Séquence 6

Séquence 6

Ensemble des

nombres complexes

Cette séquence est une brève introduction à un nouvel ensemble de nombres, ensemble qui contient l’ensemble R des nombres réels et dans lequel les carrés peuvent être négatifs.

Sommaire

Prérequis

Définition – Forme algébrique Forme trigonométrique

Synthèse

Équation du second degré dans

Les nombres a, b et c sont des nombres réels avec a≠0 et x  est un nombre réel.

Tout trinôme du second degré ax²+bx c+ avec a≠0 peut s’écrire sous la forme

ax bx c a x b

a a

2 2

2 4 2

+ + =  +

 

 −



 



∆ où ∆ =b²−4 .ac

Résolution dans Rde l’équation ax²+bx c+ =0

∆ >0 ∆ =0 ∆ <0

Deux solutions :

x b

a

2 et

1= − − ∆ x b

2= − + ∆2a

Une solution :

α = −b a 2

Pas de solution

Géométrie

Longueur de la diagonale d’un carré, de l’hypoténuse d’un rectangle isocèle. 

A a

a 2 a

B C

Le plan est muni d’un repère orthonormé O ; u v( , ).

t L’équation ax by c_{+ + =}0 avec a b( ); ^≠( )0 0 est une équation de droite. ; t La distance des points M₀(x₀;y₀) ^{et M}( )^{x y;} est égale à

M M₀ = (^x−^x0)^{2+ −}(^{y y0})^2.

t L’équation (x−x⁰)^{2+ −}(y y⁰)²⁼R² est une équation du cercle de centre Ω(x₀;y₀) et de rayon R.

A

Théorème

Théorème

B

1 ^Prérequis

Montrer que l’ensemble E ayant pour équation x²+y²−4x+2y =0 est un cercle dont on donnera le centre et le rayon.

On transforme l’équation donnée pour faire apparaître (x−x⁰)^{2 et} (^y−y0)^2.

On a les équivalences :

x²+y²−4x+2y= ⇔0

(

)

(

)

 ⇔

(

)

(

)

⇔ −(x 2)²+ +(y 1))²=5.

La dernière équation permet de reconnaître que l’ensemble E est le cercle de centre Ω(2;−1) et de rayon 5.

Formules de trigonométrie

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O ; OI OJ),, on considère un cercle C orienté de centre O et de rayon 1. Soit x un réel et M le point qui lui est associé.

On appelle cosinus de x et sinus de x les coor- données de M dans le repère (O ; OI OJ)., On a ainsi : M (cos x ; sin x).

M

O J

cos x I sin x

x

+ Définition

Réel x 0 π

6

π 4

π

3 ^U

cos x 1 3

2

2 2

1

2 ⁰

sin x 0 1

2

2 2

3

2 ¹

Propriété

Pour tout réel x et tout entier relatif k, on a : t − ≤1 cosx≤1 et − ≤1 sinx≤1 ;

t cos²x₊sin²x₌1 _; t cos cos

sin sin

( )

( )

x k x

x k x

+ × = + × =





2 2

π

π .

Exemple A

Solution

À savoir

Propriétés

cosinus et sinus des réels associés à un réel x cos( ) cos

sin( ) sin

− =

− = −





x x

x x

cos( ) cos

sin( ) sin

π π

+ = − + = −





x x

x x

cos( ) cos

sin( ) sin π

π

− = −

− =





x x

x x

cos sin

sin cos

π π

2 2

 −

 

 =

 −

 

 =









x x

x x

cos sin

sin cos

π π

2 2

 +

 

 = −

 +

 

 =









x x

x x

Propriétés

Formules d’addition Pour tous réels a et b, on a :

cos cos cos sin sin ,

cos cos cos si

a b a b a b

a b a b

( + )^{= −}

( − )^{= + nn sin ,}

sin sin cos cos sin

sin sin

a b

a b a b a b

a b

( + )^{= +}

( − )⁼

, aacosb−cos sina b.

cos2a₌cos²a₋sin²a cos2a₌2cos²a₋1 cos2a_{= −}1 2sin²a sin2a₌2sin cosa a

Fonction exponentielle

C

Théorème

Relation fonctionnelle caractéristique

La fonction exponentielle est la seule fonction fnon nulle et dérivable sur R

telle que f ( )′ =0 1 et, pour tous réels a et b, f a b( + =) f a( )×f b( ).

2 Définition –

Forme algébrique

Objectifs du chapitre

L’existence d’un ensemble de nombres dans lequel des carrés peuvent être néga- tifs est énoncée dans un théorème, admis en terminale.

On expérimente alors les calculs possibles.

On en donne une première interprétation géométrique.

On résout toutes les équations du second degré.

Par nécessité, la notion de nombre s’est enrichie au cours des siècles.

On connaît ensemble des entiers naturels N={0 ; 1 ; 2 ;… }.

L’ensemble Zdes entiers relatifs contient N ainsi que les opposés des entiers naturels : Z={…; – 3 ; – 2 ; – 1; 0 ; 1; 2 ;…}

Les nombres fractionnaires, nécessaires pour les partages, sont de la forme a avec a et b entiers ; ils constituent l’ensemble des nombres rationnels. b En prenant b = 1, on voit que Z est un sous-ensemble de ^.

L’ensemble R des réels est constitué de l’ensemble des nombres ration- nels et aussi de l’ensemble des nombres irrationnels (qu’on ne peut pas écrire sous la forme a

b avec a et b entiers) ; nous en connaissons des exemples  : π, 2, 3…

Pour résoudre des équations (du troisième degré en particulier), les mathéma- ticiens du XVIe siècle commencèrent à entrevoir l’existence d’autres nombres qu’ils appellent nombres imaginaires. C’est le cas en particulier de Jérôme Car- dan, mathématicien italien, qui obtenait des résultats intéressants en prenant la racine carrée d’un nombre négatif.

Au milieu du XVIIIe siècle, le mathématicien suisse Leonhard Euler désigne par i le nombre imaginaire –1 ; ainsi i² = –1 et tous les imaginaires inventés seront de la fonne a + ib avec a et b réels.

Tous ces nombres constituent l’ensemble des nombres complexes, exemple que l’on va noter .

Ces ensembles de nombres sont inclus les uns dans les autres. Ils ont des pro- priétés différentes, en particulier dans la résolution des équations.

L’équation 7+ =x 4 n’a pas de solution dans N, mais sa solution (–3) est dans Z^.

2

x = Z ²

A

Remarque

L’équation x²=2 n’a pas de solution dans , ses solutions (– 2 et 2 ) sont irrationnelles.

L’équation x²=– n’a pas de solution dans 1 R, mais aura 2 solutions i et (–i) dans le nouvel ensemble que l’on va étudier maintenant.

23

(–i) (–3)

(– 2) 2

i _ b

a

^

`

Pour débuter

La résolution des équations du second degré était connue des Babyloniens vers 1700 ans avant J.-C.

L’étude de la résolution des équations du troisième degré aboutit en 1545 avec la publication, dans l’Ars Magna de Jérôme Cardan, de la formule découverte par Scipione dal Ferro.

Une équation de la forme x³=px q+ a pour solution le nombre x donné par

x q q p q q p

= + − + − −

2

27 4

108 2

27 4

108

2 3

3 2 3

3 .

Dans cette formule, le symbole ³ désigne la racine cubique d’un nombre  : a étant un nombre réel, a³ désigne le seul nombre réel dont le cube est égal à a. L’existence et l’unicité du nombre a³ sont prouvées à l’aide du théorème des valeurs intermédiaires. Sur une calculatrice, la racine cubique du nombre a s’obtient en élevant a à la puissance 1

3.

Démontrer que toute équation de la forme x³=px q+ possède au moins une solution dans ^.

En utilisant la formule publiée par Cardan, trouver une valeur de x solution de l’équation x³=2x+4.

Mais si on essaie de faire de même avec l’équation x³=15x+4, on ne peut pas conclure car 27q²−4p³ est strictement négatif et on ne peut pas en prendre la racine carrée. Mais on sait qu’il y a au moins une solution d’après .

B

Activité 1

Des algébristes italiens du XVIe siècle, Bombelli en particulier, eurent l’audace de continuer quand même les calculs en utilisant un nombre dont le carré est égal à

−1. Ce nombre sera plus tard noté i par L. Euler en 1777.

En utilisant l’égalité i²= −1, montrer que, dans le cas de l’équation x³=15x+4, on a

q q p

2

27 4

108 2 11

2 3

+ − = + i et q q p

2 1 2

27 4

108 2 11

2 3

− − = − i.

En utilisant l’identité remarquable (x+y)³=x³+3x y² +3xy²+y³, vérifier que (2+i)³= +2 11i et (2−i)³= −2 11i.

En déduire une solution x₀ de l’équation x³=15x+4.

Terminer la résolution de l’équation x³=15x+4 en montrant qu’elle est équivalente à une équation de la forme (x−x0)(x2+ + =ax b) 0.

Cours

1. Définition

Dans , il est impossible de trouver des nombres dont le carré est négatif.

Dans , cela devient possible…

On a prolongé les opérations (addition et multiplication) avec leurs propriétés, mais on a perdu une autre des propriétés de : l’ordre. Dans ,deux nombres quel- conques x et y peuvent toujours être comparés : on a x ≤y ou x >y. Une des conséquences de l’ordre dans est la règle des signes, en particulier on sait qu’un carré, qui est le produit de deux nombres de même signe, est un nombre positif.

L’ordre de ne peut donc pas être prolongé dans puisque, dans , il existe des carrés négatifs. Ainsi, le nombre i ne peut pas être comparé à 0, le nombre i n’est pas positif et i n’est pas négatif.

Le symbole désigne, dans , le nombre positif dont le carré est égal au nombre positif qui est sous le radical. Comme il n’y a pas d’ordre dans ,

C

Théorème 1

(Admis) Il existe un ensemble, l’ensemble des nombres complexes, noté , ^{tel que :} t contient l’ensemble des nombres réels ;

t est muni d’une addition, d’une multiplication (et donc d’une soustrac- tion et d’une division) qui possèdent les mêmes règles de calcul que dans l’ensemble des nombres réels ;

t il existe, dans , un nombre i tel que i²= −1 ;

t tout nombre complexe z s’écrit de façon unique sous la forme z = +a i ,b où a et b sont des nombres réels.

Remarque

t L’écriture a+i , b a et b étant réels, s’appelle la forme algébrique du nombre complexe z tel que z= +a i .b

t Le nombre réel a s’appelle partie réelle du nombre complexe z et on écrit a=Re( ).z

t Le nombre réel b s’appelle partie imaginaire du nombre complexe z et on écrit b=Im( ).z

t Quand a est nul, le nombre complexe z s’écrit z=i et on dit que b z est un imaginaire pur (après leur invention, les nombres complexes étaient appelés « nombres imaginaires »).

Définitions 1

t La partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe z, Re( )z et Im( ),z sont des nombres réels.

t Le nombre réel 0 est un imaginaire pur (0 = 0 ⫻ i) ! Propriété 1

t Nombre complexe nul : a+ = ⇔ =ib 0 a 0etb=0.

t Égalité : a+ = ′ + ′ ⇔ = ′ib a ib a a etb= ′b (où a, b, a’ et b’ sont réels).

t Caractérisation d’un nombre réel : z∈ ⇔ ^{Im( )}z =^0.

t Caractérisation d’un imaginaire pur : z est imaginaire pur ⇔ Re( )z =0.

 Démonstration

Ces quatre propriétés sont déduites de l’unicité de l’écriture sous forme algé- brique z= +a i ,b unicité qui est énoncée dans le théorème 1.

2. Opérations

On applique les mêmes règles que dans . On a donc les mêmes identités remarquables.

Voici quelques exemples de calcul.

t (2 + 3i) + (5 – 4i) = 2 + 5 + 3i – 4i = 7 – i.

t (2 + 3i)(1 – i) = 2 + 3i – 2i – 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i, car i² = –1.

t (2 + 3i)² = 2² + 2 w 2 3i + (3i)² = 4 + 12i + 9i² = 4 + 12i – 9 = –5 + 12i.

Ici, on a utilisé une identité remarquable qui se calcule comme dans  ^{; on a}

aussi utilisé le fait que i² = –1.

Remarque

Exemples

t (1 + 3i)(1 – 3i) = 1² – (3i)² = 1 – 9i² = 1 + 9 = 10.

Ici, c’est l’identité remarquable (x + y )(x – y ) = x ² – y ² qui a été utilisée en prenant x = 1 et y = 3i.

On peut remarquer que le produit de ces deux nombres complexes non réels est un nombre réel.

Propriété 2

Pour tous nombres complexes z= +a i et b z′ = ′ + ′a i , b a, b, a’ et b’ étant des nombres réels, on a :

z z+ ′ = + ′ +(a a ) i(b b+ ′) ; zz′ =(aa′ − ′ +bb ) i(ab′ + ′a b) ; kz = +ka ikb pour tout réel k ;

1

2 2 2 2 2 2

a b

a b

a b

a

a b

b

a b

+ = − + =

+ − + i

i i si z≠0.

 Démonstration

On applique les mêmes règles de calcul que dans . Pour le produit, on a

zz a b a b

aa ba ab bb

′ = + ′ + ′

= ′ + ′ + ′ + ′ ( i )( i )

i i i²

i car i²

=(aa′ − ′ +bb ) (ab′ + ′a b) = −1.

Pour l’inverse, on utilise une identité remarquable (comme on l’a fait avec des radicaux) en multipliant le numérateur et le dénominateur par a−i  :b

1 1

2 2 2 2

z a b

a b

a b a b

a b

a b

a

a b

= + = −

+ − = −

− −

( )

i

i

i i

i i

( )( )

bb a²+b². tTout nombre complexe non nul admet un inverse.

t Pour tous nombres complexes z et z , on a : zz′ ′ = ⇔ =0 z 0 ou z′ =0.

 Démonstration

On a trouvé un inverse pour chaque nombre complexe non nul donc si zz′ =0 et z≠0, en multipliant par l’inverse de z (c’est-à-dire en divisant par z), on obtient

′ =

z 0. Donc si zz′ =0 alors on a z=0 ou z′ =0.

On vérifie facilement la réciproque en utilisant par exemple a= =b 0.

Déterminer la forme algébrique de l’inverse du nombre 2 3+ i et du quotient 3 1 2

+

− i

i. On a :

1 2 3 2 3

= − i = − i  ;

Conséquence

Exemple 1

Solution

3 1 2

3 1 2

2

3 2 3 2 1

+

− = + +

− = + + × +

i i

i i)

(1 i)(1+2i)

i² i

( )( ( ) ( ))

1 2 .

1 7 5

1 5

7

2+ 2 = + = +i 5 i Quelques propriétés du nombre i :

i = –1; i = i i = –i ; i = (i ) = 1; i = i… ; 1 i= i

i = i –1= –i

2 3 2 4 2 2 5

× 2 ..

Pour n∈^{, i4n = (i4)n = 1n = 1}

i^{4n + 1} = i⁴ⁿ i = 1 i = i i^{4n + 2} = i⁴ⁿ i² = 1 (–1) = –1 i^{4n + 3} = i⁴ⁿ i³ = 1 (–i) = –i

Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants :

(1 ) ; 1 ; ; ;

7 4

2 3 1 4

1 1

1 1

3 9

+ −

− +

+

−

 

 − +

  i 

i i i

i i

i i

35

.

t (1 i) 1 3i  3i i 1 3i 3 i 2 2i t 1

7 4i

7 4i (7 4i)(7 4i)

7 4i

7 4

7 65

4 65i t 2 3i

1 4i

(2 3i)(1 4i) (1 4i)(1 4i)

2 3i 8i 12

1 4

10 17–11

17i t 1 i

1 i

(1 i)(1 i) (1 i)(1 i)

1 2i 1

1 1 (i) i

3 3 2 3

2 2

2 2

9 9

2 2

9 9

+ = + + + = + − − = − +

− = +

− + = +

+ = +

−

+ = − −

+ − = − − −

+ = −

+

−



 

 = + +

− +



 

 = + − +



 

 = =

Penser à simplifier d’abord la parenthèse et ne faire agir qu’ensuite l’exposant.

t 1 i 1 i

(1 i) (1 i)(1 i)

1 2i 1

1 1

( i) ( 1) (i) i

i (i ) i 1 i i ( i) i

35 2

2 2

35

35 35 35 35

4 8 3 4 8 3 8 3 3

− +



 

 = − + −



 

= − − +



 

 = − = − = −

= − ^{× +} = − × = − × = − = − − =

3. Représentation géométrique

Les nombres complexes ont longtemps été acceptés difficilement.

Peu à peu, des mathématiciens en ont donné une interprétation géométrique : Wessel en 1797 dans un texte en danois qui fut peu diffusé, Argand en 1806, Gauss en 1831. Leur existence n’a ensuite plus posé de difficultés.

Remarque

Exemple 2

Solution

Remarque

Soit O ; u v( , ) un repère orthonormé direct du plan.

t À tout nombre complexe z= +a i (avec b a et b réels), on associe le point M de coordonnées ( )a b; dans ce repère.

On dit que M est le point image de z et que OM

est le vecteur image de z. t Inversement, au point M( )a b; du plan, on associe le nombre complexe

z= +a i . b

On dit que z est l’affixe du point M et aussi du vecteur OM .

O a

b v

z = a + ib M(z)

u Notation

Le point M ayant pour affixe z peut être noté M( ).z Définition 2

Pour éviter toute confusion, les vecteurs du repère ne s’appellent pas i et j

. Le plan étant muni d’un repère orthonormé direct O ; u v( , ), placer les points

A, B, C, D et E d’affixes respectives :

z_A = − +2 3 i  ; z_B= −3 i ; z_C= −3  ; i z_D=5 et z_E= 2 2+ i.

Lire les affixes z_F, z_G,z_H,z_K,z_Let z_w.

O 0,5 v

u

w

H F

G K

L

Remarque

Exemple 3

Représenter dans le plan :

a) l’ensemble Ᏸ1 des points M d’affixe z telles que Re( )z = −1;

b) l’ensemble Ᏸ₂ des points M d’affixe z telles que Im( )z =3.

On place les points d’après leurs coordonnées : A(−^{2 3;} )^{, B 3}( ^;−1)^{,C 0}( ^;−3)^,

D 5 0( ); ^{et E}( )^{2 2; .}

En lisant les coordonnées, on obtient les affixes : z_F= −1,z_G= −3i,z_H= +3 i, z_K= −1 i

2 3

2 , z_L= +1 i 2

3

2 et z_w = − −3 2 i (On a remarqué que les points K et L sont sur le cercle trigonométrique.)

O 0,5 v

u

w

H

B 2

E A

F D Ᏸ1

Ᏸ2

G K

L

C

a) Le point M d’affixe z= +a i (avec b a et b réels) est un point de Ᏸ1 si et seulement si a= −1, l’ensemble Ᏸ₁ est donc la droite d’équation x= −1.

b) De même l’ensemble Ᏸ₂ des points M d’affixe z telles que Im( )z =3 est la droite d’équation y =3.

Nombres complexes Vecteurs Somme Soit z= +a ib et z′ = ′ + ′a i ,b

alors z z+ ′ = + ′ +(a a ) i(b b+ ′)

Soit v a b

( ); ^et

′ ′ ′( )

v a b ; , alors v v a a b b+ ′ + ′ +( ^{; '})

Produit par un réel k

En particulier k= −1

k z =k a( +i )b = +ka i kb( )

− = − −z a ib

k v ka kb. ;

( )

− − −^v( ^{a; b})

On observe une grande correspondance entre ces opérations pour les nombres complexes et pour les vecteurs.

Solution

Remarque

Pour l’addition et la multiplication par un nombre réel, manipuler les deux coor- données d’un vecteur revient à manipuler un seul nombre complexe.

On obtient ainsi les propriétés suivantes.

Dans le plan muni du repère orthonormé O ; u v( , ),on considère le point M de coordonnées ( )a b; et le point M’ de coordonnées (^{a b}_{′ ′}^; ) et on pose V au bv

=OM= + , V ′ = ′ = ′ + ′a u b v

OM et w ₌^{MM .}_′ On note z_V=zM= +a bi et z_V′=z_{M′= ′ + ′}a b i.

O a’ u a

M M’

2 b

b’

a + a’ a + a’

V + V’

v

w

b 2+ b’

b + b’

tI

Propriété 3

t V V+ ′ a pour affixe z_V z

+ V_′, ou encore z_M+z_M′.

t

V′ −V a pour affixe z_V′−z_V ou encore z_M′−Z ._M

t z_MM′=z_M′−z_M (affixe de l’extrémité diminuée de l’affixe de l’origine).

car

V V

MM′ =MO OM+ ′ =OM′ −OM= ′ − . t Pour k réel quelconque i

k V a pour affixe k z .× _V

t L’affixe du milieu I d’un segment est la demi-somme des affixes des extré- mités.

t (–z) est l’affixe du symétrique de M(z ) dans la symétrie centrale de centre O.

Les coordonnées du point image de z étant formées par la partie réelle et la par- tie imaginaire de z, on obtient les caractérisations suivantes.

Propriété 4

t Caractérisation d’un nombre réel : z∈ ⇔ ^{M( ) (}z ∈^Ox).

t Caractérisation d’un imaginaire pur : z est imaginaire pur⇔M( ) (z ∈Oy)

L’axe des abscisses est aussi appelé l’axe des réels et l’axe des ordonnées, l’axe des imaginaires purs.

O u

v

axe des imaginaires purs

axe des réels

4. Nombre conjugué d’un nombre complexe

Le conjugué d’un nombre complexe z= +a i (b a et b réels) est le nombre complexe noté z défini par :

z= −a i . (z se lit « b z barre »).

Définition 3

On a déjà utilisé ce nombre dans les calculs faits pour trouver la forme algébrique d’un inverse ou d’un quotient.

t Si z= +2 3 i, on a z= −2 3 i ; t si z= −4 5 i, on a z= +4 5 i ; t si z=i, on a z= −i ;

t si z=7, on a z=7.

On observe que z et z ont la même partie réelle et que leurs parties imaginaires sont opposées.

O u

M(z)

M’(z) v

Géométriquement, les points images d’un nombre complexe et de son conjugué sont donc symétriques par rapport à l’axe des abscisses.

Vocabulaire

Remarque

Exemple

Remarque

Propriété 5

Pour tous nombres complexes z et z_′ : a) z=z ;

b) pour tout réel ,λ λ = λ et, pour tout imaginaire pur ib, ib= −ib ; c) z z=a²+b², et donc z z est réel ;

d) z z+ =2a=2Re( ), Re( )z z z z

= +2 et z z− =2ib=2i Im( ), z Im( )z z zi

= −2  ; e)  z z_{+ ′ = + ′}z z  ;

f)  zz′ = × ′z z  ; cas particuliers : pour tout λ réel, λz=λz et donc − = −z z  ; g) pour tout z≠0, 1 1

z z

 

 = et ^{ ′}

 

 = ′ z

z z

z  ; h) pour tout entier n dans ,

( )

 Démonstration

Les égalités de a) à f) incluses se démontrent directement à partir de la définition 3. En particulier la relation c) :

z z = +(a ib a)( −ib)=a²−( )ib ²=a²−( )i^{2 2}b =a²+b². g) On peut utiliser le conjugué d’un produit car z

× =z1

1. Ainsi z

×z

 

 = = 1 1 1, d’où z

× z

 =

1 1 et donc 1 1

z z

 

 = . En écrivant que le quotient z′

z est égal au produit z_{′ ×}

z

1, on obtient ^{ ′}

 

 = ′ ×

 

 = ′ × = ′ z

z z

z z

z z

z

1 1

.

h) Montrons d’abord par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n, zⁿ z ⁿ

( )

Pour n=1, l’égalité est vraie puisqu’il s’agit du même nombre : z.

On suppose que la proposition est vraie pour un entier k strictement positif, z^k z ^k

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en appliquant d’abord la propriété f) sur le conjugué du produit de deux nombres complexes, puis en utilisant l’hypothèse de récurrence. L’égalité est donc vraie au rang n= +k 1. La proposition est donc héréditaire.

Initialisation : Hérédité :