Sur quelques théorèmes généraux de mécanique et de thermodynamique

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Sur quelques théorèmes généraux de mécanique et de thermodynamique

L. Bloch

To cite this version:

L. Bloch. Sur quelques théorèmes généraux de mécanique et de thermodynamique. J. Phys. Theor.

Appl., 1911, 1 (1), pp.988-996. �10.1051/jphystap:01911001012098801�. �jpa-00241636�

988

aimants élémentaires, identiques ^{entre eux et en nombre à la fois} grand ^{et variable dans le même atome,} soit donnée cc priori, ^{on croi-}

rait leur démonstration expérimentale ^{entourée des} plus grandes

difficultés. Les moments magnétiques devraient former des résul- tantes n’ayant plus ^aucun rapport simple ^{avec leur} grandeur. ^{Il sem-}

blerait que l’on dût attendre ^la possibilité de les saisir de quelque phénomène exceptionnel, comme ceux qui ^font jaillir l’électron de l’atome.

La facilité avec laquelle ^{ils se} manifestent, le caractère exception-

nel des ^cas où ils échappent ^à l’observation, ^{sont eux-mêmes l’ex-} pression ^d’une propriété importante. ^{Il est, en} effet, ^{tout à fait} stupé-

fiant que ^ces aimants élémentaires se placent toujours ^{de façon} que leurs moments s’ajoutent algébriquement, c’est-à-dire parallèlement

ou même bout à bout. Il est peut-être ^tout aussi curieux que, parmi

les mesures existantes, si peu suggèrent ^{l’idée de} mélanges ^{de molé-}

cules de nombres de magnétons différents. Il est probable que des

mélanges semblables existent dans les sels magnétiques ^{en solutions}

concentrées dont Koenigsberger ^{et Meslin ont montré} qu’ils ^{ont des}

coefficients d’aimantation variables avec la concentration. On peut

se demander si l’égalisation ^{du nombre des} magnétons ^ne serait pas

une des conditions de l’équilibre des molécules de même espèce ^entre

elles.

Enfin, ^on peut ^dire qu’après l’électron symbolisant ^{les idées nou-}

velles sur la structure discontinue de l’électricité, ^le magnéton

marque ^une évolution analogue ^{dans la} représentation ^des phéno-

mènes magnétiques.

SUR QUELQUES THÉORÈMES GÉNÉRAUX DE MÉCANIQUE

ET DE THERMODYNAMIQUE (1) ;

Par M. L. BLOCH.

VI

Avant d’étendre les théorèmes de lord Rayleigh ^{au cas de la} Thermodynamique, ^{nous allons montrer ce} qu’ils deviennent dans le

cas de l’Electrostatique.

(t~ ^{Voir ce} i ol., pp. 820 et 912.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:01911001012098801

989

Un système ^{soumis à des forces} purement électrostatiques possède

une énergie potentielle :

où les Q désignent ^les charges électriques ^{et les V les} potentiels correspondants. ^Ces quantités correspondent respectivement ^{aux W}

et aux ~ ^de l’expression (1). L’équilibre ^naturel correspond ^encore

à un minimum de U, ^{de sorte} que le second membre de (52) ^{doit être} regardé ^comme essentiellement positif.

Sans qu’il soit nécessaire de refaire les raisonnements, ^{on énonce}

immédiatement les théorèmes suivants :

,

Quand, ^à partir ^d’une position d’équilibre ^{stable, un} système ^élec- trostatique ^{se modifie â} _potentiels donnés, ^l’état d’équilibre qu’il

atteint réellement est le plus ^{stable de tous ceux} qui ^sont possibles ; Quand ^le système ^{se modifie à} charges données, ^l’état qu’il prend

réellement est le moins stable de tous ceux qui ^sont possibles.

Faisons une autre application des théorèmes fondamentaux au cas

d’un système ^{lnixte dont} l’énergie potentielle ^{est en} partie ^électro- statique, ^en partie mécanique. Nous supposons que, réduite ^{à sa} forme canonique, l’expression ^de l’énergie potentielle ^est donnée par :

Ce sera, par exemple, ^{le cas} de l’électromètre (n

4) ^{dont la} suspension possède ^un coefficient de torsion c. Supposons que les

grandeurs ^Q,, V~ ¹ soient relatives à la partie de l’électromètre (ai- guille ^ou paire ^de quadrants) ^{mise en relation avec} le milieu exté- rieur auquel ^elle peut emprunter ^de l’énergie. ^On peut ^{alors énoncer} les deux théorèmes suivants, ^{relatifs à} la sensibilité de l’électromètre

aux quantités d’énergie :

THÉORÈME I.

A déviations et à potentiels ^donnés (,, ,r 2’

VII donnés), l’énergie qu’il ^{faut fournir au} système ^{est minimum} lorsqu’on opère ^à charge Q, ^constante.

THÉORÈME II.

A couple ^{et à} charge ^donnés (r l’ Q,, Q,,

Qn donnés), l’énergie qu’il faut fournir au système ^{est minimum} lorsqu’on opère ^à potentiel V ~ ^fixe.

En choisissant d’autres modifications extérieures imposées ^{à un}

système électrisé, ^on retrouverait sans difficultés les propositions

classiques ^de Gouy et ^de Lippmann.

990

Vil

Passons maintenant au cas de la Thermodynamique.

Nous avons montré que dans ^{ce cas} l’équation d’équilibre ^{est :}

et la condition de stabilité de cet équilibre :

désignant ^{ici le} travail utilisable total des forces appliquées ^au système.

Dans le cas où ce travail est une différentielle totale exacte, ^nous posons ~~ W - - à, À ^et les conditions ci-dessus s’écrivent :

Elles s’énoncent en disant que A ^{est 1nin£rnum.}

Sous cette forme, l’analogie ^est complète ^avec les conditions de

l’équilibre ^et de la stabilité mécanique ^données par lord Rayleigh.

La fonction A correspond ^à l’énergie potentielle ^totale V, ^nous l’ap- pellerons l’énergz’e potentielle utilisable.

Elle se distingue ^de la fonction V que l’on considère ordinairement

en Thermodynamique, ^et qui désigne ^{l’énergie totale. Elle coïncide,}

sous certaines réserves, ^avec l’énergie utilisable de Gouy C) ^{et l’éner-} gie libre de Nernst (2).

Si nous supposons que l’énergie utilisable existe comme fonction uniforme des coordonnées généralisées, il devient facile d’étendre la loi de réciprocité (34) ^{au cas de la} Thermodynamique. Cette condition

rappelle ^{de très} près la condition correspondante qui ^{doit être satis-}

faite en Mécanique : ^{il faut} qu’il ^{existe une} fonction de force U (c’est-

à-dire une énergie potentielle V). ^{Dans l’un et l’autre cas, la loi de} réciprocité ^{se déduit des} équations ^du type :

(1) Lorsqu’il ii-y ^a degré de liberté thermique et que le travail total des forces extérieures est effectué par l’opérateur. (Voir GOUY, ^loc. cit., p. 510.)

(2) ^Yoir NERNST, Traité de chimie génêrocle, ^t. l, p. ^33.

991

jointes ^à l’identité d’Euler :

On a, ^en effet, manifestement :

Si, comme nous le supposerons désormais, ^{la loi de} réciprocité

se trouve satisfaite, ^nous pouvons immédiatement transposer ^{au cas}

de la Thermodynamique ^un certain nombre d’é,gaZités ^établies par lord Rayleigh ^{dans le cas de la} mécanique. C’est ainsi que la formule:

valable dans le cas n ~ ~, ^{devient :}

formule équivalente ^à la formule de Clapeyron.

Lorsqu’on ^tient compte ^{de la} stabilitade l’équilibre ^naturel, l’ap- plication ^de l’analogie mécanique conduira à des théorèmes thermo-

dynamiques s’exprimant ^{par des} inégalités. C’est ainsi qu’en ^{se limi-}

tant toujours ^{au cas n = ~ les} inégalités

sont l’expression ^{des deux} théorèmes :

L’inégalité générale de M. R.aveau (I’ ^est l’analogue ^de l’inégalité

suivante :

VIII

Nous ne nous arrèterons pas ^à déduire de (64) ^les quatre ^énoncés

donnés _{par 1V1.} Raveau. Nous préférons porter ^{notre attention sur les} (1) ^M. Ehrenfest, qui ^{est revenu récemment} (Z. ^P. C., LXXVII, pp. 2~7-24.~, ^et

ce vol., suprCt, p. 792) ^{sur la} question ^du déplaceinent ^de l’équilibre, ^{ne semble}

pas avoir ^eu connaissance de la note (C. R., ^t. CLXYIII, p. 767) ^dans laquelle

M. Raveau établit cette inégalité.

992

théorèmes qui correspondent ^en Thermodynamique ^{aux deux théo-}

rèmes fondamentaux de lord Rayleigh. ^{Les cas} envisagés par lord

Rayleigh présentent, ^{en effet, une} circonstance remarquable : ^ce

sont les seuls où nous puissions cc priori ^{écrire sous une forme tout}

à fait simpJ e les conditions exprimant que les modifications intérieures sont entravées.

Ces conditions ne sont autres que (40) ^et (~i) ; ^{elles ont un sens} physique simple ^et immédiat. Si nous prenons l’énergie ^utilisable

sous la forme :

et, ^{si nous limitons notre étude aux} variations des ’f1’ ils 21 1J1’i’

W 2’

nous sommes amenés à distinguer ^{deux cas :}

A. W1 ^ou W2 ^donné.

La déformation (’ ) qui ^{s’obtient à} partir ^de

l’état d’équilibre ^{naturel avec le moindre} travail utilisable est celle pour laquelle :

Les conditions (66) s’expriment ^{en disant} qu’on ^entrave les 1’nodi-

flcations intérieures de pre1n£ère espèce.

B. ~~ ^donnés.

La déformation qui ^demande le moindre accroissement d’énergie utilisable est :

Les conditions (67) s’expriment ^{en disant} qu’on ^{entrave les 1nodi-} fications intérieures de seconde espèce. Les modifications intérieures de première ^{et de seconde} espèce ^{sont les} plus simples ^{dont un} système puisse ^{être le} siège.

Il y ^a donc intérêt à expliciter ^{dans ce cas} les théorèmes auxquels

conduit l’analogie mécanique.

Traduisons les théorèmes A et B dans le langage thermodyna- mique :

A1. W1 ^donne.

^{Si l’on se donne} W4 c’est-à-dire l’accrois-

sement de pression qui ^{doit être} réalisé dans le système, ^{la défor-}

mation qui ^coûtera le moins de travail sera celle qui ^{se fait à modi-}

fications entravées (~! z, ~~,

~.~"

0).

(1) Réversible ou irréversible.

993 Ce travail peut ^être supposé ^{fourni au} système ^sous trois formes :

oc : comme travail de compression correspondant ^{au terme} - lrow ^{du travail} virtuel;

p : ^{: comme} travail d’autre nature correspondant ^{aux termes} 1}J~3’f3 +

+

y : enfin il peut ^{aussi être} emprunté ^{en totalité ou en} partie ^{à une}

source de chaleur à température convenable fournissant ^au système

une quantité de chaleur AQ qui ^se transforme partiellement ^{en travail}

dans son passage ^{à une} température moindre. Cette partie ^{du travail} correspond ^à W 2’f2 ^{= TJS.}

La comj?.essibilité génércclisée ^est par définition le rapport ^du travail ~2A ^{au carré de la} surpression ^{Le théorème s’énonce}

donc ainsi : Za c01npressibilité généralisée ^d’un système ^{est 1ninimu1n}

à modi fzcations ^entravées (de pre11Lière espèce).

Si nous limitons nos comparaisons ^{à des} transformations pour

lesquelles ^le travail ~ + y ^est nul, ^{le théorème se} particularise : la compressibilite’d’i,,n système ^{est à} lnodiflcations ^entravées (de première espèce). ^En particulier ^il 1(iitt qu’on ^ait ’f2

^{0, c’est-}

à-dire compression adiabatique (1). ^La compressibilité ^{dont il} s’agit

ici est la compressibilité proprement dite, puisque ^{dans les} hypo-

thèses restrictives que ^{nous avons} faites --.A,- Ap ^{se réduit à 1 2} w ( ) Ap’’

A2. T2 ^donné.

^{Si l’on se donne} W 2 dT, c’est-à-dire l’accrois- sement de température imposé ^au système, ^la déformation qui ^coîi-

tera le moins de travail utilisable sera celle qui ^{se fait à} modifications entravées (~ Y;2’

t.L,~ 0).

Ce travail peut ^être supposé ^{fourni au} système ^{sous les trois}

formes «, ~, y.

La capacité calorifique généralisée ^est par définition le rapport ^du

travail A,A ^{au carré de} l’élévation de température JT2. ^{Le théorème}

s’énonce donc ainsi : la capacité calorifique générah’sée ^{est minimum}

à modifications ^entravées (de première espèce).

Si nous limitons nos comparaisons ^à des transformations pour

lesquelles ^{le travail x + ~ est nul,} le théorème se particularise : 1a

(1) Nous n’avons pas besoin de faire observer que cet énoncé est nettement distinct de l’énoncé 1 donné par lI. Raveau. La ^même remarque s’applique ^aux

théorèmes suivants.

(2) Si

^{l’on se limite au cas n}

2, ^{on retrouve} Î/§ ) ^(IP T> clv ÎÔ§»s° ^{! S}

994

capacite calorifique ^{d’un est il entra-}

vées (de prernière espèce). particulier, ^il faut qu’on ^ait ~! ~

⁰ (volume constant) (1). ^La capacité calorifique ^est prise ^{ici dans un}

sens légèrement différent du sens ordinaire. Elle a pour ^mesure i As

L h’ ,

1

1 .fi d"

1 S Le théorème reste vrai pour la capacité calorifique ^ordinaire

2 à T p p q

0 si l’on s’astreint à n’effectuer que des transformations re’ver-

Af

sib les (2).

B~. ’¥1 ^donné.

^{Si l’on se donne} ’f1’ c’est-à-dire une variation de volume Av à réaliser, ^on l’obtiendra avec la moindre dépense ^de travail ^{en opérant à} modifications entravées (de ^seconde espèce),

c’est-à-dire ^en faisant tIJ’2,

^{== 0.}

L’extensibilité généralisée ^du s)’stème ^sera par ^p définition 3,v2 ^,

Elle est modifications ^entravées (de ^seconde espèce).

Supposons ^{nul le} travail ~ + Y ; il vient :

La c01npressib£lité ^d’un système ^{est MAXIMUM} quand ^on opère ^à modifications ^entravées (de ^seconde espèce). ^En particulier ^{la com-} lroresszon ^{doit être isotherme.}

B2/. ’f2 ^donné.

^{Si l’on se donne} ’f2’ c’est-à-dire la variation d’en-

tropie ^àS qui ^doit apparaître ^{dans le} système, ^le travail nécessaire pour la réaliser ^est minimum quand ^on opère ^à modifications entra- vées (de ^seconde espèce), c’est-à-dire en faisant ~~, ~’2,

V, - ^0.

La capacité entropiqite ^du système ^{y sera} par ^P définition - S2 . ^{il - Elle}

est îîîiniînuni à modifications ^entravées (de ^seconde espèce).

Supposons nul le travail « + y ; ^il vient :

capacité calorifique (3) ^d’un système ^{est MAXIMUM} quand ^on opè1’e ^it modifications ^entravées (de ^seconde espèce). ^En particulier ^il faut 1uaintenz’r la pression eonstccnte.

Les théorèmes B, ^et B2 conduisent à des conditions de maximum,

tandis que A, ^et A2 conduisent ^à des conditions de minimum. Cette

(1) ^{Si l’on se limite au cas} n = 2, ^{on retrouve} (dT (-jrr) ’ ^{dT v ’}

(’) Il suffit même de s’ilnposer la réversibilité pour l’une ou l’autre des deux transformations que l’on compare (modifications ^{entravées ou non} entravées) ^et

cela selon le signe ^{de AT.}

(3) ^Ici encore ce mot n’est pris ^{dans le sens} ordinaire que si l’on s’astreint à

envisager seulement des transformations réversibles. (Voir ^note page précédente.)

995

apparente opposition ^existait déjà dans les théorèmes A et B de lord Rayleigh. Le lecteur ^se rendra compte aisément que ^{nos énoncés}

B~ ^et B2 ^sont parfaitement compatibles ^{avec les énoncés en} appa-

rence opposés de M. Raveau.

Il reste à éclaircir les propositions ^{ci-dessus au moyen d’un} exemple simple.

Soit un système constitué de deux phases ^{de masses )n et 1}

soumises ^{à une} pression ^{et à une} température uniformes. Les degrés

de liberté sont au nombre de trois et l’on peut prendre ^comme para- mètres caractéristiques ^{clv, dS et dm, les deux} premiers ^{de ces} paramètres ^{étant définis} par les relations :

La variation de l’énergie utilisable est :

comme on le voit immédiatement en se servant de :

Un système ^{de ce} genre peut ^{être le} siège de modifications inté- rieures de deux espèces. ^Les premières ^{sont celles} qui correspondent

à un accroissement de volume, d’entropie, ^{ou de la masse à77z d’un}

des constituants. Les autres sont celles qui ^sont accompagnées ^d’un changement ^de pression, ^de température, ^ou d’une variation inégale

d’énergie libre par ^unité de masse de chacun des constituants. Les théorèmes A1, A2, B1, B2 prennent ^{ici une} expression ^très simple : A1.

^La compressibilité ^{est minimum} quand on opère adiabatique-

ment et sans changer ^les proportions des constituants.

A,.

^La capacité calorifique ^{est minimum} quand ^on opère ^à

volume constant et sans changer ^les proportions des constituants.

B4’ ^-La compressibilité ^{est maximun} quand ^on opère ^isothermi- quement ^et que les variations spécifiques d’énergie ^{libre sont ies}

mêmes pour les deux constituants.

B2.

^La capacité calorifique est maximum quand ^on opère ^à pression ^{constante et} que ^les variations spécifiques d’énergie ^libre

,

sont les mêmes pour les deux constituants.

996

1X

Nous terminerons cet exposé ^en indiquant ^ce que deviennent, pour

un système thermodynamique ^en équilibre ^{stable, les deux} corollaires établis _par lord Rayleigh.

PROPOSITION I.

Si un système thermodynamique ^esten équilibre

stable sous l’action de forces généralisées ^données (par exemple

p, T, AI

f1 j~, ^toute altération du système ^{dans le sens d’une}

diminution d’énergielibre ^{conduit à un} nouvel état d’équilibre ^inoins

PROPOSITION Il. - Si un système thermodynamique ^en équilibre

est astreint à des déplacements généralisés ^donnés (par exemple

At,, AS ^ou àJ7g), ^toute altération du système ^{dans le sens} d’une diminu- tion d’énergie libre conduit à un nouvel état d"équilibre plus ^stable.

ABERRATIONS DANS LE MIROIR PARABOLIQUE;

Par M. JEAN BLEIN.

On sait que le miroir parabolique ^est stig)ît(ttique pour ^un couple

de points conjugués, ^le point ^{à l’infini sur l’axe et le} foyer ^{F. D’ail-}

leurs il n’est pas aplanétique pour ^ces points ; ^la condition, d’aplané-

tisme d’Abbe des sinus) ^{est, dans le cas actuel, où l’m}

des points stigmatiques ^est rejeté ^{à l’infini et où la lumière se pro-}

page constamment dans l’air :

(e, ^diamètre apparent petit ^d’un objet ^à l’indni voisin de l’axe ; y’,

diamètre de l’image correspondante, fournie par les rayons qui

tombent près ^{du sommet du} miroir). On déduit de la J :

ce qui ^n’est évidemment pas réalisé.

Je me propose d’indiquer ^la position des focales sur un pinceau, parallèle ^avant réflexion, dont le rayon principal ^se propage dans ^un

plan ^méridien; le résultat est particulièrement simple. Je détermi-

nerai ensuite la forme de la tache d’aberration dans le plan ^focal