimale T0 = 2T soit une pulsation :

m qB T 2

0

0 π=

= ω C'est ce que l'on nomme la pulsation cyclotron.

26. A la sortie du cyclotron la vitesse d'un proton est telle que v qBR

= m⁰ ce qui conduit à une énergie

m 2

R B mv q 2

1 ₂ ^{2 2 2}₀

c= =

E

27. A chaque demi-tour l'énergie cinétique du proton augmente de ∆Ec. Il en résulte que le nombre N de tours effectués par une particule avant éjection est tel que E_c=2N∆E_c, soit :

0 20 2

E d m 4

R N=qB

Thermodynamique.

28. Le réfrigérateur fonctionne de façon réversible entre deux sources de températures constantes ainsi, pour un cycle, le premier principe de la thermodynamique conduit à :

W Q+ _f +Q_c =0 et le second principe à :

Q T

Q T

f f

c c

+ =0

Par ailleurs l'efficacité de la machine thermique est définie par η_r Q^f

= W . On en déduit aisément : 11

, T 7 T

T

f c

r f =

= − η

29. En fait le fonctionnement de la machine n'est pas réversible et on a ^Q

Q kT

T

c f

c f

= − . Il en résulte une nouvelle efficacité :

71 , T 2 kT

T

f c

i f =

= − η

30. Dans ce cas, toujours au cours d'un cycle, le second principe de la thermodynamique nous conduit à ^Q

T Q

T S

c c

f f

+ + p =0 d'où on déduit :

1 3 c

f f c

f f c c

p 2.10 K

kT T

k 1 Q Q

T Q T Q W

S _{− −}

− =

= − + +

=