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Submitted on 1 Jan 1911
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Sur quelques théorèmes généraux de mécanique et de thermodynamique;
L. Bloch
To cite this version:
L. Bloch. Sur quelques théorèmes généraux de mécanique et de thermodynamique;. J. Phys. Theor.
Appl., 1911, 1 (1), pp.820-830. �10.1051/jphystap:01911001010082001�. �jpa-00241611�
820
Les erreurs indiquées dans la dernière colonne de ce tableau montrent que le chronomètre employé comme étalon a une marche qui n’est pas très satisfaisante, résultat qni est dû à ce que les huiles
sont déjà anciennes (’). Les huiles de ce chromomètre datent de neuf ans.
Quoi qu’il en soit, ces mesures montrent que le problème d’entretien
électrique du balancier circulaire est résolu d’une manière très satisfai- sante. On remarquera de plus que le contact, écueil général des hor- loges électriques, est ici particulièrement sûr; c’est en effet en appuyant
sur ce contact même, que la palette de l’électro transmet au levier moteur R’B (fig. 1) l’énergie mécanique nécessaire à l’entretien du balancier. En fait, le système mis en route a fonctionné sans inter-
ruption pendant trois mois environ, 1 aps de temps dépassant de beau-
coup celui des traversées les plus longues.
L’application de ce mode d’entretien à des horloges à balancier rectiligne fait prévoir une marche encore meilleure pour ces der- nières. Cet échappement électrique réalise en effet des conditions
identiques à celles de l’échappement libre à détente, qui est, on le sait, celui qui remplit le mieux les désidérata théoriques.
SUR QUELQUES THÉORÈMES GÉNÉRAUX DE MÉCANIQUE
ET DE THERMODYNAMIQUE;
Par M. L. BLOCH.
1
Dans les importantes recherches qu’il a consacrées aux lois du
déplacement de I’équilibre, M. C. Raveau (2 ) a montré que « le prin- cipe de Le Chatelier, s’il est une expression parfaitement complète et
correcte de ces lois, n’en est pas cependant la forme unique et indis- pensable. Il existe d’autres formes équivalentes, quoique bien diffé- rentes au premier abord (3) ». Toutes ces formes, comme l’a fait voir (1j Le règlement du service hydrographique prescrit de renouveler au moins tous les trois ans les huiles des chronomètres, même lorsque ces derniers ne
servent pas.
(2) C. RAVEAU, C. R., t. CXLVIII, p. 767 ; 1909; - Soc. franc. de Phys..
19 mars 1909; - J. de Phys., t. VIII, p. 572; 1909.
(3) J. de Plzys., loc. cit., p. 572.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:01911001010082001
821 M. Raveau, sont des conséquences du principe de Carnot. Dans un
grand nombre de cas, on arrive plus aisément aux lois du déplace-
ment de l’équilibre en appliquant le principe de Carnot qu’en recher-
chant un énoncé dont la forme rappelle celle du principe de Le Cha-
telier.
Du principe de Carnot, Raveau a déduit une inégalité extrême-
ment générale (1). Cette inégalité permet de démontrer d’une façon remarquablement simple les quatre théorèmes suivants :
Dans tout système en équilibre .’
I. La capacité calorifique à volume constant ;
Il. La compressibilité adiabatique;
1 Il. La capacité calorifique à pression constante;
IV. La compressibilité isotherme ;
sont plus grandes quand on laisse se produire les modifications inté- rieures que quand on les entrave. A l’aide de ces théorèmes et
d’autres analogues, il est possible de prévoir dans tous les cas le sens
du déplacement de l’équilibre. La loi des efFets de traîîsrorijtation donnée par Gouy (2) trouve également son expression complète dans l’inégalité générale établie par M. Raveau.
Les théorèmes thermodynamiques de M. Raveau présentent une grande analogie de forme avec certains théorèmes de mécanique
pure étahlis par lord Rayleigh (3). Ces théorèmes sont relatifs au
déplacement d’un système matériel à partir d’une position d’équilibre
stable. Ils permettent de comparer l’énergie d’un système dans une
certaine position d’équilibre avec l’énergie qu’aurait le même système
dans d’autres positions obtenues soit à forces constantes, soit à
déplacements constants. On peut en conclure l’accroissement ou la diminution de stabilité qu’éprouve un système par l’introduction ou la suppression de certains liaisons (V. ci-dessous).
Lord Rayleigh a signalé lui-même (1) l’analogie de forme qui
existe entre les conditions de l’équilibre mécanique et celles de l’équilibre thermodynamique. Mais il s’est contenté d’indiquer un exemple sans s’efforcer d’énoncer des théorèmes généraux. Les
recherches thermodynamiques détaillées de Gibbs, de Van t’Hoff, de
(J) RAVEAU, C. R., t. CXLNIIII, p. î68.
(2) Gouy, Sur utilisable (J. de Pitys., 2° série, t. VIII, p. 50-1k; 1889).
(~) Lord RA-YLEIC,11, of Sound, 2° éd., t. 1, p. 94 - Scientific
t. I, n° 32 et n° 34, p. 223 et p. 233 (V. aussi Phil. Mag., t. XLVIII, p. 452, i8T4;
et t. XLV, p. 183 et p. 218, 1875).
(4) Scientifie A slastical t. 1, p. 226.
822
:Ñl. Le Chatelier, de NI . Gouy, de Raveau donnent à penser qu’il y aurait intérêt à pousser dans le détail l’analogie pressentie par lord
Rayleigh. A cause de la simplicité et de la symétrie des notations, l’équilibre mécanique peut être soumis à une analyse elle-même très simple et très symétrique. Il est facile de faire une énumération des
cas et d’ordonner les résultats. Le schéma obtenu de la sorte doit se
retrouver en thermodynamique. Si nous l’utilisons comme guide,
nous éviterons d’énoncer des théorèmes surabondants faisant double
emploi avec d’autres relations, nous n’aurons pas à craindre d’omis- sions portant sur des théorèmes utiles. Dans ces questions, où l’obs-
curité provient surtout du désordre, l’avantage que nous signalons
a son prix.
Il y a une seconde raison qui peut, semble-t-il, justifier notre
effort. Pour beaucoup d’esprits, les théorèmes relatifs aux systèmes mécaniques paraîtront plus intuitifs que les énoncés nécessairement abstraits de la thermodynamique. Ceux-ci gagneront en clarté à être
interprétés par des analogies statiques (~). Une fois qu’on a défini l’éqnilibre thermodynamique comme une généralisation immédiate
de l’équilibre mécanique, la stabilité thermodynamique comme une généralisation de la stabilité mécanique, il devient évident que les lois du déplacement de l’équilibre doivent être les mêmes dans les deux cas. Si nous ajoutons que l’analogie statique permet de com- prendre, ainsi que l’a fait voir lord Rayleigh (2), les beaux théo- rèmes de Bertrand et de Kelvin touchant le mouvement initial d’un
système soumis à des percussions ou à des vitesses instantanées,
qu’elle permet aussi de comprendre, ainsi que nous le ferons voir, certains théorèmes fondamentaux d’électrostatique, on nous excu- sera d’avoir esquissé, dans les lignes qui vont suivre, un exposé systématique de cette importante question.
Il
Nous commençons par définir, en nous attachant à marquer le
parallélisme des deux cas, les conditions d’existence et de stabilité de l’équilibre mécanique et de l’équilibre thermodynamique.
(1) Des exemples intére.-,.,ants d’analogies statiques ont déjà été donnés par Raveau.
~2) l’heor°,y o f loc. eit.
823 .A. Équilibre mécanique. - Soit un système mécanique soumis à
des forces données ou d irecte11tent appliquées (t) en nombre quel-
conque X1, Y,, Z~, X,, y 2’ Z~, ..., Xm, Ym, Z,,,. Ces forces sont
supposées appliquées aux points X, ~.~’~, y2, .~ 2, ..., Y"" z,n.
Si le système est soumis en outre, d’une façon permanente, à des liaisons (indépendantes du temps), on peut éviter une fois pour toutes de faire intervenir les loî-ces cle li(tison dans les conditions d’exis- tence et de stabilité de l’équilibre en introduisant les forces général-
lisées et les déplace1nents généralises de Lagrange. Ces quantités
sont définies de la manière suivante : à partir’d’une position initiale,
le travail des forces X, Y, Z dans tout déplacement virtuel compa- tible avec les liaisons est donné (si l’on s’en tient aux termes du
premier ordre) par :
Ici les sont tous inclépeîîdants et n Jae travail virtuel peut
être considéré comme produit par les forces (généralisées) T effec-
tuant les déplacements (généralisés) ’. Le nombre n est le degré de
liberté’ du système.
Si nous voulons exprimer que la position initiale est une position d’équilibre, il suffit d’appliquer le principe des vitesses virtuelles.
AppelonsT,,,, W 02’ ..., Won les forces existant à l’ étatinitial, , ·.2,
- un système de déplacements virtuels quelconques, le principe des
vitesses virtuelles permet d’écrire :
ce qui nécessite qu’on ait, puisque les déplacements ’~ sont indépen-
dants :
Les conditions (3) sont les conditions nécessaires et suffisantes de
l’ équilibre initial (2).
Il y a lieu en général de séparer dans le travail la part qui
est due aux forces extérieures et celle qui est due aux forces inté-
ri eures ( 3 ) .
(1) V. P. APPELL, Traité cle l1/écanique, t. 1, p. 227.
(2) Ibid., t. 1, p. 237. - Pour l’extension du théorème des vitesses virtuelles
aux milieux continus, voir p. ex., DuHEM, Ann. de la Fac. de Toulouse, t. IY,
(3) Cf. P. APPEL, (le -IIéc(tîèiclue, t. 1I, p. -0.
824
En désignant par des indices convenables les forces extérieures et
intérieures, nous aurons :
et pour les conditions nécessaires et suffisantes de l’équilibre :
Les équations (3) ou (6) correspondent bien à la notion commune d’équilibre mécanique.
Pour que l’équilibre mécanique soit stable., il faut et il suffit que tout travail virtuel des forces appliquées au système soit Il
ne peut s’agir ici naturellement que des termes infiniment petits du
second ordre dans l’expression du travail virtuel, puisque les termes
infiniment petits du premier ordre sont nuls par les conditions
d’équilibre (3). Le travail virtuel n’est donné par le premier membre
de (2) qu’au second ordre près. En effet, pour le calcul de cette
expression, on a admis que les forces produisant du travail durant le déplacement ~ étaient constantes et égales à leur valeur W 01 dans
l’état d’équilibre initial. Dans le cas général, les forces varient conti- nuellement par suite du déplacement même, et l’on obtient une
approximation meilleure en supposant qu’elles aient, au cours du déplacement, une valeur constante égale à la moyenne de leur valeur
réelle. Il faut alors remplacer Wou ~yo~, ..., Won par les valeurs :
w ~, W 2’ ..., W n sont des infiniment petits du premier ordre, ils repré-
sentent les forces suscitées dans le système par les déplacements
’f2’ ..., ’~,t. On trouve alors, en tenant compte de (2) :
et la condition de stabilité de l’équilibre s’écrit :
Nous admettons sans démonstration la condition qui vient d’être énoncée. Nous reviendrons plus loin sur son interprétation.
Les condi.ions d’équilibre et de stabilité sont susceptibles d’un
énoncé très simple, quand le travail virtuel est une différentielle totale
825 exacte d’une certaine fonction de forces V. La condition d’équilibre (2 § exprime alors que V est stationnaire (maximum ou minimum), et la
condition de stabilité (9) exige que il soit effectivement maximum.
Nous poserons U = - V et nous appellerons U l’énergie potentielle
totale. Elle est à l’état d’équilibre stable.
D’une façon plus particulière encore, supposons que les forces extérieures et les forces intérieures dérivent séparément de deux
fonctions de forces V et L’énergie potentielle totale sera la somme :
de l’énergie potentielle extérieure ( due au travail des forces extérieures)
et de l’énergie potentielle intérieure (due au travail des forces inté-
rieurs). Les conditions d’équilibre et de stabilité se traduisent encore
par le minimum de l’énergie potentielle totale.
B. Équilibre thermodynamique. - Lorsqu’un système, susceptible
de modifications mécaniques, est soumis de plus à des variations
thermiques, il est possible de définir son équilibre et sa stabilité par des expressions analogues à (2) et (9), en tenant compte de ce que le système possède au moins un degré de liberté de plus (’ ) .
A cet effet une première remarque s’impose. Les équations (3) et (6)
ne sont les conditions nécessccires et suffisantes de l’équilibre que
lorsqu’il n’y a pas de frottement. C’est là une condition dont la vérification à été tacitement admise jusqu’ici. Dans le cas contraire,
les équations (3) et (6) donnent des conditions suffisantes, mais
elles cessent évidemment d’être nécessaires. De même, dans le cas
de la thermodynamique, nous devrons distinguer entre les systèmes
dont toutes les transformations sont réversibles et ceux pour lesquels
il existe des transformations irréversibles. Les premiers seuls peuvent donner lieu à des conditions d’équilibre nécessaires et suffisantes.
Ces conditions demeurentsuffisantes, en vertu du principe de Carnot, quand il existe des transformations irréversibles.
Limitons-nous donc aux systèmes à transformations réversibles.
Pour de pareils systèmes, on pourra toujours écrire :
(1) Il peut y avoir plusieurs degrés de liberté thermique, si le système se compose, par exemple, de différentes pirties à des températures did’érentes et isolées thermiquement les unes des autres. Nous laissons de côté le cas le plus général, auquel il serait facile d’étendre la plupart de nos conclusions.
J. de Phys., 5, série, t. I. (Octobre 1911 .) 57
1
826
Ti désignant la température (uniforme) de la partie du système qui reçoit la quantité de chaleur AQ et AS désignant la variation d’en-
tropie de cette partie du système.
Lorsque nous modifions un système à la fois mécaniquement et thermiquement, le travail (infiniment petit du premier ordre) des
forces appliquées se compose d’une partie mécanique et d’une partie d’origine thermique. La partie mécanique est donnée par
La partie thermique a la forme suivante. La quantité de chaleur àQ est fournie (d’une manière réversible) au système dont la tempé-
rature est Ti. D’après le principe de Carnot, il n’y aura de travail
utilisable recueilli au dehors que si une quantité de chaleur AQ’ > àQ
est empruntée à une source chaude de température Te > Ti. Nous
convenons de dire que, dans ce cas, la force thermique extérieure T e
a effectué le travail TgAS et la force thermique intérieure Ti a etrec- tué le travail - TBAS. Le travail utilisable total fourni par le système
sera par défiuition :
et la variation de son énergie utilisable sera par définition :
Dans tout ce qui suit nous admettrons que soit une différen- tielle totale exacte ou que A soit une fonction uniforme des coordonnées
généralisées du système. Ceci posé, nous pouvons écrire la condition nécessaire et suffisante de l’équilibre : -.
ou, ce qui revient au même ’B 1) :
Les conditions (1~) correspondent bien à lanotioncourante d’équi-
libre thermodynamique. Elles constituent pour nous la définition de (1) Par hypothèse le déplacement A S est indépendant des autres déplacements ~.
S’il y a plusieurs degrés de liberté thermique, on obtiendra autant d’équations du type T,i = Tii, etc.
’
....
827 cet équilibre. Leur accord avec les définitions usuelles (~) est à nos
yeux une première justification de la convention faite ci-dessus. Cette convention sera justifiée pleinement par l’identité de forme qu’elle permet d’établir entre les lois mécaniques etthermodynamiques, non
seulement en ce qui concerne la définition de l’équilibre, mais aussi
en ce qui concerne la stabilité de l’équilibre une fois défini.
Montrons, en effet, qu’en étendant aux systèmes thermodyna- miques la condition de stabilité (9), nous retombons sur une notion
de stabilité parfaitement concordante avec les données usuelles.
Quelle est exactement la signification de l’inégalité (9) ? Nous
savons par les recherches de l,ejeune-Dirichlet (2) ce que signifie
,
cette inégalité dans le cas où il existe une énergie potentielle et le
résultat subsiste dans le cas général : si un système mécanique est
mis en mouvement avec des valeurs de !fn ~2’ ..., ~71 et des vitesses v~, V2’ ..., Vtt toutes inférieures en valeur absolue à un nombre -1, les
valeurs de ’f2’ ..., ’fll resteront durant toute la durée du mouve- ment inférieures en valeur absolue à s. On peut choisir à l’avances aussi petit qu’on veut et il est possible de déterminer ensuite ~. En d’autres termes, une perturbation suffisamment petite apportée à l’état d’équilibre n’entraine jamais qu’un écart infiniment petit à partir de
la position de repos initial. En particulier, les vitesses v~, V2’ ..., V,, resteront toutes infiniment petites.
Par définition, nous dirons que l’équilibre thermodynamique est
stable si l’on a pour toute transformation virtuelle :
On a mis ici en évidence, et affecté de l’indice n + 1, les termes d’origine thermique, c’est-à-dire qu’on a :
équations qui correspondent très exactement aux formules du type :
’f1 _ (infiniment petit).
Il paraît possible, dans un cas très général, de tirer de l’inéga-
lité (16) des conclusions fort analogues à celles que Lejeune-Dirictilet
a déduites de l’inégalitë (9).
(1) Voir, par exemple, NERNST, Traité de Chi1nie générale, t. l, p. 33.
(2) Voir P. APPELL, Traité de I1Jécanique, t. Il, p. 251.
828
C’est le cas où l’apport de chaleur est fait au système par un
phénomène (généralement irréversible) de conductibilité, conformé-
ment à la loi :
K désignant un coefficient essentielle1nent positif, pouvant varier d’ailleurs avec la température.
~On tire immédiatement de ~,1.9 ~ la relation suivante : *
avec,u. essentiellement positif (1). Ceci suppose que la transformation,
si,elle est irréversible, est telle que 2013" soit positif.
dt
On peut alors faire dans les équations du mouvement la combi-
naison dite forces vives, ce qui conduit à écrire, en tenant compte
de (20), le théorème des forces vives généralisé sous la forme :
Les deux termes du premier membre étant essentiellement posi- tifs, le raisonnement de Lejeune-Dirichlet s’applique sans modifica-
ion. Il est possible de mettre le système en mouvement avec des
valeurs assez petites de ~,, ~2’ ... ~ §,i, AS, V2’ ... , Vm pour que dans tout le cours du mouvement ces quantités demeurent aussi
petites qu’on le veut.
Remarquons qu’il n’est fait aucune hypothèse sur la valeur initiale de la vitesse thermique d Quelle que soit la grandeur de cette
0
quantité, le mouvement sera stable en ce sens que tous les para- mètres et que les vitesses mécaniques resteront infiniment petits.
Mais pouvons-nous affirmer qu’il en sera de même de dt
Pour répondre à cette question, il suffit d’observer que 4’ 2’ ..., ’fn, àS, restant inférieures en valeur absolue à ~, le second membre de
(21) est inférieur à un nombre positif P. Supposons alors que pendant
un temps t2 - t1 la vitesse thermique soit en valeur absolue supé-
829 rieure à ~Nl 0* On aurait nécessairement, en supposant u. supérieur à
un nombre fixe ~t,,, (22)
doù :
(23)
Ainsi quelque petit que soit M~, si à un moment donné la vitesse thermique dépasse en valeur absolue Mo, cet état de choses ne
pourra se prolonger au delà d’un temps limité, infiniment petit avec e.
Lorsqu’on ne fait aucune hypothèse sur la manière dont s’effectuent les apports de chaleur, il n’est plus possible de démontrer la stabi- lité du système en faisant voir qu’une impulsion infiniment petite
donne lieu à un mouvement infiniment petit. Par contre, il demeure facile, en se servant du principe de Carnot, de montrer que si la condition (16) est vérifiée, le système ne quittera pas l’équilibre tant qu’on ne lui fournit pas de travail du dehors. Supposons en effet
que le système se transforme sans absorber de travail. Ramenons-le à l’état initial d’une façon réversible. Il faudra pour cela lui fournir
un travail essentiellcnzent positif (1 ) ou, ce qui revient au même, aug- menter son énergie utilisable. Celle-ci aurait donc diminué dans la
première transformation, et c’est justement ce qui est impossible si l’inégalité (16) a lieu (~).
Il convient donc de prendre cette dernière condition pour définir ta stabilité de l’équilibre. La condition de stabilité thermodynamique
se ramène, pour 0, à la condition correspondante dans le cars purement mécanique. Cette analogie est la véritable raison qui permet d’étendre à la thermodynamique les théorèmes mécaniques
de lord Rayleigh.
Dans le cas particulier où le travail virtuel des forces mécaniques comporte un terme (pe -f-- pi) àv (1), l’inégalité (16) peut s’écrire :
(1) Puisque chaque partie du système n’est en rapport qu’avec une seule source
de chaleur à la température Te.
(2) Cette démonstration est identique à celle qui a été donnée par M. Gouy et
par différents auteurs.
(3) C’est le cas d’un système constitué par une enveloppe et le gaz qu’elle con- tient, si l’on suppose que le gaz possède une pression uniforme pi, qu’il est en rapport avec un milieu extérieur de pression uniforme pe, et que ses variatiocs de volume n’apportent que le terme (pie -j- pi) Jv à l’expression du travail virtuel ; pe et pi sont supposés comptés positivement dans le mèine sens.
