Version 2022 1-La force électrique 1
1.
La force est( )
( )
1 2 2
19 19
9 ²
² 10 2
9
1, 602 10 1, 602 10
9 10 2,82 10
2,904 10
Nm C
F k q q r
C C
m N
− −
−
−
=
× ⋅ − ×
= × ⋅
×
= ×
2.
On trouve la distance avec la formule de la force( )
1 2 2
6 6
9 ²
² 2
5 10 10 10
10 9 10
0, 2121
Nm C
F k q q r
C C
N r
r m
− −
=
× ⋅ − ×
= × ⋅
=
3.
a) La grandeur de la force faite par la charge de -2 µC est( )
( )
1 2 2
6 6
9 ²
² 2
1 10 2 10
9 10 0,05
7, 2
Nm C
F k q q r
C C
m N
− −
=
× ⋅ − ×
= × ⋅
=
La grandeur de la force faite par la charge de 4 µC est
( )
1 2 2
6 6
9 ²
² 2
1 10 4 10
9 10 0,12
2,5
Nm C
F k q q r
C C
m N
− −
=
× ⋅ ×
= × ⋅
=
Version 2022 1-La force électrique 2 Comme la force faite par la charge de -2 µC est attractive et que celle faite par la charge de 4 µC est répulsive, on a la situation suivante.
En utilisant un axe positif vers la droite, la force nette est 7, 2 2,5
4,7
nette
F N N
N
= −
=
La force nette est donc de 4,7 N vers la droite.
b) La grandeur de la force faite par la charge de 1 µC est
( )
( )
1 2 2
6 6
9 ²
² 2
1 10 2 10
9 10 0,05
7, 2
Nm C
F k q q r
C C
m N
− −
=
× ⋅ − ×
= × ⋅
=
La grandeur de la force faite par la charge de 4 µC est
( )
( )
1 2 2
6 6
9 ²
² 2
2 10 4 10
9 10 0,07
14,69
Nm C
F k q q r
C C
m N
− −
=
− × ⋅ ×
= × ⋅
=
Comme la force faite par la charge de 1 µC est attractive et que celle faite par la charge de 4 µC est attractive, on a la situation suivante.
Version 2022 1-La force électrique 3 En utilisant un axe positif vers la droite, la force nette est
14,69 7, 2 7, 49
nette
F N N
N
= −
=
La force nette est donc de 7,49 N vers la droite.
4.
La grandeur de la force faite par la charge de 2 µC est( )
( )
1 2
1 2
6 6
9 ²
² 2
2
2 10 3 10
9 10 0
0,054 ²
Nm C
F k q q r
C C
x Nm
x
− −
=
× ⋅ − ×
= × ⋅
−
=
La grandeur de la force faite par la charge de 4 µC est
( )
( )
( )
1 2
2 2
6 6
9 ²
² 2
2
3 10 4 10
9 10 0,12
0,108 ² 0,12
Nm C
F k q q r
C C
m x Nm
m x
− −
=
− × ⋅ ×
= × ⋅
−
=
−
Comme la force faite par la charge de 2 µC est attractive et que celle faite par la charge de 4 µC est attractive, on a la situation suivante.
En utilisant un axe positif vers la droite, la force nette est
Version 2022 1-La force électrique 4
( )
1 2
2 2
0,054 ² 0,108 ² 0,12
nette
F F F
Nm Nm
x m x
= − +
= − +
− Si on veut que la force soit nulle, on doit avoir
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
0,054 ² 0,108 ²
0 0,12
0,054 ² 0,108 ²
0,12
1 2
0,12
0,12 2
0,0144 ² 0, 24 2
0 0, 24 0,0144 ²
Nm Nm
x m x
Nm Nm
x m x
x m x
m x x
m m x x x
x m x m
= − +
−
=
−
=
−
− =
− ⋅ + =
= + ⋅ −
La solution de cette équation quadratique est x = 0,0497 m = 4,97 cm. (Il y a une autre solution x = -0,2897 m, mais cette solution n’est pas valide ici. À cette position, les deux forces sont égales, mais dans la même direction.)
5.
On va mettre notre x = 0 à la position de la charge de 2 µC. La position de la charge de -3 µC est donc x = 0,12 m.Si la position de la charge q qu’on place est x, on a
( )
1 3
1 2
6 9 ² 3
² 2
6 9 ² 3
² 2
² 3
2
9 10 2 10
0 9 10 2 10
18000
Nm C
Nm C Nm
C
F k q q r
C q x
C q x q x
−
−
=
× ⋅
= × ⋅
−
× ⋅
= × ⋅
= ⋅
Version 2022 1-La force électrique 5
( )
( )
( )
2 3
2 2
6 9 ² 3
² 2
6 9 ² 3
² 2
² 3
² 2
9 10 3 10
0,12 9 10 3 10
0,12 27 000
0,12
Nm C
Nm C
Nm C
F k q q r
C q m x
C q m x q
m x
−
−
=
− × ⋅
= × ⋅
−
− × ⋅
= × ⋅
−
= ⋅
−
Si la force nette est nulle, c’est que les deux forces sont de même grandeur. On a donc
( )
( )
( )
1 2
² ²
3 ² 3
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
18000 27 000
0,12
2 3
0,12
2 0,12 3
0, 0288 0, 48 2 3
0 0, 48 0, 0288
Nm Nm
C C
F F
q q
x m x
x m x
m x x
m m x x x
x m x m
=
⋅ ⋅
=
−
=
−
⋅ − =
− ⋅ + =
= + ⋅ −
La solution de cette équation sont x = -0,5339 m et x = 0,0539 m.
Examinons la direction des forces pour ces 2 solutions.
Supposons que q est positive. Voici les directions des forces si on place cette charge à x = -0,5229 m (ܨଵ est la force faite par la charge de 2 µC et ܨଶ est la force faite par la charge de -3 µC).
Comme les forces sont dans des directions opposées, elles s’annulent et la force nette est nulle. C’est donc une solution acceptable.
Voici les directions des forces si on place la charge à x = 0,0539 m (ܨଵ est la force faite par la charge de 2 µC et ܨଶ est la force faite par la charge de -3 µC).
Version 2022 1-La force électrique 6 Comme les forces sont dans la même direction, il est impossible que la force nette soit nulle dans cette région. Ce n’est donc pas une solution acceptable.
La seule solution acceptable est donc x = -0,5339 m. On doit donc placer la charge à 53,39 cm à gauche de la charge de 2 µC.
6.
On va appeler ܨଵ la force faite par la charge de 2 µC, ܨଶ la force faite par la charge négative inconnue et ܨଷ la force faite par la charge de 3 µC. On a doncSi la force est nulle, on doit avoir (en utilisant un axe positif vers la droite)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 2 3
6 6 6 6 6
2 2 2
6 6 6 6 6
2 2 2
6 6
2 2 2
² 2
0
1 10 2 10 1 10 1 10 3 10
0 0, 01 0, 02 0, 03
1 10 2 10 1 10 1 10 3 10
0 0, 01 0,02 0, 03
2 10 3 10
0 0, 01 0, 02 0, 03
0 0, 02 0, 00
0, 02
C m
F F F
C C C q C C
k k k
m m m
C C C q C C
m m m
C q C
m m m
q m
− − − − −
− − − − −
− −
= − +
− × ⋅ × − × ⋅ − × ⋅ ×
= − +
− × ⋅ × − × ⋅ − × ⋅ ×
= − +
× ×
= − +
= − +
( )
²
² 2
6
333 0, 02333 0, 02
9,333 10
C m
C m
q m
q − C
=
= ×
La charge inconnue est donc une charge de -9,333 µC.
Version 2022 1-La force électrique 7
7.
On va appeler ܨଵ la force faite par la charge de 5 µC, ܨଶ la force faite par la charge de -4 µC et ܨଷ la force faite par la charge de -3 µC. On a doncLa grandeur de chaque force est
( )
1 4
1 2
6 6
9 ²
² 2
5 10 2 10
9 10 0,06
25
Nm C
F k q q r
C C
m N
− −
=
× ⋅ − ×
= × ⋅
=
( )
2 4
2 2
6 6
9 ²
² 2
4 10 2 10
9 10 0,06
20
Nm C
F k q q r
C C
m N
− −
=
− × ⋅ − ×
= × ⋅
=
Pour ܨଷ, la distance est la diagonale du carré. On a donc r² = (0,06 m)² + (0,06 m)² = 0,0072 m² Ainsi, la grandeur de la force est
Version 2022 1-La force électrique 8
3 4
3 2
6 6
9 ²
²
3 10 2 10
9 10 0, 0072 ²
7,5
Nm C
F k q q r
C C
m N
− −
=
− × ⋅ − ×
= × ⋅
=
Avec un axe des x vers la droite et un axe des y vers le haut, les composantes de ces forces sont
( ) ( )
1 1
2 2
3 3
25 0 0 20
7,5 cos 45 7,5 sin 45
5,303 5,303
x y
x y
x x
F N
F N
F N
F N
F N F N
N N
= − =
= −
=
= ⋅ − ° = ⋅ − °
= = −
Les composantes de la force nette sont donc
25 0 5,303 19, 697
0 20 5,303 25,303
x y
F N N N N
F N N N N
= − + + = −
= + − − = −
La grandeur de la force est donc
( ) ( )
2 2
19,697 2 25,303 32,07
x y
F F F
N N
N
= +
= − + −
= et la direction de la force est
arctan
25,303 arctan
19,697 127,9
y x
F F
N N θ =
= −
−
= − °
(ou 232,1°, c’est la même chose.)
Version 2022 1-La force électrique 9
8.
On va appeler ܨଵ la force faite par la charge de -1,72 µC et ܨଶ la force faite par la charge de 7,45 µC. On a doncLa grandeur de chaque force est
( )
1 3
1 2
6 6
9 ²
² 2
1,72 10 2,75 10
9 10 1, 25
0,0272448
Nm C
F k q q r
C C
m N
− −
=
− × ⋅ ×
= × ⋅
=
( )
2 3
2 2
6 6
9 ²
² 2
7, 45 10 2,75 10
9 10 1, 25
0,118008
Nm C
F k q q r
C C
m N
− −
=
× ⋅ ×
= × ⋅
=
Avec un axe des x vers la droite et un axe des y vers le haut, les composantes de ces forces sont
( ) ( )
1 1
2 2
0,0272448 0
0,118008 cos 120 0,118008 sin 120
0,059004 0,102198
x y
x x
F N F N
F N F N
N N
= =
= ⋅ − ° = ⋅ − °
= − = −
Les composantes de la force nette sont donc
Version 2022 1-La force électrique 10 0, 0272448 0, 059004 0, 0317592
0 0,102198 0,102198
x y
F N N N
F N N N
= + − = −
= + − = −
La grandeur de la force est donc
( ) ( )
2 2
2 2
0,0317592 0,102198 0,10702
x y
F F F
N N
N
= +
= − + −
= et la direction de la force est
arctan
0,102198 arctan
0,0317592 107,3
y x
F F
N N θ =
= −
−
= − °
(ou 252,7°, c’est la même chose)
9.
Les forces sur la boule de droite sont : 1) La force de gravitation (P = mg).2) La tension de la corde (T).
3) La force de répulsion électrique entre les deux balles (FE).
Si la somme des forces sur la boule est nulle, on a
Version 2022 1-La force électrique 11
( )
( )
0
cos 93,8 0 0
sin 93,8 0
x
E y
F
F T F
mg T
=
→ + ° =
=
→ − + ° =
∑
∑
La deuxième équation nous permet de trouver la tension.
( )
( )
sin 93,8 0
0, 00026 9,8 sin 93,8 0
0, 0025536
N kg
mg T
kg T
T N
− + ° =
− ⋅ + ° =
=
On peut ensuite utiliser cette valeur de la tension dans la somme des forces en x pour trouver la force électrique.
( )
( )
4
cos 93,8 0 0, 0025536 cos 93,8 0
1, 69238 10
E E
E
F T
F N
F − N
+ ° =
+ ⋅ ° =
= ×
On peut ensuite trouver la charge avec
2 2
4 9 ² 2
² 2
1,69238 10 9 10
E
Nm C
F kQ r N Q
r
−
=
× = × ⋅
Pour trouver Q, il nous faudra toutefois la distance entre les deux charges. On trouve premièrement r/2 avec le triangle suivant.
On a donc
Version 2022 1-La force électrique 12 / 2 sin 3,8
11,3
1, 4978 r
cm
r cm
= °
= Cela nous amène à
( )
2 2
2
4 9 ²
² 2
9
1, 69238 10 9 10
0, 014978 2, 054 10
2, 054
E
Nm C
F kQ r N Q
m
Q C
Q nC
−
−
=
× = × ⋅
= ± ×
= ±
10.
On a( )
1 2
12 2
12 1 2
9 ²
² 2
10 2 1 2
18 9 10
0,5 5 10
Nm C
F k q q r N q q
m
q q − C
=
= × ⋅
= ×
Comme la charge 1 est positive et la charge 2 est négative, on doit avoir
10 2
1 2 5 10
q q = − × − C On a ensuite
( )
1 3
13 2
13 1 3
9 ²
² 2
10 2 1 3
45 9 10
0,5 12,5 10
Nm C
F k q q r N q q
m
q q − C
=
= × ⋅
= ×
Comme la charge 1 est positive et la charge 3 est positive, on doit avoir
10 2 1 3 12,5 10 q q = × − C
Version 2022 1-La force électrique 13 On a ensuite
( )
2 3
23 2
23 2 3
9 ²
² 2
10 2 2 3
72 9 10
0,5 20 10
Nm C
F k q q r N q q
m
q q − C
=
= × ⋅
= ×
Comme la charge 2 est négative et la charge 3 est positive, on doit avoir
10 2 2 3 20 10 q q = − × − C
On a alors les trois équations.
10 2 1 2
10 2 1 3
10 2 2 3
5 10 12,5 10
20 10
q q C
q q C
q q C
−
−
−
= − ×
= ×
= − ×
Pour résoudre ces équations, on va premièrement éliminer q3 en l’isolant dans la dernière équation
10 2 3
2
20 10 C
q q
− × −
=
et en remplaçant dans la deuxième équation
10 2 1 3
10 2
10 2 1
2 1 2
12,5 10 20 10
12,5 10 0,625
q q C
q C C
q q q
−
−
−
= ×
− ×
⋅ = ×
= − On a maintenant les deux équations suivantes.
10 2 1 2
1 2
5 10 0,625
q q C
q q
= − × −
= −
Version 2022 1-La force électrique 14 On trouve q1 en multipliant les deux équations.
(
1 2)
1 10 22
2 10 2
1
5 1
1
5 10 0,625 3,125 10
1,7678 10 17,678
q q q C
q
q C
q C
q µC
−
−
−
⋅ = − × ⋅ −
= ×
= ×
= De là, on trouve q2
1 2
2 2
0,625 17,678
0,625 28, 284 q
q µC q
q µC
= −
= −
= − et q3
10 2 3
2
10 2 5 5
20 10 20 10 2,8284 10 7, 0711 10 70,711 q C
q C
C C µC
−
−
−
−
− ×
=
− ×
= − ×
= ×
=
