EPL - SESSION 2002 CORRIGÉ

Optique géométrique.

1. On reconnait ici la méthode de Bessel qui permet de mesurer la distance focale d'une lentille mince convergente.

On a respectivement :

− + =p p D − + =

p p f

' ,

'

1 1 1

ce qui nous conduit, par élimination de p, à l'équation du second degré : p'²−Dp Df'+ =0

qui admet pour solutions :

p D D Df

'= ± ²−4

Ces solutions n'existent que si D > 4f ; on en déduit la distance d séparant les deux positions de la lentille 2 :

mm 447 Df 4 D ' p ' p

d= ₊− ₋= ² − = 2. Le grandissement transversal Gt de l'image est :





−

= −











 ± −

−

=

= 2,62

38 , 0 f

2 Df 4 D 1 D

p ' G p

2 t

Dans les deux cas l'image est renversée.

3. Dans ce cas on a d'²=D²−4Df'd'où on tire la distance focale de la lentille : mm

D 160 4

' d ' D

f ²− ² =

=

4. Si on se place dans la situation où d = 0 alors : mm 4 300

"

" D f = =

5. Dans ces conditions le grandissement transversal de l'image est :

" 1 f 2

"

1 D

G_t1= − =−

Objet et image sont situés dans les plans antiprincipaux de la lentille.

Mécanique du point.

6. Le navire se déplace à la vitesse limite v donc la puissance développée par le moteur compense exactement celle développée par la force de résistance exercée par l'eau. Le théorème de la puissance cinétique nous conduit à écrire _P=F v kv. = ⁴ d'où on déduit :

2 4 6400kg.s.m

k=vP = ⁻

7. Dans ce cas le théorème de la puissance cinétique se traduit par : d

dt 1mv kv 2

2 4



 

 = − d'où on tire :

dt m k

dv

= − v₃ On en déduit par intégration :

2

1

v

3 2 2

2 1

v

m dv m 1 1

t 24, 4s

k v 2k v v

 

= − =  − =

 

⌠ 

⌡

8. Le théorème de la puissance cinétique peut aussi s'écrire : dx

dt d

dx mv kv

. 1

2

2 4



 

 = − soit encore, puisque v dx

= dt :

dx m

k dv

= − v₂ Par intégration on obtient la distance parcourue par le navire :



 



 −

=

1

2 v

1 v

1 k d m

9. Numériquement :

m 1 , 97 d=

Thermodynamique.

10. A partir de l'équation d'état d'un gaz parfait on obtient : 22 , RT 3

V n p

i i

i =

=

11. Le récipient étant adiabatique, le premier principe de la thermodynamique conduit à écrire ∆U = W avec :

♦ ^{∆U n C=} _v

(

^T_f ^−T_i

)

car un gaz parfait suit la première loi de Joule ;

♦ ^{W p}

(

^{V V}

)

^{n RT p}

p n RT

f f i f

f i

= − − = − + i car la pression extérieure est constante au cours de la transformation.

On en déduit la température finale du gaz :

( )

_{T 277K}

R C

p p R

T C _i

v i f

f v =

+

= +

12. Le volume occupé par le gaz dans l'état final est donc : 3A , p 74 RT n V

f

f = f =

13. Le travail échangé avec le milieu extérieur est :

(

T T

)

6429J C

n

W= _{v f} − _i =− 14. La variation d'entropie du gaz est alors :

1 i

f i

v f 33,8J.K

V ln V R T n ln T C n

S = ⁻

 

 + 



 



= 

∆

15. La transformation étant adiabatique et irréversible, l'entropie produite est égale à la variation d'entropie du gaz, soit :

p S 33,8J.K 1

S =∆ = ⁻

Électrocinétique.

16. Les caractéristiques du générateur de Thévenin équivalent au montage qui alimente le condensateur sont _eTh= 1_{e t}( ) _Th= _R

2 et R 2 . La loi des mailles donne alors : e_Th=R i u_Th + soit encore, compte tenu que i dq

dt Cdu

= = dt : 1 ( )

2e t 2RCdu dt u

= +

Cette équation est de la forme _{e t}( ) ^du dt u

0 =τ + si on pose :

( )

⁼

( )

⁼ sin

(

^ωt^+ϕ

)

2 t E 2e t 1

e₀ ⁰

17. Et d'autre part :

RC

=2 τ homogène à un temps.

18. En régime forcé u(t) a même pulsation que e(t) et est donc de la forme u t₀( )=U₀sin

(

ω ψt+

)

. L'équation différentielle obtenue à la question 16 est linéaire et à coefficients constants, on peut donc utiliser le formalisme complexe et écrire ^{u t}0( )= ℑ^{m u t}

{

0( )

}

= ℑ^{m U}

{

0exp

^{( )}

^{j t}ω

}

. En reportant la solution complexe dans l'équation différentielle il vient :

[ ]

E⁰ U₀ j

2 = 1+ ωτ

On en déduit aisément :

2 2 0 0

0 2 1

U E

U = = +ω τ

19. Par ailleurs ^ψ=argU₀ ^=argE₀^−arg

(

^1+jωτ

)

^{, soit :}

( )

^ωτ

− ϕ

=

ψ arctan

20. La solution générale de l'équation différentielle obtenue à la question 16 est la somme :

♦ de la solution de l'équation homogène, _{u t1}( )=_K −^t

 

 exp τ ;

♦ de la solution particulière correspondant au régime forcé, u t₀( )=U₀sin

(

ω ψt+

)

.

La constante K est déterminée à partir des conditions initiales, à savoir u(0⁺) = u(0⁻) = 0 car il y a continuité de la tension aux bornes d'un condensateur. Il en résulte que K= −U₀sinψ donc :

( )

( )

u t U t t

= + − −

 





 



0 sin ω ψ sin expψ τ

Pour que le régime forcé s'établisse instantanément il faut que ψ = 0 ce qui implique :

( )

ωτ

= ϕ arctan

Électrocinétique (bis).

21. La loi des noeuds se traduit, en utilisant le formalisme complexe, par i₃ = +i₁ i₂ , soit encore :

( ) ( )

I₃ =I₁+I₂ =I₁exp jϕ₁ +I₂exp jϕ₂

Or ϕ₂ = 0 car i2 - intensité du courant dans le résistor de résistance R - est en phase avec la tension e. On en déduit la valeur efficace du courant total :

1 2 2 1 2 2 3 1

3 I I I 2I I cos

I = = + + ϕ

{ } [ ( ) ]

P_M e e i EI EI I I I

= ℜ1 = = − I I+

2 ^{1 1 1 1} 2

3 2

1 2

2 2

1 2

. * cosϕ

Compte tenu que I E

2 = R il vient :

W R 1691

I E 2 I

R

2 2 2 2 1 3

M =























 +

− P =

23. La puissance moyenne, sur une période, fournie par le générateur est :

{ } { ( ) }

P_g = ℜ1 e e i = ℜe e i +i 2

1

3 2 1 2

. * . *

soit :

W R 5491

E

M 2

g = +P =

P

24. La puissance moyenne précédente peut aussi s'écrire P_g =EI₃cosϕ₃ d'où on déduit le facteur de puissance de l'installation :

9633 , EI 0 cos

3 g

3= =

ϕ P

25. On branche un condensateur, de capacité C, aux bornes du moteur. La loi des noeuds s'écrit alors i'₃ = +i₁ i₂+i_c . En choisissant convenablement la valeur de C on amène i'3 en phase avec e. Dans ce cas il vient :

( )

I'₃=I₁exp jϕ₁ +I₂+jC Eω

En identifiant les parties imaginaires, compte tenu que ϕ1 < 0 (moteur = dipôle inductif), on obtient : 0= −I₁ sinϕ₁ +C Eω

d'où on tire :

F 7 , EI 33

E 1 f 2 sin I E C I

2

1 M 1 1

1  = µ

 



−

= π ω ϕ

= P

Électrostatique.

26. La distribution de charges est invariante par translation parallèlement au plan yOz donc le champ électrostatique et le potentiel ne dépendent que de la variable x, E = E(x) et V = V(x). D'autre part, tout plan orthogonal à yOz est plan de symétrie ; E, vecteur vrai, est donc tel que :

( )

x _x

E u

E=

Enfin, yOz étant aussi plan de symétrie, E(x) et V(x) vérifient les relations suivantes :

( )

x V

( ) ( )

x,E x E

( )

x

V− = − =−

Ainsi, V(x) est une fonction paire et E(x) une fonction impaire de x. Notons, par ailleurs, que les symétries précédentes impliquent que le champ électrostatique est nul en tout point du plan yOz.

27. Pour tout point intérieur à la distribution, |x| < a, l'expression locale du théorème de Gauss s'écrit dE x( )

dx

1

0

= ρ

ε . Cette relation s'intègre en E x( ) x

1 K

0

= ρ +

ε . Comme E1(0) = 0, la constante K est nulle, d'où :

( )

x

0

1 x

x u

E ε

=ρ

28. Pour tout point extérieur à la distribution, |x| > a, l'expression locale du théorème de Gauss devient dE x( )

dx

2 =0, soit E2(x) = K'. Cette constante est déterminée par la continuité du champ en x = a, soit : E₂( ) u

0

x a

x a

= ρ >

ε pour x Par symétrie on en déduit :

E₂( ) u

0

x a

x a

= −ρ < − ε pour x En résumé on peut écrire :

( ) ( )









ε >

ρ ε <

ρ

=

a x pour x

asgn

a x pour x

x

x 0

x 0

u u E

29. On obtient le potentiel en intégrant l'équation locale E= −∇V qui donne ( )

−dV x = ( )

dx E x . Pour

|x| < a, compte tenu que V1(0) = V0, on obtient :

( )

₀

0 2

1 V

2 x x

V +

ε

−ρ

=

30. Pour |x| > a, compte tenu de la continuité du potentiel en x = ±a, il vient :

( )

₀

0

2 V

2 x a x a

V +



 



− + ε

=ρ