Ecole Polytechnique-option MP ´

(1)

ENS option MP

Planche 1Ulm - Lyon - Cachan - Rennes

On dit qu’un sous-groupeGdeRⁿest non discret s’il existe une boule deRⁿ contenant une infinité d’éléments deG.

Montrer que∀ε >0, G∩B(0, ε) est infini.

Pourε >0 donn´e, on noteVεle sous-espace engendr´e parG∩B(0, ε).

Montrer que∃α >0, Vα=\

ε>0

Vε. Montrer queG∩Vαest dense dansVα. Planche 2Ulm - Lyon - Cachan - Rennes

I)Une variableXdiscrète sur un espace probabilité (Ω, A, P) est à valeurs dans E. Montrer qu’il existe un espace (Ω⁰, A⁰, P⁰) etX⁰définie sur (Ω⁰, A⁰, P⁰) à valeur dansE, injective et de même loi queX.

II)On munitC⁰([0,1],R) dekfk₁= Z 1

0

|f|.

Pourffix´ee dansE, on d´efinitφdeRd[X] dansRparφ(P) =kf−Pk₁. Montrer queφadmet un minimum.

SoitA∈ Mn(R), diagonalisable, `a valeurs propres n´egatives.

Montrer queb, qui `a (x, y)∈Rⁿ×Rⁿassocie Z +∞

0

<e^sAx|e^sAy >dsest bien d´efini puis que c’est un produit scalaire.

Soitfde classeC¹deRⁿdansRⁿ, telle quef(0) = 0 et df(0) =A; montrer que (∃α >0 etydeR+dansRⁿavecy⁰=f◦y,ky(0)k6α)⇒ ∃β >0,ky(t)k6e^−βt. Planche 4Ulm - Lyon - Cachan - Rennes

On dit qu’un pointad’une partie convexeCdeE, espace vectoriel norm´e, est extr´emal siC\{a}reste convexe.

On choisit pourEl’ensemble des fonctions continues de [0,1] dansR; trouver les points extrémaux des boules unité fermées, pourk k₂etk k_∞.

Soientpetqdeux réels strictement supérieurs à 1 vérifiant 1 p+1

q= 1.

On admet que∀x∈Rⁿ,kxk_q= sup

kyk_p61

hx, yi.

Soituune isom´etrie pourk k_p, de matriceAdans la base canonique ; que peut-on dire de^tA?

On choisitp6= 2 ; montrer que l’ensemble des isom´etries pourk k_p est fini et calculer son cardinal.

Planche 6Ulm - Lyon - Cachan - Rennes, abordable dès la 1^`êreannée PourfdeCdansCetr>0 on poseMr= sup

|z|=r

|f(z)|.

On d´efinit l’ordre def:δ(f) = inf{a>0,∃r0>0,∀r>r0, Mr6e^r^a}.

Que vautδsifest un polynˆome ? Sif= sin ? Planche 7Ulm - Lyon - Cachan - Rennes

On noteEl’espace des fonctions continues et 2π-p´eriodiques surR.

On donne une suite (Tn) d’endomorphismes deEv´erifiant :

• ∀n∈N,∀f>0, Tn(f)>0.

•Tn(1) converge uniformément vers 1,Tn(cos) converge uniformément vers cos etTn(sin) converge uniformément vers sin .

Pourf ∈E, montrer que Ωf qui, `aη∈R^∗+associe sup

|x−y|6η

|f(x)−f(y)|est d´efinie et tend vers 0 quandηtend vers 0⁺.

On fixeη∈]0, π[,y∈Ret on notegy(x) = 1−cos(x−y).

Montrer que

Tn f−f(y).1 ₆Ωf(η)Tn(1) + 2kfk_∞ Tn(gy) 1−cosη· Montrer que∀f∈E,Tn(f) converge uniform´ement versf.

SoientEun ensemble de cardinalN62^pavecp∈N^∗, (A_i)_16i6pune partition deEet (φi)_16i6ppbijections deEdansE. On ´etudie les trois propositions : (i) lesφisont involutives et commutent deux `a deux ;

(ii) Toute composition quelconque deφ_idistinctes, n’admet aucun point fixe ; (iii)∀i∈[[1, p]],

p

[

k=1

φ_k(Ai) =E.

Montrer que (iii) impliquep|N.

Montrer que (i)+(iii) impliqueN= 2^p.

Montrer queN = 2^p et p = 2â, a ∈ N implique (i)+(ii)+(iii) (on pourra s’intéresser à une application de (Z/2Z)^pdans (Z/2Z)â).

Planche 9Ulm

Soit (µi>0)_i∈_N∈R^Nune mesure de probabilit´e. On note :

`^∞={(xi)_i∈_N∈R^N,sup

i∈N

|xi|<+∞}

`¹(µ) ={(xi)_i∈_N∈R^N,X

i∈N

µi|xi|<+∞}; kxk_∞= sup

i∈N

|xi|;kxk₁=X

i∈N µi|xi|.

On veut montrer par l’absurde qu’un sous espace vectorielFde`¹(µ), ferm´e pour k k₁, et inclus dans`^∞, est de dimension finie.

Discuter des inclusions des deux espaces`^∞et`¹(µ).

Que peut-on dire des normesk k_∞etk k₁sur l’espace`^∞∩`¹(µ) ? Montrer que∀k∈N,∃x^k∈F, x^k6= 0 tel quex^k₁=. . .=x^k_k= 0.

A l’aide des suites (x` ^k) trouver une contradiction et conclure.

Planche 10Ulm, II abordable dès la 1êre^` année

I)SoitGun groupe additif ferm´e deR²; montrer qu’il existeA∈GL2(R) telle queA(G)∈ {{0},Z,R,Z×R,R²,Z²}.

II)Existe-t-ilfdeR^∗₊dansRtelle que, au voisinage de +∞:

∀α >0, f(x) =o(x^α) et∀β >0,ln(x)^β=o f(x)

? Si oui, trouver un exemple.

Planche 11Ulm, abordable dès la 1êre^` année Soitαn= inf

(ε1,...,εn)∈{−1,1}n

sup

θ∈[0,2π]

n

X

k=1

ε_ke^ikθ

. Montrer que∀n∈N, αn>√

n.

Trouver un majorant deαn(plus fin quen...) Planche 12Ulm

Soient (α, β)∈R²et∀n∈N, In= Z n+α√

n+β 0

e^−xxⁿdx.

Montrer que∃(A, B)∈R², In=n^n+1/2e⁻ⁿ A+ B

√n+o( 1

√n) . Planche 13Lyon

SoitM∈ Mn(Z) telle que∀λ∈S_p(M),|λ|61.

Montrer que toutes les valeurs propres deMsont racines de l’unit´e.

Planche 14Lyon, abordable dès la 1^`êreannée Soientf∈Cn[X] etSn={z∈C, zⁿ+ 1 = 0}.

Montrer que∀x∈C, xf⁰(x) =n

2f(x) + X

z∈S_n

2z f(xz) (1−z)²· Planche 15Lyon

On noteEl’espace des fonctions continues de [0,1] dansR, muni dek k_∞etK la partie deEdes fonctions 1-lipschitziennes s’annulant en 0.

Majorer et minorer le plus finement possible le nombre minimalN(δ) de boules de rayonδn´ecessaires pour recouvrirK.

Planche 16Lyon, abordable dès la 1^`êreannée Montrer quef, vérifiant∀x∈R, lim

h→+∞ f(x+h) +f(x−h)−2f(x)

= 0 et continue deRdansRest affine.

Planche 17Cachan - Rennes

SoitA ∈ Mn(R) ; montrer que, pour toute solution X de (L) : X⁰ = AX, l’ensemble{X(t), t∈R}est un sous-espace affine de direction Im(A).

On suppose d´esormaisn= 3.

Montrer que si A est antisymétrique, toute solutionX de (L) est de norme constante. Que dire de la réciproque ? Qu’a-t-on montré ?

Décrire géométriquement, en fonction du rang deA, les solutionsXde (L).

Planche 18Cachan - Rennes Domaine de d´efinition def(t) =

Z+∞

−∞

cos(xt) 1 +x²dx.

Calculerf(0), montrer quefest continue et quef⁰⁰=fpourt6= 0.

Calculerf.

On munitRⁿde son produit scalaire usuel et on donneS∈S⁺_n(R),X₀=R∈Rⁿ etQ∈Sn⁺⁺(R).

PourX∈Rⁿ, on poseF(X) =1

2(AX|X)−(R|X) ethX, Yi= (QX|Y).

Montrer queh, id´efinit un produit scalaire.

Montrer que KerSet Im(Q⁻¹S) sont suppl´ementaires orthogonaux.

Soientγ >0,U0∈Rⁿet la suite d´efinie parU_k+1=U_k−γQ⁻¹∇F(Uk).

Montrer que la composante deUksur KerSne d´epend pas dek, not´eeUKerS

dans la suite.

Dire pourquoi f, d´efini sur Im(Q⁻¹S) parf(X) =Q⁻¹SX, est un automor- phisme.

On noteλm= maxSpfet l’on suppose 0< γ < 2 λm

etU_k=U_k⁰+UKerS. Montrer que (Uk)_k∈_Nconverge.

I)Cours : montrer que si une suite de fonctions deRdansR, continues en un pointa, converge uniform´ement versf, alorsfest continue ena.

II)SoientS∈ Mn(R) etR∈Rⁿ; on suppose que∃X0∈Rⁿ, R=SX0. On pose∀X∈Rⁿ, f(X) =1

2< SX, X >−< R, X >.

Donner la forme des solutions de l’´equationSX=R.

On supposeSsym´etrique et positive ; donner la diff´erentielle et le gradient def. Montrer que tous les points critiques defsont des minima.

Montrer queφ, d´efini surRparφ(λ) =f U−λ∇f(U)

, o`uUest fix´e dansRⁿ, admet un minimum.

Planche 21Informatique Ulm

On veut relier par des routes toutes droites, un ensemble fini de points dans le plan (des villes dans un pays plat). Cependant, pour des raisons budgétaires/écologiques, on ne veut pas construire toutes les routes. On obtient donc un graphe (pas nécessairement planaire).

Siaetbsont deux points du graphe etPa→bun chemin dea`ab, on noted(Pa→b) la somme des distances euclidiennes des points par lesquels passe le chemin.

On note alorsd(a, b) la plus petite distance dans le graphe pour aller dea`ab.

On noteρ(a, b) le rapport ded(a, b) sur la distance euclidienne entreaetb.

On d´efinitρcomme le plus grandρ(a, b) pouraetbpoints du graphes.

On propose une m´ethode pour essayer d’obtenir un graphe avecρfaible et un nombre raisonnable d’arˆetes. On fixeθun angle etk>3 un entier.

Pouraun point du graphe, on d´ecoupe le plan enkparties radiales de mˆeme angle2π

k, le tout incliné deθ. Pour chaque partie possédant un point, on relie à ale point dont la projection sur la bissectrice est la plus proche du point central.

Cette définition est ambiguë si plusieurs points ont la même projection sur une bissectrice ; montrer que l’on peut choisirθtel qu’il n’y ait plus ambigu¨ıté.

On choisitθ= 0 et on admet qu’il n’y a pas d’ambiguit´e (par exemple par rotation de la figure). Montrer que, pourk>7, le graphe est connexe.

On se place maintenant dans le cask= 6 et on n’ajoute l’arˆete que dans une partie sur deux `a chaque fois.

Montrer que le graphe ainsi formé est planaire pour le plongement considéré.

L’officiel de la taupe num´ero Page c MMXVII ´Editions Officiel de la Taupe Gyroscope

(2)

Planche 22Informatique Ulm

Tous les graphes considérés seront non-orientés. SoitG= (V, E) un graphe.

On appelle couplage de ce graphe un ensembleM⊂Etel que les sommets des arêtes deMsont deux à deux distincts. Un sommet qui n’est extrémité d’aucune arête deM est dit exposé. Une partieAdeV est dite saturée parM si aucun sommet deAn’est exposé. Un couplage est dit parfait siV est saturé parM. Un chemin est dit alterné si chacune de ses arêtes est alternativement dansM puis dansE\M. Un tel chemin est dit améliorant s’il relie deux sommets exposés.

Montrer qu’il existe un chemin am´eliorant pour le couplageMsi et seulement si ce couplage n’est pas de cardinal maximum.

SoitG= (A∪B, V) un graphe biparti. Montrer qu’il existe un couplage saturant Asi et seulement si∀X⊂A, le voisinageN(X) deXv´erifie|N(X)|>|X|.

Montrer qu’un graphe bipartik-régulier (chaque sommet a pour degrék) possède un couplage parfait.

Quelle structure de données et quel algorithme utiliser pour déterminer si un sous-ensemble deV est une clique deG? Que dire de la complexité ?

Donner un algorithme permettant de savoir siGadmet une clique de taillek, 0< k < n(probl`eme A). Quelle en est la complexit´e ?

On appelle couverture deG, une partieXdeV dont toutes les arêtes ont au moins une extrémité dansX. Quelle structure de données et quel algorithme utiliser pour déterminer si un sous-ensembleXdeV est une couverture deG? Que dire quant à la complexité ? Donner un algorithme permettant de savoir si Gadmet une couverture de taillek,0< k < n(problème B).

Montrer que les probl`emes A et B sont ´equivalents.

Planche 23Informatique, Lyon - Cachan - Rennes

Une ar`ene est un tuple (V, vi, F,A,E, W) qui oppose deux joueurs, Adam et `Eve.

V est un ensemble fini de sommets ;vi ∈V est le sommet initial ;F ⊂V est l’ensemble des ´etats finals.AetEsont des ensembles finis, l’ensemble des actions d’Adam et celui d’ `Eve.W:V× A × E →V est une fonction de transition.

Une partie est une suite (vn, an, en)_n∈_N deV × A × E telle quev0 = vi et

∀n∈N, vn+1=W(vn, an, en) ; elle est dite gagnée pour Ève si elle contient une infinité d’éléments deF.

Une stratégie pour Ève est une applicationse deV^∗dansE; elle est dite sans mémoire si∀u∈V^∗,∀v∈V, se(uv) =se(v). On se permet alors de la considérer comme une application deV dansE. Une stratégie est gagnante pour Ève si la partie est gagnée quelque soit la stratégie de l’adversaire.

Un jeu est dit trivial si toutes les strat´egies pour `Eve sont gagnantes.

On ne consid´erera par la suite que des jeux non triviaux.

Donner un exemple d’arène où il existe une stratégie gagnante pour Ève.

Donner un exemple d’arène où aucune stratégie d’ Ève n’est gagnante.

Une stratégie aléatoire est une variable aléatoireXqui va de Ω dans l’ensemble des stratégies. Elle est dite gagnante siXest gagnante avec une probabilité de 1.

On admettra qu’une suite d’évènements indépendants, identiquement distribués, de probabilité non nulle, se réalise une infinité de fois.

Donner un exemple d’arène où il existe une stratégie gagnante sans mémoire pour Eve sans qu’il existe de strat´` egie gagnante non aléatoire.

Adam et Ève jouent désormais à des jeux de parité. Les sommets deV sont alors numérotés par des entiers. Une partie est gagnante pour Éve si le plus petit sommet ayant été visité une infinité de fois est pair.

On admettra le lemme de Borel-Cantelli : si une suite d’évènements (An)_n∈_Nest de probabilités sommables, la probabilité qu’une infinité d’entre eux se réalisent simultanément est nulle. Donner un exemple de jeu de parité où il existe une stratégie aléatoire gagnante sans qu’il existe de stratégie aléatoire sans mémoire gagnante. Démontrer le lemme de Borel-Cantelli.

Planche 24Informatique, Lyon - Cachan

On noteG= (V, E) tout graphe fini, connexe, non orient´e et on dit quef est une translation deV dansV si elle est bijective et v´erifie∀v∈V, v, f(v)

∈E,

∀(v, v⁰)∈V², f(v), f(v⁰)

∈E.

D´ecrire les translations pour un graphe anneau (notations avec des congruences).

Mˆeme question pour une grille cyclique.

Existe-t-il toujours une translation ?

On dit qu’une translationf deV dansV∪ {⊥}, où⊥∈/V, est approximative si c’est une translation deV dansV, pas forcément bijective mais injective sur V0=f⁻¹(V) ; on appelle alors approximation defle cardinal deV−V0. On dit qu’une grille de largeurlet de hauteurhest acyclique si elle ne contient aucun cycle. Trouver des translations approximatives sur les grilles acycliques pourl=h= 2,l=h= 3,l=h= 4, d’approximation strictement inférieure àl.

Trouver une translation approximative d’approximation au plus égale àlsur la grille acyclique pourl=h= 5, où tous les sommets ne vont pas dans la^hhmême directionⁱⁱ.

On suppose quel>2h+2 ; montrer qu’il n’existe pas de translation approximative sur cette grille, telle que l’approximation est plus petite queh−1.

Planche 25Informatique Lyon - Cachan - Rennes

Soient Σ un alphabet fini et Σ^ωl’ensemble des mots de longueur infinie sur Σ.

M= (Q, i, F, δ) un automate fini d´eterministe est appel´e un moniteur si :

•{vrai,faux} ⊂Q

•∀q∈Q,∃u∈Σ^∗, δ(q, u)∈ {vrai,faux}

•∀a∈Σ, δ(vrai, a) = vrai∧δ(faux, a) = faux

Un languageL ⊂ Σ^ω est dit monitorable si il existeMun moniteur tel que

∀u∈Σ^∗, δ(i, u) = vrai⇒uΣ^ω⊂Letδ(i, u) = faux⇒uΣ^ω∩L=∅.

Notons queFn’intervient pas.

Qu’est ce qu’un moniteur pour un language ?

On choisit Σ ={a, b, c}; dire lesquels de ces trois languages sont monitorables et donner un moniteur dans ce cas :

(i)L₁={w∈Σ^ω, wcontient une infinit´e dea}

(ii)L2={w∈Σ^ω, wcontient au moins unb}

(iii)L3=L2∪ {w∈Σ^ωwne contient pas dea}

On suppose∃u∈Σ^∗, ,Σ^∗uΣ^ω⊂L; montrer queLest monitorable et donner un automates avec un petit nombre d’´etat.

On admet que siLest un language monitorable etMun moniteur avecnétats, alors :∃u∈Σ^∗,|u|6(n−1)²∧ ∀v∈Σ^∗,(vuΣ^ω⊂L)∨(vuΣ^ω∩L=∅) Au vu de ce théorème, donner une nouvelle définition de moniteur puis démontrer le théorème.

ENS option PC

Soitfcontinue deRdansRet telle que∀x∈R,|f(x)|6λe^−αxavec (α, λ)∈R^∗₊. L’´equationu⁰⁰+u=fadmet-elle des solutions telles que lim

x→+∞u(x) = 0 ? Planche 27Ulm - Lyon - Cachan - Rennes

Soitfdiff´erentiable deR²dansRetu(x) =f(x,−x).

Calculeru⁰en fonction defet de ses d´eriv´ees.

On supposefde classeC¹; montrer que, pourk∈R:

∀t >0,∀x∈R²\{(0,0)}, u(tx) =t^ku(x)⇔x1

∂f

∂x1

(x) +x2

∂f

∂x2

(x) =ku(x).

TrouveruetvdeR³dansR, non colin´eaires, solutions de : (x3−x2) ∂f

∂x1

+ (x2−x1) ∂f

∂x3

+ (x1−x3) ∂f

∂x2

= 0.

Trouver toutes les solutions de cette ´equation.

Une variable aléatoireXà valeur dansZvérifie∃k∈Z, P(X=k)P(X=k+1)6= 0.

Si (Xn) est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes et de même loi queX, trouver, pourpentier au moins égal 2, la limite de la probabilité quepdivise

n

X

k=1

X_kquandntend vers l’infini.

Planche 29

Soituun projecteur d’un espace vectorielEde dimension finie.

Existe-t-il une normeNtelle que∀x∈E, N u(x) 6N(x) ? Mˆeme question pour une norme euclidienne.

Soientuetvdeux projecteurs qui commutent.

Existe-t-il une normeNtelle que∀x∈E, N u(x)

6N(x) etN v(x) 6N(x) ? Mˆeme question siuetvsont quelconques.

Planche 30Ulm - Lyon, II abordable dès la 1êre^` année

I)Montrer que si (Pn) est une suite de polynôme convergent uniformément vers f, alorsfest dérivable.

II)Soitfcontinue de [0,1] dansR; montrer que :

∀ε >0,∃C >0,∀(x, y)∈[0,1]²,|f(x)−f(y)|6ε+C(x−y)². Planche 31Ulm - Lyon, abordable dès la 1êre^` année Soitflipschitzienne de [0,1] dansR; montrer que :

∀ε >0,∃C,∀(x, y)∈[0,1]²,|f(x)−f(y)|6ε+C(x−y)².

Soit (Xn) une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi, vérifiant P(Xn= 0) =xetP(Xn= 1) = 1−x. On noteSn=

n

X

k=0

Xkpourn>1.

Montrer que∀ε >0,∃D,∀x∈[0,1],∀n>1, ^f(x)⁻^f

S_n n

⁶^ε⁺

D n·

Planche 32Ulm - Lyon, abordable dès la 1êre^` année

On noteEl’ensemble des fonctionsude classeC²de [0,1] dansR, telles que u(0) = 0 etu(1) = 1.

Pouru∈E,J(u) = Z 1

0

u⁰(x)²+u(x)²

dxadmet-elle une borne inf´erieure ? Un minimum ? En combien de points ?

Planche 33Lyon

Soientuetvcontinues par morceaux de [0,2π] dansR,v´etant 2π-p´eriodique.

Calculer lim

n→+∞

Z 2π 0

u(x)v(nx)dx.

Ecole Polytechnique-ENS Cachan-option PSI ´

Planche 34

Soitfde classeC²deR²dansR, vérifiant∀(x, y)∈R²,∀t∈R, f(tx, ty) =t^kf(x, y) oùkest un entier au moins égal à 1 et∀(x, y)∈R²,∂²f

∂x²(x, y) +∂²f

∂y²(x, y) = 0.

Montrer que∀(x, y)∈R², x∂f

∂x(x, y) +y∂f

∂y(x, y) =kf(x, y) puis montrer que

∀(x, y)∈R², x²∂²f

∂x²(x, y) + 2xy ∂²f

∂x∂y(x, y) +y²∂²f

∂y²(x, y) =k(k−1)f(x, y).

On poseh(θ) =f(cosθ,sinθ) ; montrer queh⁰⁰+k²h= 0 et en d´eduire quefest une fonction polynomiale enxety.

Trouver toutes les fonctionsfdans le cas o`uk∈R\Netk>1.

Planche 35Abordable dès la 1êre^` année

On donne une matrice diagonale de coefficients diagonaux r´eelsd1, . . . , dn. Etudier l’image de´ φ(X) =DX−XDd´efini surMn(R).

Soient trois r´eelsu, v, w; montrer qu’il existe un r´eelxtel que : ucos²x+vsin²x+wsinxcosx=u+v

2 · Montrer que∀(x, y, z)∈R³,

^z⁻

x+y 2

6max{|z−x|,|z−y|}avec ´egalit´e si et seulement siy=x.

On suppose que (1) :∀M∈ Mn(R),∃P∈On(R), P AP⁻¹a tous ses coefficients diagonaux ´egaux .

Montrer que trA= 0 si et seulement si∃(X, Y)∈ Mn(R)², A=XY−Y X.

Montrer la propri´et´e (1) dans le casn= 2.

On noteδ l’application d´efinie surMn(R) parδ(M) = max

16i,j6n|mii−mjj|; montrer que siP∈On(R),δ(P AP⁻¹) admet un minimum.

Montrer que siδ(A)>0,∃P∈On(R), δ(P AP⁻¹)< δ(A) (on pourra faire une r´ecurrence surn) et conclure.

L’officiel de la taupe num´ero Page c MMXVII ´Editions Officiel de la Taupe Gyroscope

(3)

Planche 36

I)Soient deux réelsa < betn∈N^∗; on noteX1, . . . , Xndes variables aléatoires réelles, mutuellement indépendantes et prenant leurs valeurs dans [a, b]. SiSest leur somme, on veut montrer que∀t >0, P S−E(S)>t

6e^−2t²^/n(b−a)². Montrer que siφest continue de [c, d] dansR, nulle encetd, de classeC²sur ]c, d[, de dérivée seconde strictement positive, alorsφest négative ou nulle.

Soits >0 ; montrer, à l’aide du résultat précédent, que :

∀y∈[c, d],e^sy6c−y

c−de^sd+y−d c−de^sc.

Soit une variable al´eatoireY d’esp´erance nulle et prenant ses valeurs dans [c, d].

Montrer que ln E(e^sY)

6ln c

c−de^sd+ −d c−de^sc

puis queE(e^sY)6e^s²^(d−c)²^/8 (on admettra que ln c

−de^sd+y−d c−de^sc

6s²(d−c)²

8 ).

Montrer queP S−E(S)>t 6e^−st

n

Y

i=1

E(e^s(Xⁱ^−E(Xⁱ⁾⁾).

En choisissant bien lesY, montrer queP S−E(S)>t

6e^−st+ns²^(b−a)²^/8. D´eterminer le minimum du majorant ci-dessus et conclure.

II)Trouver une CNS surA∈ Mn(K) pour queB= _A ₀

0 A

soit diagonalisable.

III)Existe-t-ilB∈ M3(R) telle queB²=

−1 x y

0 −1 z

0 0 1

!

? Planche 37

D´emontrer la formule de Taylor avec reste int´egral : f(x) =

n

X

k=0

f^(k)(a)

k! (x−a)^k+ 1 n!

Z x a

f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)(x−t)ⁿdt.

En déduire l’inégalité de Taylor-Lagrange :

f(x)−

n

X

k=0

f^(k)(a) k! (x−a)^k

6 1

(n+ 1)!

f⁽ⁿ⁺¹⁾

∞|x−a|ⁿ⁺¹.

Montrer que sifest de classeC², born´ee ainsi quef⁰⁰, alorsf⁰est aussi born´ee.

Montrer que∀x∈R,∀h∈R^∗,|f⁰(x)|61

hkfk_∞+h 2kf⁰⁰k_∞. Montrer quekf⁰k_∞6p

2kfk_∞kf⁰⁰k_∞. Planche 38Abordable dès la 1êre^` année

SoitQ(X) =b₀+b₁X+. . .+bnXⁿ∈C[X]. On noteζ_iles racinesp-i`emes de l’unit´e etM= max

z∈S₁Q(z) oùS1est la sphère unité deC.

D´emontrer queQ(ζ1) +. . .+Q(ζp) =pb0et en d´eduire que|b0|6M. Montrer que∀i∈ {1, . . . , n},|bi|6M.

Soit (z_i)_i∈[1,n]∈Cⁿ; montrer que∃z∈S1,

n

Y

k=1

|z−z_k|>1.

Interpréter géométriquement cette propriété dans le planR².

Redémontrer le résultat de la deuxième question par une méthode^hhcontinueⁱⁱ. Planche 39

Des variables aléatoires indépendantesUisuivent une loi de Bernoulli de même paramètrep∈]0,1[.Zest une variable aléatoire à valeur dansNsuivant une loi quelconque. On poseX=

Z

X

i=1

UietY =Z−X=

Z

X

i=1

(1−Ui).

Montrer que ∀(k, l) ∈ N², P(X = k, Y = l) = ^k+l_k

p^k(1−p)^lr_k+l o`u r_i=P(Z=i).

Exprimerp_k=P(X=k) etq_k=P(Y=k) `a l’aide depet de la suite (rn).

Montrer que siZsuit une loi de Poisson,XetY sont ind´ependantes.

On supposeXetY ind´ependantes etZnon presque sˆurement nulle ; montrer que rn= X

k+l=n

p_kq_lpuis quep₀, p₁, q₀, q₁sont strictement positifs.

Montrer quepk+1ql(k+ 1)(1−p) =pkql+1(l+ 1)pet en déduire une relation de récurrence vérifiée par (qn). En déduireqnen fonction dep0, p1etp.

Montrer queZsuit une loi de Poisson.

Planche 40

I)Montrer queφ d´efini sur R[X] par φ(P)(X) = P(−X) est une sym´etrie orthogonale pour le produit scalaire< P, Q >=

Z 1

−1

P(t)Q(t)dt.

II)SoientEun espace de dimension fini,fetgdeux endomorphismes deEde matricesAetBdans la baseBdeE.

Montrer queABetBAont même polynôme caractéristique.

Siλest une valeur propre deAB, on noteEλle sous-espace propre associé etFλle sous-espace propre associé à la valeur propreλdeBA; montrer queg(Eλ)⊂Fλ

et quef(F_λ)⊂E_λ. En d´eduire queE_λetF_λont mˆeme dimension.

Montrer que sif◦gest diagonalisableg◦fl’est aussi.

Trouver deux matricesXetY telles queXY soit diagonalisable mais pasY X.

III)Calculer Z1

0

xⁿlnxdxet montrer que Z1

0

lnxln(1−x)dx=X

n>1

1 n(n+ 1)²· Planche 41Abordable dès la 1êre^` année

Montrer que le commutantC(A) deA∈ Mn(C), est une sous-alg`ebre.

Montrer que siMinversible est dansC(A), son inverse aussi.

Trouver le commutant deDdiagonale dont les coefficients diagonaux sont tous distincts et montrer que (In, D, D², . . . , Dⁿ⁻¹) est une base deC(D).

Quelles sont les matrices deM2(R) qui ont un commutant de dimension 4 ? Montrer que siA∈ M2(R), dimC(A)>2.

On suppose que dimC(A) = 3 ; montrer que A = λI₂ (on pourra utiliser V ect(E11, E12) etV ect(E21, E22)).

Donner une base deC(A) pourA∈ M2(R).

Ecole Polytechnique-option MP ´

Planche 42

Soitλ0, . . . , λn,µ1, . . . , µndes r´eels, etPd´efini surRpar :

P(θ) =λ0+λ1cos(θ) +. . .+λncos(nθ) +µ1sin(θ) +. . .+µnsin(nθ).

Montrer que, si∀θ∈R,06P(θ), alors∃Q∈C[X] tel queP(θ) =|Q(e^iθ)|². Planche 43

I)On noteE=C⁰([0,1]) etNϕl’application définie surEparNϕ(f) =kϕfk_∞ oùϕest donnée dansE.

A quelle condition, n´` ecessaire et suffisante,Nϕest-elle une norme surE? A quelle condition, n´` ecessaire et suffisante,Nϕetk k_∞sont-elles ´equivalentes ? II)SoitA∈ Mn(C).

Calculer exp(A) quandA³=A²puis quandA⁴+A³−2A²= 0.

Planche 44

I)SoientKun voisinage compact de 0 dansRⁿetLl’ensemble des endomorphismes deRⁿqui laissentKstable ; montrer queLest compact.

Montrer que∀u∈L,|detu|61.

II)SoientKun compact convexe non vide deRⁿetuun endomorphisme deRⁿ qui stabiliseK; on veut montrer queuadmet un point fixe.

On poseun= 1

n(id+u+. . .+uⁿ⁻¹) etKn=un(K) ; montrer queKnest un compact convexe, que (K_n!) est une suite d´ecroissante et conclure.

Montrer qu’un groupeGnon commutatif de cardinal 8 est engendr´e par deux

´

el´ements dont l’un au moins est d’ordre 4.

On suppose que ces deux ´el´ementsxetysont d’ordre 4 ; trouver la table deG.

Montrer qu’il existe un unique morphisme p de G dans GL2(C) tel que p(x) =

_i ₀ 0 −i

etp(y) =

₀ ₋₁

1 0

. Planche 46II abordable dès la 1êre^` année I)Déterminer la limite, lorsquextend vers +∞, de

Z+∞

−√ x

exp t(ln(1+√t t)−√t

t) dt.

En d´eduire un ´equivalent de Γ(x+ 1) lorsquextend vers +∞.

II)DansR², on considère le cercle Γ0d’équation Φ0(X, Y) =X²+Y²−R²= 0, avecR >0 et le polynôme Φ(X, Y) =X²+Y²+aX+bY+c.

Quelle condition cdoit-il satisfaire pour que Φ(X, Y) = 0 soit l’équation d’un cercle coupant Γ₀ en deux points diamétralement opposés (on pourra poser

`= Φ−Φ0) ? ´Etudier la r´eciproque.

SoitPun point du plan ; montrer que, sauf cas particulier à préciser, les cercles ayant une équation de la forme obtenue et passant parPpassent aussi par un second point du plan.

Planche 47I abordable dès la 1^`êreannée

I)On consid`ere la suite de Fibonacci (un), avec (u0, u1) = (0,1).

Pour des entiersm>1,n>0, d´eterminer le PGCD deu_mnet deu_m(n+1). II)SoitEun espace vectoriel euclidien de dimension 3 et des endomorphismes sym´etriquesuetvde rang 2.

Montrer que, s’il existe un planFtel quex∈F⇒(u(x)|x) = (v(x)|x) = 0, alors det(αu+βv) = 0 pour tout couple de réels (α, β) ; établir la réciproque.

Planche 48Abordable dès la 1êre^` année On veut montrer que tann

n

ne tend pas vers 0 ; pour cela, on ´ecrit tout r´eel xsous la formex=a₀+ 1

a1+ 1

a2+ 1 a₃+. . .

et on posepn=anpn−1+pn−2,

p−2= 1,p−1= 0,qn=anqn−1+qn−2,q−2= 0,q−1= 1.

Comment construire la suite (an) ? Montrer que pn

qn=a₀+ 1

a1+ 1

a2+ 1

a₃+ . . . . . .+ 1

an

·

Montrer que∀m>0,pmqm−1−pm−1qm= (−1)^m−1et en d´eduire que pn

qn

converge.

Application : six=π

2, montrer que π 2−pn

qn

⁶

1 q²_n· Comment conclure ?

Planche 49

I)Une variable al´eatoireXv´erifieP(X= 0)6= 1 etX(Ω)⊂N.

Xest dite infiniment divisible si :

∀n∈N^∗,∃(Xⁿ₁, . . . X_nⁿ) tel que∀i∈[1, n], X_iⁿ(Ω)⊂NetPX=PXⁿ₁+...+X_nⁿ. Soient N suivant une loi de Poisson de paramètreλ, (Yn) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi et indépendantes avec N, telles que ∀n ∈ N, Yn(Ω) ⊂ N^∗; montrer queX définie parX = 0 si N = 0 et X=Y1+. . .+YN sinon, est infiniment divisible.

Soit X infiniment divisible ; montrer que P(X = 0) > 0 et en d´eduire

∃a >0,∀t∈[−a, a], φX(t)>0 oùφ_Xest la série génératrice associée àX.

II)Soient (Xn) une suite de variables aléatoires indépendantes valant 1 ou−1 avec la probabilité1

2·SoitSn=

n

X

i=1

Xi. Montrer queP

Sn

n ^>^R

62e^−nR²^/2. Planche 50

I)SoitSune partie compacte deRⁿ, de volumeV(S).

On supposeV(S)>1 ; montrer que∃(x, y)∈S², x6=yetx−y∈Zⁿ. On supposeSconvexe et sym´etrique par rapport `a 0,V(S)>2ⁿ. Montrer que∃z∈S\{0}, z∈Zⁿ.

Montrer que ce r´esultat reste vrai siV(S) = 2ⁿ.

II)Soituun endomorphisme deCⁿtel que (u−Id²)(u−2Id) = 0.

Trouver un polynˆomePtel queP(u) = e^u.

L’officiel de la taupe num´ero Page c MMXVII ´Editions Officiel de la Taupe Gyroscope

(4)

Planche 51II et III abordables dès la 1êre^` année

I)D´eterminer l’ensembleDdes isom´etries deR²pour lesquelles K={(0,1),(1,0),(0,−1),(−1,0)}est stable.

Montrer queDest un groupe non commutatif, engendré par deux de ses éléments RetS, vérifiantR⁴=S²=IdetRSR=S.

Construire un morphisme de groupesφdeDdans (M2(C),×), injectif et tel que φ(R) =

_i ₀ 0 −i

etφ(S) =

₀ ₁ 1 0

.

Existe-t-il une droite deC²stable par tous les endomorphismes deφ(D) ? II)Pourxdonn´e dansR, trouver lim

n→+∞

n

Y

k=1

cos x 2^k· Calculer lim

n→+∞

q1 2

r 1 2+1

2 q1

2 s

1 2+1

2 r

1 2+1

2 q1

2. . .(ntermes).

III)Montrer que (un) r´eelle v´erifie∀ε >0,∃n0∈N, m>n>n0⇒ |um−un|6ε si et seulement si elle converge.

Planche 52

Pourr∈R+, on noteB(r) ={z∈C,|z|< r}.

Sifest continue sur le compactB(r), on noteMr(f) = sup

z∈B(r)

|f(z)|.

Soitnfix´e etR > r >0 ; montrer que∃C∈R,∀P∈C[X], M_R(f)6CMr(f).

Soient R > r1 > r2 > r3 > 0 ; montrer que ∃C ∈ R et ν ∈ ]0,1[

tels que pour toute fonctionf développable en série entière surB(R) on ait Mr2(f)6CMr1(f)^νMr3(f)^1−ν(on pourra utiliser le calcul de

Z2π 0

f(te^iθ)e^−niθdθ pourt < R).

a,betcsont trois r´eels strictement positifs tels quec > a+b.

On posex0= 0 et pourn>1,xn=x(x+ 1). . .(x+n−1) avecx∈R.

Montrer queanbn

cnn! ∼Knâ+b−c−1oùKest une constante réelle.

Montrer que sif(a, b, c) =X

n>0

anbn

cnn!, (c−a−b)f(a, b, c) = (c−a)(c−b)f(a, b, c+1).

Planche 54

I)SoitM= (m_ij)∈ Mn(R) dont les colonnes sont deux `a deux orthogonales et telle que∃c∈R+,∀(i, j)∈[[1, n]]²,|mij|6c.

Montrer que|detM|6n^n/2cⁿpuis g´en´eraliser pourM∈GLn(R).

II)Soitude classeC²deRdansRtel quekuk_∞61 etu(0)²+u⁰(0)²= 4 ; montrer que∃x∈R, u(x) +u⁰⁰(x) = 0.

Planche 55II abordable dès la 1êre^` année

I)SoientUun ouvert deR²contenant (0,0),fetgdeux fonctions de classeC^∞ deUdansRtelles que∂yf(0,0)6= 0 et∀x∈U, f(x) = 0⇒g(x) = 0.

Montrer qu’il existe un ouvertU⁰deR²contenant (0,0) et une fonctionhde classeC^∞deU⁰dansRtelle queh= g

f surU⁰.

II)On notesl’application qui `a une matrice colonne associe son nombre de changement de signe, 0 ´etant exclu :s

1 0

−1

!

= 1 ;s

−1 2 1

!

= 1 ;s 1

−1 1

!

= 2.

SoitA∈ Mn(R) dont tous les mineurs sont strictement positifs.

Montrer que∀x∈Rⁿ, s(Ax)6s(x).

Planche 56I abordable dès la 1êre^` année

I)SiEest un espace vectoriel de dimension finie, montrer qu’une norme surE est euclidienne si et seulement si elle v´erifie :

∀(x, y)∈E²,kx+yk²+kx−yk²= 2(kxk²+kyk²).

II)Sid(k) est le nombre de diviseurs positifs dek∈N, donner un d´eveloppement asymptotique en +∞etO 1

√N de 1

N

X

k=1

d(k).

Planche 57

I)Montrer que siV1, . . . Vpsont des sous-espaces deRⁿdont l’union recouvreRⁿ,

∃i∈[[1, p]],Rⁿ=Vi(on pourra faire une r´ecurrence).

II)Montrer qu’il n’exsite pas de polynˆomeP`a coefficients entiers tel queP(e) = 0 (on pourra se pencher d’abord sur le cas degP= 1).

Montrer quee⁴est irrationnel.

Planche 58Abordable dès la 1êre^` année SoitfdeMn(C) dansC, non constante, telle que :

∀(A, B)∈ Mn(C)², f(AB) =f(A)f(B).

D´eterminer les matricesAtelles quef(A) = 0.

Montrer qu’il existe une unique fonctiongdeCdansCtelle quef=g◦det.

SiAetBréelles sont semblables dansMn(C), le sont-elles dansMn(R) ? Planche 59II abordable dès la 1êre^` année

I)SoientX1, . . . , Xnnvariables aléatoires indépendantes suivant une même loi de Poisson de paramètreλetSnleur somme. Pours∈R, calculerE(e^sSⁿ).

Soitε >0 ; montrer qu’il existeKetCstrictement positif et ne d´ependant que deλetε, tels queP Sn>n(λ+ε)

6Ke^−Cn.

Soitε >0 ; montrer qu’il existeKetCstrictement positif et ne d´ependant que deλetε, tels queP

Sn

n −λ >ε

6Ke^−Cn.

II)Que dire def,C¹deRdansRet v´erifiant∀(x, y)∈R², f(x+y)−f(x) =f⁰(x)y? Planche 60

On noteE={f∈ C²(R,R),sup

x∈R

(1 +|x|²)(|f(x)|+ f⁰(x)

) existe}et on pose A−t(f)(x) =f⁰(x) +txf(x),A^∗_tf(x) =−f⁰(x) +txf(x).

Montrer que Z

R

A^∗_tAtf(x)

f(x)dx>0 puis que Z

R

x²f(x)²dx Z

R

f⁰(x)²dx>1 4·

Ecole Polytechnique-ESPCI-option PC ´

I)On donnefd´erivable deRdansRet on note{x}=x− bxc.

Montrer que

n

X

k=1

f(k) = Z n

1

f(x)dx−1

2 f(n)−f(1) +

Zn 1

{x} −1 2

f⁰(x)dx.

II)Trouveru, endomorphisme d’unC-espace vectoriel de dimension finie, tel que u²6=uetu³=u².

I)Cardinal de l’ensemble des matricesBdeM3(C) v´erifiantB³=

0 0 −1 6 5 −1

8 7 3

!

II)Cinq personnes sont assises autour d’une table ; deux d’entre elles, voisines, d´etiennent chacune un ballon. `A chaque tour, chaque personne lance son ballon

`

a son voisin de gauche ou de droite avec la même probabilité1 2· Le jeu s’arrête quand l’un des convives re¸coit les deux ballons.

Déterminer le nombre moyen de tours nécessaires pour que le jeu s’arrête.

I)Trouver deux endomorphismes nilpotentsuetvtels que, pour tout endomor- phismew,u◦w+w◦v= 0.

II)Trouver le domaine de d´efinition def(z) =X

k>1

z k

n_k

o`u (n_k) est une suite d’entiers naturels strictement croissante.

Est-il le mˆeme sif(z) =X

k>1

a_k z k

nkavec (a_k) une suite born´ee ?

Réciproquement, toute fonction dont le développement en série entière est de rayon de convergence infini peut-elle s’écrire sous la formef(z) =X

k>1

a_k z k

nk?

Planche 64III et IV abordables dès la 1^`êreannée I)Trouver un équivalent en +∞de la suite (an) donnée par : a0= 1 ;a1= 2 ;∀n>1, an+1= 2an+an−1

n² ·

II)SiAetBsont deux matrices complexes de taillensemblables, leurs traces sont-elles toujours égales ? Montrer qu’elles ont même polynôme caractéristique.

III) D´eterminer l’image de l’application f qui, `a une matrice nilpotente de Mn(C), associe son rang.

IV)Soit une famille (xij)_16i,j6nde variables al´eatoires `a valeurs dans{−1,1}

et de probabilit´e 1

2·SoitM ∈ Mn(C) de coefficientmij etMxde coefficient xijmij. CalculerE(detMx).

I)On donneucontinue deR+dansR,vcontinue deR+ dansR+, telles que

∀x∈R+, u(x)6c+ Z x

0

u(t)v(t)dtoùcest un réel fixé.

Montrer queu(x)6cexp Zx

0

v(t)dt

.

II)Soient deux r´eelsa > b >0 etz∈Ctel que|z−a|=√ a²−b². Montrer que

b−z b+z ⁼

ra−b a+b·

III)SoientAetBmatrices complexes de taillen, telles que rgA>n−1 et B²=A; montrer que siAest diagonalisable,Bl’est aussi.

I)Montrer quen= 10101010. . .101 comportant 2016 fois le chiffre 0, n’est pas premier.

II) Soit f d´erivable de [0,1] dans R, non identiquement nulle et telle que

∃M > 0,∀x∈[0,1],|f⁰(x)| 6M|f(x)|. Montrer quef ne s’annule pas sur [0,1]. Si on remplace [0,1] parR, le r´esultat change-t-il ?

Comment modifier l’énoncé sifva deR²dansR? Planche 67II abordable dès la 1êre^` année I)On donnef(t) = 1

lnt; l’int´egrale defconverge-t-elle en 0⁺? En 1⁺? En 1⁻? Etudier la convergence de´

Z1−ε 0

fet de Z x

1+ε

fpourε >0.

II)Existe-t-il dansM2(R) une matricePtelle queP²=Pmais qui ne repr´esente pas un projecteur orthogonal ?

Planche 68

I)La durée de vie d’une ampoule est représentée par une variable aléatoire à valeurs entières vérifiantP(X=n) = 1

2ⁿ·

Si l’ampoule fonctionne toujours au bout denjours, quelle est la dur´ee moyenne pendant laquelle elle fonctionnera encore ?

II)SoientAetBdeux matrices symétriques réelles,Aétant définie positive.

Montrer qu’il existe une matrice sym´etrique inversibleCtelle queA=C². Montrer que le spectre deABest r´eel. Illustrer avec un exemple.

Planche 69ESPCI

I)SoitA∈ M3(R) telle que detA >0 et^tA=A⁻¹. Montrer qu’il existeXnon nul dansR³tel queAX=X.

II)Ensemble de d´efinition def(x) =− Z x

0

ln|2 sint|dt.

Etudier sa continuit´´ e, ses points particuliers et montrer qu’elle est 2π-p´eriodique.

Planche 70ESPCI, abordable dès la 1êre^` année

SoientEeuclidien de dimensionn,aetbdeux vecteurs deEdistincts mais de mˆeme norme.

Montrer qu’il existe une unique symétries, par rapport à un hyperplan, paral- lèlement à sa droite vectorielle orthogonale, telle ques(a) =b.

L’officiel de la taupe num´ero Page c MMXVII ´Editions Officiel de la Taupe Gyroscope

(5)

Concours Commun Mines-Ponts-option MP

I)Soitfun endomorphisme deR³tel qu’il existex∈R³v´erifiant x, f(x), f²(x) est une base deR³et tel qu’il existen∈Nv´erifiantfⁿ=Id.

Montrer que la matrice defdans x, f(x), f²(x)

est de la forme

0 0 a 1 0 b 0 1 c

! . Montrer queX³−cX²−bX−adiviseXⁿ−1 et en d´eduire l’existence du polynˆome minimal def. Est-il diagonalisable ?

Montrer quefest inversible et exprimer son inverse en fonction def,a,b,c,Id.

Montrer quefadmet une unique valeur propre r´eelleλ.

On suppose detf >0 ; calculerλ.

Siθest l’argument d’une valeur propre complexe, donnerbetcen fonction deθ.

Mˆeme question si detf <0 ; que dire den? II)Existence et calcul de

n

X

k=1

k−n j_k

n k

k(k+ 1) · Planche 72I abordable dès la 1êre^` année

I)On noteE=Rn[X] et on donnen+ 1 r´eelsa0, . . . , an. Montrer que (P, Q) =

n

X

k=0

P^(k)(a_k)Q^(k)(a_k) d´efinit un produit scalaire surE.

Montrer qu’il existe une unique baseB = (P0, . . . , Pn) orthonormale telle que

∀i∈[[1, n]], tous lesPi sont de degré échelonné et les coefficients desXⁱsont strictement positifs.

D´eterminer l’expression deP_i^(k)(a_k) pour toutk∈[[1, n]].

Que se passe-t-il sia0=. . .=an? II)Montrer quefetg, d´efinies par : f(x) =

Z+∞

0

e^−t²sin(2xt)dtetg(x) = e^x² Zx

0

e^−t²dtsontC¹surRpuis qu’elles sont ´egales. D´eterminer leurs limites en +∞et−∞.

Planche 73II et III abordables dès la 1êre^` année I)Convergence et valeur de

Z+∞

1

t−Arc sin1 t

dt.

II)SoientE etF deux espaces vectoriels de dimension finie,u∈ L(E, F) et v∈ L(F, E) v´erifiantu◦v◦u=uetv◦u◦v=v; montrer queE= Keru⊕Imv.

Soientu∈ L(E, F),E1tel queE= Keru⊕E1etF1tel queF= Imu⊕F1; montrer qu’il existe une unique application lin´eairevdeFdansE, de noyauF₁, d’imageE1, et telle queu◦v◦u=uetv◦u◦v=v.

III)Montrer que

n

X

k=0

_a k

_b n−k

= _a₊_b

n

,a,betnétant des entiers naturels vérifiant des hypothèses à préciser.

Planche 74

I)SoitEl’espace vectoriel des fonctions r´eelles continues sur [0,1] , muni de la norme uniforme.

Montrer queu, d´efinie surEparu(f) = Z1/2

0

f(t)dt−

Z 1 1/2

f(t)dt, est une forme

lin´eaire continue.

Montrer quekuk= 1 mais que cette valeur n’est pas atteinte.

II)Quelles sont les valeurs propres de la matriceJcarrée de taillendont tous les coefficients sont égaux à 1 ?

SoitMune matrice carr´ee sym´etrique de taillentelle que :

•sur chacune de ses lignes,dcoefficients sont ´egaux `a 1 et les autres sont nuls ;

•les coefficients diagonaux sont tous nuls ;

•pour touti6=j, simi,j= 1, alors il existe un uniquektel quemk,i=mk,j= 1 et simi,j= 0, alors il n’existe pas de telk.

Ecrire´ M J,J MetM²comme combinaisons lin´eaires deM,JetIn. Montrer Ker(M−dIn) = ImJet en d´eduire une relation entredetn.

Montrer que les valeurs propres deMsont racines du polynˆomeX²+X+ 1−d.

Planche 75I et II abordables dès la 1^`êreannée

I)Trouver les matrices deM3(R) commutant avec toutes celles deO₃(R).

II)Soient (A, B)∈ Mn(R)²telles queA²B=Aet rg(A) = rg(B).

Montrer queB²A=B(on pourra commencer par montrer que ImA= ImA²).

III)Soientqcontinue et int´egrable deR+dansR, etftelle quef” +qf= 0.

Montrer que sifest born´ee, alorsf⁰tend vers 0 en +∞.

Trouver les solutions de l’´equation diff´erentielle.

Planche 76

I)Trois matrices carrées, réelles, de taillen,A,B,CvérifientCA=BC avec Cde rangr. Montrer queAetB ont au moins r valeurs propres communes, comptées avec leur ordre de multiplicité.

II)Pourx∈[0,1], on posef0(x) = 0 etfn+1(x) =fn(x) +1

2 x−fn(x)² . Montrer que la suite (fn) converge uniform´ement versf(x) =√

x.

Planche 77II abordable dès la 1êre^` année I)SiA∈ M2(C), que dire dekAⁿk^1/n? CalculerX

n>1

sin(nx) 3ⁿ et

Zπ 0

3 sinx

5−3 cosxsin(nx)dx.

Trouver la loi, l’espérance et la variance d’une variable aléatoire X vérifiant X(Ω) =Net∀n∈N,6P(X=n+ 2) = 5P(X=n+ 1)−P(X=n).

Comparer avec une loi géométrique et expliquer la différence.

II) On donne une famille de k matrices A_i carr´ees de taille n, telles que

∀i∈[[1, k]], A²_i=Aiet

n

X

k=1

Ai=In. Montrer que, pouri6=j, A_iA_j= 0.

III)Existe-t-il unC¹-difféomorphisme deRdansRtel que∀x∈R, f(2x) = 3f(x) ? Même question pour un homéomorphisme.

Planche 78I et III abordables dès la 1^`êreannée I)Montrer queXⁿ−1 =

n−1

Y

k=0

(X−e^2ikπ/n).

Calculer, là où elle est définie, Z 2π

0

ln(x²−2xcos(t) + 1)dt.

II)SoientP =

n−1

X

k=0

aiXⁱ ∈C[X] etM la matrice de coefficientsMij =ajsi i=n,Mij= 1 sij=i+ 1 etMij= 0 sinon.

Calculerχ_M, d´eterminer la dimension des espaces propres et trouver une CNS pour queMsoit diagonalisable.

Mettre l’équation différentielley⁰⁰⁰=y⁰⁰+y⁰−ysous forme matricielleY⁰=AY puis la résoudre.

III)Soientppremier etkun diviseur premier de 2^p−1 ; montrer quek≡1 [2p].

I)Une urne contient une boule rouge et une boule blanche ; on effectue des tirages successifs avec remise. Si on tire une boule rouge, on la remets dans l’urne avec deux autres boules rouges.

Quelle est la probabilité de tirernboules rouges consécutives ? Quelle est la probabilité de ne tirer que des boules rouges ? Même question en rajoutantpboules à chaque tirage.

II)SoitA∈S⁺n(R), de coefficientsaij. Montrer que detA>0 et detA6

n

Y

i=1

aii. SoitB∈S_n⁺⁺(R), de déterminant égal à 1 ; montrer que tr(AB)>n(detA)^1/n. Planche 80

I)Soitλ >0 et (Xn)_n∈_N∗une suite de variables aléatoires définies sur (Ω, A,P) telle queXnsuit une loi géométrique de paramètreλ

n· D´eterminer, pourx>0,F(x) = lim

n→∞P(Xn

n 6x).

Exhiberf∈ C⁰(R⁺,R⁺), telle que pour toutx>0,F(x) = Z x

0

f(t)dt.

Comparer lim

n→∞E X_n n

et Z∞

0

tf(t)dt, puis lim

n→∞E _X

n

n 2

et Z∞

0

t²f(t) dt.

SoitY une variable aléatoire définie sur (Ω, A,P), à valeurs dansNtelle que

∀k∈N,P(Y =k) =F(k+ 1)−F(k) ; d´eterminerE(Y) etE(Y²).

II)On noteE=R[X] ; montrer queL, l’application qui `a toutP∈Eassocie L(P) d´efini parL(P)(x) =

Z∞ 0

e^−tP(x+t) dt, est un endomorphisme deE.

Montrer l’existence et d´eterminer l’expression explicite de (an)_n∈_N ∈R^N telle que∀P∈E, L(P) =

∞

X

n=0

anDⁿ(P) oùDest l’opérateur de dérivation surE.

Déterminer les éléments propres de L et chercher les endomorphismes de E commutant avecL.

Planche 81

I)Montrer que l’ensembleEdes fonctions continues deR+dansR, telles que f(t)²e^−tsoit int´egrable surR+, est un espace vectoriel.

Montrer quekfk= s

Z +∞

0

f(t)²e^−tdtest une norme surE.

Montrer queEcontient les fonctions polynomiales deR+dansRet l’espaceF engendr´e par les e^−nx, n∈N.

Soitf∈E, constante sur un intervalle de la forme[A,+∞[; justifier l’existence d’une suite (Pn) dansFtelle que lim

n→+∞kf−Pnk= 0.

Généraliser à toute fonctionfdeEet interpréter ce résultat.

II)On munitEeuclidien de la base (e₁, . . . , en).

Montrer quef(x) =

n

X

k=1

< ek, x > ekd´efinit un endomorphismef sym´etrique dont les valeurs propres sont strictement positives.

Montrer qu’il existeg∈ L(E) tel queg²=f⁻¹; que dire de g(e1), . . . , g(en)

? Planche 82I abordable dès la 1^`êreannée

I)Pourn∈N^∗, on notePn(X) =

n

Y

k=0

(X−k).

Montrer queP_n⁰admet une unique raciner_n∈]0,1[.

D´eterminer un ´equivalent dernquandntend vers +∞.

II)SoitAune partie compacte de diamètreδd’un espace vectoriel norméE de dimension finie. On appelle hyperplan d’appui deA(hyperplan affine), tout hyperplanH d’équationu(x) =α∈ R, oùu est une forme linéaire telle que

∀x∈A, u(x)−α>0 etH∩A6=∅.

Montrer que siHetH⁰sont deux hyperplans d’appui deA,d(H, H⁰)6δ.

Montrer que siBest une boule ouverte ne contenant pas 0, il existe une forme lin´eaireutelle que∀x∈B, u(x)>0.

Montrer que l’on peut trouver (a, b)∈A², tel quekb−ak=δ.

Montrer qu’il existe deux hyperplans d’appui deA,HetH⁰, parall`eles, tel que Hpasse para,H⁰parbetd(H, H⁰) =δ.

I)Montrer que (un), d´efinie paru0 > 0 etun+1 = Arc tanun

2 converge et d´eterminer sa limite.

On posevn= 2ⁿun; montrer que (vn) converge versL >0.

En d´eduire un ´equivalent deun. II)Montrer que< P, Q >=

Z +∞

−∞

P(t)Q(t)e^−t²dtest un produit scalaire sur Rn[X] puis quef, d´efini parf(P)(X) = 2XP⁰(X)−P⁰⁰(X) est un endomorphisme deRn[X] ; est-il sym´etrique ? Diagonalisable ?

En d´eduire que les valeurs propres de f sont positives puis les d´eterminer.

D´eterminer l’orthonormalis´ee de la base canonique et montrer que c’est une base de vecteurs propres def.

L’officiel de la taupe num´ero Page c MMXVII ´Editions Officiel de la Taupe Gyroscope