,2ak , et 2n + 9 avec la séquence 3,6,2a1

Enoncé A361 (Diophante) Nombres décomposables

Un entier positif est dit décomposable s’il est somme des entiers positifs a1, a2, . . . , a_k dont la somme des inverses est égale à 1.

Ainsi 77 est décomposable puisque : 77 = 3 + 4 + 4 + 11 + 22 + 33 et 1

3+1 4 +1

4 + 1 11 + 1

22 + 1 33 = 1.

Trouver tous les entiers indécomposables.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Ce sont 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14, 15, 19, 21 et 23.

1/ Pour affirmer qu’il n’y en a pas au-delà de 23, il suffit de mon- trer qu’il n’y en a pas entre 24 et 60. En efffet, si n est dé- composable avec la séquence a₁, . . . , a_i, . . . , a_k, on décompose 2n + 2 avec la séquence 2,2a₁, . . . ,2a_i, . . . ,2a_k , et 2n + 9 avec la séquence 3,6,2a1, . . . ,2ai, . . . ,2ak.

Réciproquement, si nn’est pas décomposable, il en est de même de (n−2−7(nmod 2))/2. Si n > 60 n’était pas décomposable, ce méca- nisme de descente produirait un nombre non décomposable dans l’inter- valle (24,60).

2/ Le programme de recherche de décomposition d’un entier n est basé sur les propriétés suivantes. Je considère plus généralement la recherche d’une séquence (croissante au sens large) d’entiers dont la somme est set la somme des inverses t.

Le nombre k de termes de cette séquence est borné supérieurement par

√st; en effet, la moyenne géométrique des termes est bornée supérieure- ment par s/k, moyenne arithmétique, et inférieurement park/t, moyenne harmonique. En outre,s/test la moyenne desa²_i pondérée par les quantités 1/ai; de ce fait, le plus petit terme de la séquence est borné supérieurement par ^ps/t; il est borné inférieurement par 1/t.

L’exploration se fait par étapes à partir d’une séquance vide. A chaque étape, le début de la séquence (j termes) détermine les quantités s et t restant pour la suite, le dernier termeaj étant aussi une borne inférieure pour le suivant. Pour celui-ci, on essaie la plus petite valeur a_j+1 compa- tible avec ces conditions, si elle existe : c’est le mouvement d’avance. Si elle n’existe pas, il faut redescendre d’un niveau (mouvement de recul) et tenter d’incrémentera_j; cela peut se répéter de niveau en niveau, et si on revient au niveau zéro, c’est que le nombre de départ est indécomposable.

Ce problème figure sous le n^o5 dans Quadrature n^o1 (novembre-décembre 1989), page 56.

La solution est donnée dans Quadrature n^o3 (mars-avril 1990), page 52.

Dans Quadrature n^o4 (mai-juin 1990), pages 22-24, j’ai présenté un article

“Nombres bons, nombres mauvais” détaillant le programme d’exploration arborescente (écrit en langage Pascal) qui fournit ce résultat.

L’analyse s’adapte sans difficulté au cas d’une séquence strictement crois- sante ; sont alors non décomposables 2 à 10 inclus, 12 à 23 inclus, 25 à 29 inclus, 33 à 36 inclus, 39 à 42 inclus, 44, 46 à 49 inclus, 51, 56, 58, 63, 68, 72 et 77. Le traitement des grands nombres est un peu plus délicat : si a₁ = 3, on ne peut pas associer (3,6) aux termes 2a_i pour former 2n+ 9 ; mais on peut associer aux termes 4ai les débuts de séquence (2,4), (3,4,6), (3,4,10,15) ou (4,5,6,10,30).