EPL - SESSION 1999 ÉNONCÉ

(1)

ÉNONCÉ

Questions liées.

[1,2,3,4] [5,6] [7,8,9,10] [11,12,13,14] [15,16,17,18] [19,20,21,22,23] [24,25,26,27,28,29,30]

1. Le circuit représenté sur la figure 1 est alimenté par une source de tension continue de f.é.m. E et de résistance interne négligeable devant R.

On ferme l'interrupteur K à l'instant t = 0. Établir l'expression de l'intensité i du courant dans le circuit en fonction de t.

a) _{i t}( ) ^E R

t

= − −RL

 





 



2 1 exp

b) i t( ) E R

R Lt

= + −

 





 

 1 exp

c) _{i t}( ) ^E R

L Rt

= − −

 





 



1 exp d) _{i t}( ) ^E

R

R Lt

= − −

 





 

 1 exp

2. Le même générateur alimente le circuit représenté sur la figure 2.

E K

D B A

R1

R₃

L₁

L₃

R₂

R₄

L₂

L₄ C

Fig.2

Déterminer la relation entre L1, L2, R1 et R2 pour que la différence de potentiel UAB entre les points A et B soit indépendante du temps.

a) ^{L R}1 1 =

(

^L1+^L2

)(

^R1−^R2

)

b) ^{L R}2 2 =

(

^L1+^L2

)(

^R2−^R1

)

c) ^L L

R R

1 2

= d) L R₁ ₁=L R₂ ₂

3. La relation établie à la question précédente étant vérifiée, calculer l'énergie WAB consommée dans le tronçon de circuit AB pendant l'intervalle de temps [0,t] en fonction de la variable R

L¹ t

1

.

a) ^W^AB⁼

(

^R^{E L}⁺^R

)

^R^L ^t^{− −} ^R^L ^t



 



























2 1

1 2

2 1

1

1 1

1 exp b)

( )

W E R

R R

R

L t R

L t

AB=

+ + − 

 















2 1

1 2

2 1

1

1 1

1 exp

c) ^W^AB⁼

(

^L^{E L}⁺^L

)

^R^L ^t^{+ +} ^R^L ^t



 















2 1

1 2

2 1

1

1 1

1 exp d)

( )

W E L

R R

R

L t R

L t

AB=

+ − + − 

 















2 1

1 2

2 1

1

2 1 exp 1

4. La relation établie à la question 2 étant toujours vérifiée, déterminer les relations entre L1, L2, L3, L4, R1, R2, R3, R4 pour que la différence de potentiel UBD entre les points B et D soit constamment nulle.

a) L R₁ ₁ =L R₂ ₂ =L R₃ ₃=L R₄ ₄

b)

(

^L3+^{L R}4

)

1=

(

^L1+^{L R}4

)

2 =

(

^L1+^{L R}2

)

3=

(

^L3+^{L R}2

)

4

c) ^L L

R R

L L

R R

1 2

3 4

= = =

R I L

U_R U_L

E K

Fig.1

(2)

d) ^R

L L

R

L L

R

L L

R

L L

1

3 4

2

1 4

3

1 2

4

2 3

+ =

+

5. Le dipôle de bornes A et B représenté sur la figure 3 est alimenté par deux générateurs idéaux de courant délivrant le même courant électromoteur d'intensité I0.

Fig.3

r R r

I₀ I₀

A B

Déterminer la résistance RN du générateur de Norton équivalent au dipôle.

a) R_N = +r R b) R_N = 2r c) R_N = 2r + R d) R r R

N = r R +

6. Déterminer l'intensité IN du courant électromoteur du générateur de Norton équivalent au dipôle de la figure 3, orienté de B vers A.

a) IN = 2I0 b) ( )

I r R

r R I

N= +

+ 2

2 ⁰ c) I r

r RI

N= + 2

2 ⁰ d) I R

r RI

N=

+2 ⁰ 7. A l'aide d'un fil métallique homogène de section constante, on réalise

un circuit constitué de deux conducteurs (figure 4) :

♦ l'un a la forme d'un cercle de centre O ;

♦ l'autre est un diamètre AB du cercle.

Le conducteur diamétral possède une résistance 2r. Dans toute la suite, on conservera le nombre π dans les expressions des différents courants et résistances à calculer.

Calculer la résistance équivalente entre A et B.

a) R_AB= r + π

π 2 b) R_AB= r

+ 1

2π 3 c) R_AB=4 r 3

π d) R_AB= r

+ 2

4 π π 8. On ajoute sur le conducteur circulaire AB, comme l'indique la figure 5, un générateur de tension continue de f.é.m. E et de résistance interne négligeable devant celle du conducteur. Calculer l'intensité IAB du courant qui circule dans le conducteur diamétral AB.

a) I E

AB= r + π

2π 3 b) I E

AB= r + 1 π 4

c) I E

AB=8 r 3

π d) I E

AB= r + 4 π 2 9. On ajoute au circuit de la figure 4 :

♦ un autre conducteur diamétral CD perpendiculaire à AB et relié à lui en O, fait du même fil métallique ;

♦ deux générateurs de tension continue de f.é.m. E et de résistance interne négligeable, montés en opposition (figure 6).

Le dispositif est symétrique ; en particulier, les deux générateurs sont traversés par le même courant d'intensité I.

Calculer les intensités IAD = I et IDB qui circulent respectivement dans les arcs AD^∩ et DB. ^∩

a) I E

AD= r + 2

π 4 b) I E

AD= r + 2 π 2

c) IDB = 0 d) I E

DB= π r 2

A O B

Fig.4

IAB

O B

A E

Fig.5

I E

E I D

O B

A

C

Fig.6

(3)

10. On ajoute cette fois-ci quatre générateurs identiques et non plus deux (figure 7).

Calculer les intensités des courants IAD et IDO.

a) I E

AD= r + 2

π 4 b) I E

AD = r + 2 π 2

c) I E

DO = r + 2

π 2 d) I E

DO= r + 4 π 4

11. Une sphère de rayon b porte une charge électrique positive Q répartie uniformément sur sa surface.

En s'aidant du théorème de Gauss, calculer le potentiel V créé par la charge Q à l'intérieur de la sphère.

L'origine des potentiels est prise à l'infini.

a) V Q

= b 4

1

0 2

π ε b) V = 0

c) V Q

= 2 b 4

1

π ε0 d) V Q

= b 4

1 π ε0

12. Deux sphères identiques du type précédent portent chacune la charge positive Q répartie uniformément sur leurs surfaces. Leurs centres A et B distants de 2a (a > b) sont disposés sur l'axe Oy symétriquement par rapport à l'origine O (figure 8).

Une troisième charge −2Q qui peut être considérée comme ponctuelle se trouve au point O.

Déterminer l'expression du vecteur champ électrostatique E(P) créé par les trois charges (Q, Q et −2Q) au point P de l'axe Ox d'abscisse x positive (figure 8).

a) ( )

( )

E P Q x u

a x ^x

=

4π ε0 2 2+ 2 3 2^/

b) ( )

( )

E P Qx u

a x x ^x

= + −











 2

4

1 1

0 2 2 3 2 3

π ε ^/

c) ( )

( )

E P Qx u

a x x ^y

=

+ +











 4

1 1

0 2 2 3 2 3

π ε ^/

d) ( )

( )

E P Q u

a x x ^y

= + −











 4

1 2

2

0 2 2 2

πε

13. Quatre sphères identiques du type précédent portant la même charge positive Q sont placées aux sommets O1, O2, O3 et O4 d'un carré de côté 2a (a > b) (figure 9).

Déterminer l'expression du vecteur champ électrostatique E'(P) créé par les quatre charges au point P, de l'axe Oz du carré, d'abscisse z.

a) ( )

( )

E' P Q u

a z ^z

= 4 +

4

0 2 2

πε b) E'(P) = 0 c) ( )

( )

E' P Q z _/ u

a z ^z

= 4 +

4 2

0 2 2 3 2

πε d) ( )

( )

E' P Q z _/ u

a z ^z

= −4 +

2 2

0 2 2 3 2

πε

C E

E

O B

A

E E

I D I_DO

AD Fig.7

a

a y Q

P x

Q

−2Q

A

O

B

u_x u_y

Fig.8

z Q P O1

Q O₄

O u_z

Q O₃ Q

O₂ 2a

Fig.9

(4)

14. Deux sphères identiques du type précédent centrées en O1 et O3 portent la charge positive Q ; deux autres sphères analogues centrées en O2 et O4

portent la charge négative −Q. Les points O₁, O2, O3 et O4 sont les sommets d'un carré de côté 2a (a

> b) ( figure 10).

Déterminer l'expression du vecteur champ électrostatique E"(P) créé par les quatre charges au point P, de l'axe Oz du carré, d'abscisse z.

a) ( )

( )

E" P Q u

a z ^z

= − +

2 4

1

0 2 2

πε b) E"(P) = 0 c) ( )

( )

E" P Q z _/ u

a z ^z

= +

2

4πε0 2 2 2 3 2

d) ( )

( )

E" P Q u

a z ^z

= −4 +

4

0 2 2 2

πε

15. Un fil rectiligne de longueur "infinie" et de section négligeable est disposé selon l'axe Oz du repère (figure 11). Il est parcouru par un courant continu d'intensité I qui circule dans le sens des z positifs.

Déterminer le vecteur champ magnétique B(P) créé au point P du plan xOy repéré par ses coordonnées polaire r et θ ; u_ret uθ sont les vecteurs de la base polaire de P.

a) B( )P Iu r ^r

= µ π

0

2 b) B( )P Iu

= µ r

π ^θ

0

2 c) _B( )_P ^I_u

r ^r

=2µ₀

π d) _B( )_P ^I_u

= µ r

π ^θ

0

4

16. Un second fil rectiligne de longueur a et de section négligeable est disposé dans le plan yOz selon le segment AC parallèle à Oz, à la distance h de cet axe, A appartenant à l'axe Oy. Il est parcouru de A vers C par un courant continu d'intensité I (figure 11).

Déterminer la résultante F des forces de Laplace qui s'exercent sur le fil AC.

a) F= − u

+ µ

π

0 2

2 2

2

I a

a h ^x

b) F= µ u

π

0 2 2

4 2

I a

h ^y

c) F= u

+ 2 ₀ ²

2 2

µ π

I h

a h ^y

d) F= −µ u π

0 2

2 I a

h ^y

17. Déterminer le moment M(O) en O des forces de Laplace qui s'exercent sur le fil AC.

a) M( )O I a u

h ^x

= µ π

0 2 2

4 b) M( )O I h u

a h ^z

= +

2 ₀ ² ²

2 2

µ π c) M( )O I a u

a h ^x

= +

µ π

0

2 2

2 d) M( )O I a u

h ^z

= µ π

0 2 3

4 2

18. Déterminer dans ces conditions la distance b qui sépare le point A du point K de AC, point où la force unique F peut être considérée comme appliquée à AC.

a) b a h

= +

2 b) b a

= 2 c) b a h

= +2

4 d) b a

= 3

19. Deux lentilles convergentes L1 et L2, dont les axes coïncident, ont pour caractéristiques respectives : centres O1 et O2 , foyers objets F1 et F2, foyers images F'1 et F'2, distances focales images f'1 et f'2.

z Q P O1

−Q O4

O u_z

Q O₃

−Q

O₂ 2a

Fig.10

x θ P

O h

A a C

y I I

z

r

Fig.11

(5)

Elles sont à une distance telle que F F'₁ ₂ =e.

Un objet AB perpendiculaire à l'axe commun est disposé de telle sorte que p O A= ₁ . Son image A'B' à travers les deux lentilles est telle que p'=O A₂ '.

Déterminer l'expression de p' en fonction de p.

a)

( )

p f f f e f p

f f e

' ' ' ' '

' '

= + +

+ +

2

1 2 2

1 2

2 b)

( )

p f f f p e

f ep

' ' ' '

= +' +

1 +

1 2

2 2

c)

( )( )

( )

p f f e f p f

f e p f

' ' ' ' '

' '

= + + +

+ +

2 12

2 1

1 2

1

d)

( )( )

( )

p f f e f p f

f e p f

' ' ' ' '

' '

= − + +

− +

1 12

1 2

2 2

2

20. Indiquer la valeur de p' lorsque l'objet AB se trouve dans le plan focal objet de L1. a) p' = f'2 b) p' infini c) p'=f'₁+e d) p f f ' ' e'

=  +

 



2

1 2

21. Calculer en fonction de p le grandissement transversal γ.

a) γ = + f f p

' '

1 2

b) ^{γ =} ^f^'₁²⁺^{f f}^{e p f}^{' '}¹

(

⁺² ^'₁

)

c) γ = − + e f f e p

' '

1 2

2 d)

( )

γ = + +

f e f e p f

'

' '

2 12

2

22. On choisit comme distance entre les deux lentilles d = f'1 + f'2 (système afocal). Déterminer dans ce cas p' et γ.

a) ^p ^f ^f

( )

f p f

' ' '

' '

=  + +











2 2

1

2 1

1 b) ^p ^f ^f

( )

f p f

' ' '

' '

=  + +









1 2 

1

2 2

1

c) ^{γ = −}

(

⁺

)

f f

' ' ' '

1 2

2 d) γ = −f

f ' '

2 1

23. Application numérique : f'1 = 1 m , f'2 = 0,5 m , d = 1,5 m. Calculer p' et γ lorsque l'objet est à 0,5 m en avant de L1.

a) p' = 0,5 m b) p' = 0,625 m c) γ = −0,5 d) γ = +0,5

24. L'axe Oy du référentiel galiléen R (Oxyz) est la verticale ascendante ; on appelle g l'accélération de la pesanteur supposée uniforme. Un mobile assimilable à un

point matériel P de masse m est astreint à se déplacer sans frottement dans le plan xOy à l'intérieur d'un guide parabolique qui a pour équation cartésienne y x

= p

2

2 où p est une constante positive.

A l'instant t = 0, P se trouve au point A d'abscisse p et possède le vecteur vitesse v0 tangent au guide, situé dans le plan de figure et orienté vers le haut (figure 12).

Outre son poids, le mobile est soumis à la réaction N du support, perpendiculaire à son déplacement.

Déterminer l'expression de x x dx dt

2 =

 

 en fonction de la seule variable x (il est commode de faire appel à des considérations énergétiques).

a)

( )

x pp v gp g x

p x

2 0

2 2

= − +

− b)

( )

x pp v gp g x p x

2 02 2

2 2

= + −

+ c) x p v gp x

p px

2 2

0

2 2

= +

+ d)

( )

x p v gp x p x

2 2

0

2 2

2

= −2

+

P

A x

O p

y g

N v₀

Fig.12

(6)

25. Le plan xOz symbolisant le sol, calculer l'altitude maximale y₁ atteinte par P.

a) y p v

1 pg0

2

= 1 2+

 

 b) y p v

1 pg0

2

= 1−

 



c) y p v

1 pg0

2

2 1 2

=  +

 

 d) y p v

1 pg0

2

2 1

=  +

 



26. Déduire de la question 24 l'expression, en fonction de la seule variable x, de la composante x selon Ox du vecteur accélération de P.

a) x x v gp p x

= − −

2 ⁰−

2

2 2 b)

( )

x p x v gp

p x

= − +

+

2 02

2 2 2

2

c) x pv gp p x

= +

+

0 2

2 2 d)

( )

x x pv gpx

p px

= +

+

2 02

2 2

2

27. Déterminer dans ces conditions l'expression, en fonction de la seule variable x, de la composante y selon Oy du vecteur accélération de P.

a)

( )

y p v gp g p x g x p x

= + + +

+

3 0

2 2 2 4

2 2 2 b)

( ) ( )

( )

y xp v gp g p p x p x

= − − + −

+

2 0

2 2 2

c)

( )

y p v gp g p x g x p x

= + − −

+

3 0

2 2 2 4

2 2 2

2 d)

( )

y px v x g p p px

= −

+

2 0

2 2

2

28. Déterminer l'expression, en fonction de la seule variable x, de la composante Nx selon Ox de la réaction N.

a) ^N ^mx

( )

p x v gp

x =

− +

2 2 02 b)

( ) ( )

N mx

p px v gp

x =

+ −

2

2 2 2 02

c) ^N

(

^m

) ( )

p x v gp

x = −

+ +

2 ₃ 2 ₀² d)

( ) ( )

N mp x

p x v gp

x = −

+ +

2

2 2 2 0

2 2

29. Déterminer l'expression, en fonction de la seule variable x, de la composante Ny selon Oy de la réaction N.

a) ^N

(

^mp

) ( )

p x v gp

y=

+ +

3

2 2 2 0

2 2 b)

( ) ( )

N mpx

p x v gp

y =

− +

2

2 2 2 0

2

c) ^N

(

^mp

) ( )

p x v gp

y =

+ −

2 ₂ 2 ₀² d)

( ) ( )

N mpx

p px

v gp

y =

+ +

2 2

2

2 2 0

2

30. L'orientation de N indique si le mobile peut rester sur son support.

a) N est toujours orienté dans la concavité de la parabole.

b) N n'est orienté dans la concavité de la parabole que sur une partie de la trajectoire de P.

c) L'orientation de N est compatible avec un mouvement de P sur son support.

d) L'orientation de N est incompatible avec un mouvement de P sur son support.