E103 - Séquence n°3
La décomposition des termes a(n) de la séquence donne les résultats suivants : a(1) = 5 040 = 24*32*5*7
a(2) = 11 340 = 22*34*5*7 a(3) = 23 520 = 25*3*5*72
a(4) = 47 250 = 2*33*53*7 = 2*32*52*7*15 a(5) = 93 744 = 24*33*7*31
a(6) = 185 220 = 22*33*5*73= 22*3*5*72*63 a(7) = 365 760 = 26*32*5*127
a(8) = 722 925 = 35*52*7*17 = 34*5*7*255 a(9) = 1 430 800 = 24*52*72*73 = 24*52*7*511
On constate que les termes a(n) contiennent respectivement les facteurs
1,3,7,15,31,63,127,255 et 511 c’est à dire 2n 1. En divisant a(n) par 2n 1 on obtient la nouvelle séquence de terme général b(n) : 5040, 3780, 3360, 3150, 3034, 2940, 2880, 2835, 2800.
L’analyse de la différence des termes b(n) ne donne rien mais les ratios b(n)/b(n-1) font apparaître une séquence facile à décrypter :3/4, 8/9, 15/16, 24/25, 35/36, 48/49, 63/64 et 80/81.
On en déduit : b(n) / b(n-1) = n2 1/ n 2 b(n) = (n+1)*b(1)/(2*n) = 2 520*(n+1)/n a(n) = 2 520*(2n 1 )*(n+1)/n
Il en résulte :
1) B = a(0) = lim [2520*(2x 1 )*(x+1)/x] pour x0. D’où B = 2 520*Log(2) qui est la valeur « surprenante » car ce n’est pas une valeur entière contrairement aux autres.
2) A = a(-1) = 0
3) C = a(10) = 2520*1023*11/10 = 2 835 756
A noter que pour a 11, les termes a(n) sont pour la plupart des nombres rationnels non entiers.
