Quelques théorèmes généraux relatifs à l'électricité statique

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Submitted on 1 Jan 1874

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statique

J. Bertrand

To cite this version:

J. Bertrand. Quelques théorèmes généraux relatifs à l’électricité statique. J. Phys. Theor. Appl.,

1874, 3 (1), pp.73-77. �10.1051/jphystap:01874003007300�. �jpa-00237017�

73

QUELQUES

THÉORÈMES GÉNÉRAUX RELATIFS A L’ÉLECTRICITÉ STATIQUE;

PAR M. J. BERTRAND.

Les théorèmes suivants sont connus, mais il m’a paru intéres-

sant d’en donner une démonstration

simple qui

^{les rattache à un}

principe

commun, très-aisé lui-même à établir.

Si l’on considère deux

systèmes

^{de masses}

électriques, supposées

chacune concentrée en un

point mathématique,

^m

désignant

^celles

du

premier système

^{et m’ celles du}

^second,

^{V le}

potentiel

^{du pre-}

mier

système

^{relatif à un}

point

^de

l’espace

^{et V’ celui du}

^second,

on aura,

identiquement,

c’est-à-dire que la ^{somme des masses} élémentaires du

premier

sys-

tèlne, respectivement multipliées

par le

potentiel

^{du second sys-}

tèlne au

point qu’elles

occupent, ^est

égale

^{à la somme}

analogue

^re-

lative aux masses du second

système :

^{les sommes, bien}

entendu,

se

changeant

^en

intégrales lorsque

^{les masses}

occupent

^et

rem-

plissent

^un espace d’étendue finie.

Cette

proposition,

dont Gauss a fait un si

remarquable

usage, ^est

une pure ^identité. Si l’on

remplace

^les

potentiels

par les expres- sions que fournit la

définition,

^{les deux membres de}

(1)

^{se réduisent}

l’un et l’autre à la somme des

produits

^{obtenus en}

multipliant

deux masses m et ln’ l’une par l’autre ^{et divisant} le

produit

par la distance

qui

^les

sépare.

Si les deux

systèmes

considérés sont des corps conducteurs

A 1 , A2,..., ^An

recouverts

d’électricité,

^{et si}

l’équilibre

^{est établi de}

telle sorte que, ^dans le

premier système,

le corps

An

^{soit recouverte}

d’une couche dont la masse totale est

E1,

^et que pour ^tous les

points

de ce corps le

potentiel

^soit

’-1’

^{si enfin}

E’t

^et

V1

sont, dans le se-

cond système,

^{la masse}

électrique répandue

^sur

^A1

^{et le}

potentiel

relatif aux

points

^{de ce} corps, ^on aura,

d’après

^le théorème de

Gauss,

De là résultent

plusieurs

corollaires.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:01874003007300

corps

A1,

est soumis à

l’influence

^{d’une masse}

électrique égale

^{à l’unité}

concentrée ^{en zcn}

point

^extérieur

M,

^{il en résultera une distribu-}

tion dont le

potentiel

^{sur un}

^point quelconque

^{M’ est une}

fonc-

tion S)

métrique

des coordonnees de M et de M’.

Supposons,

^en

^eflet,

^{les deux}

points

^{M et M’ entourés chacun}

d’une

sphère

conductrice infiniment

petite,

^et considérons les deux états

d’équilibre

^{suivants :}

Le théorème

précèdent

^donnera

c’est-à-dirc

te

potentiel

^{en M dans le second}

système

^{est donc}

égal

^au

potentiel

en £I’ dans le

premier.

La

présence

^des

sphères

infiniment

petites qui

^{entourent les}

points

M et

M’,

^et

qui

^{dans les}

systèmes

considérés ont des

charges nulles,

ne peut évidemment altérer en rien V et

yT’,

^{car le}

potentiel

^{de ces}

sphères

^{sur leur centre est}

égal

^{à zéro.}

L’équation (a) exprime

le théorème énoncé.

THÉORÈME Il. ²⁰¹³ Un corps A étant ^à l’état _neutre, on suppose

une masse

électrique égale

^à l’unité concentrée en un

point

^exté-

t-i’piii-

1’1;

^le

potentiel

^de

^A,

^ainsi

électrisé,

^{sur un}

point

^exté-

rieur

est

^une

fonction symétrique

des coordonnées des

points

M ^et M’.

Après

^avoir

imaginé

^{les deux}

sphères

^{31 et 31’}

déjà employées

75 dans la démonstration du théorème

I,

considérons les deux états

d’équilibre

suivants :

L’équation (I) appliquée

^{à ces deux}

systèmes

^donnera

ce

qui

^est

l’expression

^{du théorème énoncé.}

THÉORÈME III. - Si ^un _corps

A,

^en communication avec le ré- servoir conimun, est soumis à

l’influence

^{d’une masse}

électrique égale

^{à l’unité} concentrée en un

point LVI,

^{il se}

chargera

^d’une

quantité

^E d’électricité. Le lieu des

points

pour

lesquels

^{E a la}

méme valeur ^{est une}

surface

^{de niveau}

relatif

^à l’attraction de la couche en

équilibre qui

peut ^{recouvrir la}

surface

^A.

Considérons,

^en

eflct,

^{deux états}

d’équilibre

du corps A ^et d’unc

sphère

infiniment

petite

^{située en Le}

premier

^{est l’état}

supposé

dans l’énoncé du

théorème,

^{et le second est celui}

qui

^se

produirait si,

^{A étant isolé ainsi} que

1B1,

^une

quantité

^E d’électricité était ré-

pandue

^{sur A.}

Nous _aurons, pour ^ces deux états :

L’équation (i)

^donnera

donc

V1 potentiels

distribuée ^sur A. et

qui

^n’est aucunement troublée par la

présence

de la

sphère

infiniment

petite

^{M, sur}

laquelle

^la

charge électrique

est nulle. Le rapport

V V1

^{est donc constant pour les}

^points

^d’une

surface de niveau relatif à l’attraction de la couche

qui

^{recouvre A.}

THÉORÈME IV. Soient deux _corps conducteurs

A,

^et

A2; .Ai

^étant

en communication avec le

sol, A2

^{est isolé et}

chargé

d’électricité (le manière à atteindre le

potentiel

^{V. Soit}

^El

^la

quantité

^d’élec-

tricité accumulée _par

influence

^sur

^{A1; A!}

^{étant mis en communi-}

cation avec le

sol, A1

^{est isolé et}

chargé

^{de telle sorte} gzce le ni-

veau

potentiel

^devienne

égal

^{à V. Soit}

^E2

^la

charge

acetintulée par

influence

^sur

^A2,

^{on aura}

Pour le

démontrer,

considérons deux états

d’équilibre

^définis

dans

l’énoncé,

nous aurons

L’équation (i)

^donne

et, par

conséquent,

THÉOREME V. ²⁰¹³ Si l’oiz considère uiz nombrer

quelconque

^de

conducteurs

isolés A1, A2,..., An, soient E1, E2,...,

^{En leurs}

charges respectives, ^{et N-1,} V 2., ..., Vn

^les

potentiels correspondants.

^Ces

potentiels s’expriment

linéairement Cil

fonction

^des

charges, et

l’on a

ap. Xp ^.:7.

étant,

pour ^un sj ^stènle donne de conducteurs, ^des

77

constantes

indépendantes

^de

^{E1, E2,...,}

^{En. On a de}

plus

La

première partie

du théorème résulte du

principe

^{évident de}

la

superposition possible

^{des états}

d’équilibre.

Si l’on considère successivement les états dans

lesquels

^toutes

les

charges

^{sont nulles}

excepté

^{une, les}

potentiels

^{sont éi-ideni-}

ment

proportionncls

^à

^celle-là,

^{et l’état dans}

lequel

^les

charges

sont

Ei, E2,..., ^En

^{est la}

superposition

^{de ces états}

partiels.

Cela

posé,

^{si nous} considérons deux états

d’équilibre

^{dans le} pre- mier

desquels

^{toutes les}

charges

^soient

nulles,

^à

l’exception

^de

Ep,

et toutes

nulles,

^{dans le}

second,

^à

l’exception

^de

Eq;

^{si les} poten-

tiels,

^{dans la}

première hypothèse,

^sont

^V1, V2,..., Vn, et,

^{dans la se-}

conde, V’1, V’2,..., Vn, on

^aura

et

l’équation (i) donne,

^en remarquant que

E1=

o,

E2=

o, ... ,

En=0,

c’est-à-dire

ou enfin

Si les

équations (a)

^étaient résolues par rapport ^à

E1, E2’...’ En,

on aurait

et

Cette

équation

^{est une}

conséquence algébrique

^{de la}

précédente,

^et

pourrait

d’ailleurs être établie directement d’une manière ^toute semblable.