A316 – SVP 7 ou plus rien d’autre
Solution proposée par Thierry Machicoane
Soit N l'ensemble des entiers naturels
Soit A le sous-ensemble de N tel que A = { x appartenant à N, tel que quelque soit d un chiffre de x exprimé en base 10, alors d appartient à {7, 8, 9} }
Autrement dit, A est l'ensemble des entiers qui, exprimés en base 10, ne contiennent que les chiffres 7, 8 ou 9.
Soient les deux suites suivantes :
U(0) = 8777, et pour tout n > 0, U(n) = 10 . U(n-1) + 7 V(0) = 8987, et pour tout n > 0, V(n) = 10 . V(n-1) + 117
Pour tout n, U(n) est de la forme 87777....7777 (un 8 suivi de (n+3) 7)
Pour tout n, V(n) est de la forme 89999....9987 (un 8 suivi de (n+1) 9, suivi de 87)
Soit E l'ensemble des couples ( U(n), V(n) ) : E = { ( U(n), V(n) ), pour tout n appartenant à N }
Par construction E est infini puisque N l'est (l'application f de N dans E qui associe à tout n le couple ( U(n), V(n) ) est bijective)
Par construction, pour tout n de N, les nombres U(n) et V(n) appartiennent à l'ensemble A (leurs chiffres ne sont que des 7, 8 ou 9)
Calculons maintenant le produit P(n) = U(n) x V(n)
Pour ce faire, nous observons que V(n) = 9 . 10 ^ (n-3) - 13, ce qui se démontre aisément par récurrence puisque V(n) = 10 . V(n-1) + 117 = 10 . V(n-1) + 130 - 13 = 10 . ( V(n-1) + 13 ) - 13
Ainsi V(n) = 9000....0000 - 13 (un 9 suivi de (n+3) 0, auquel on retranche 13)
Dès lors, le produit P(n) est aisé à développer : 87777....7777 x (9000....0000 - 13) = (87777....7777 x 9 x 1000....0000) - (13 x 87777....7777)
P(n) = 78999....9993000...000 - 114111....11101 = 78999...99987888...88899
P(n) = 78999...99987888...88899, 78, suivi de n 9, suivi de 87, suivi de (n+2) 8, suivi de 99
Donc P(n) = U(n) x V(n) appartient bien à l'ensemble A, et n'est constitué que des nombres 7, 8, et 9
Enfin, soit F l'ensemble des couples (a, b) tels que a, b, a x b appartiennent à A E est une partie de F, E est infini, donc F est infini
