MÉCANIQUE ET THERMODYNAMIQUE

MÉCANIQUE ET THERMODYNAMIQUE

I. Atmosphère et montgolfière (d’après Mines MP 2008, Physique II) I.1. Atmosphère en équilibre

a. Atmosphère isotherme

1. Une quantiténd’air occupant un volumeV vérifie l’équation d’état des gaz parfaitsP V =nRT_o, or la masse volumiqueµestµ=nM_e/V

µ=P M_e

RT_o (1)

2. Le système, particule de fluide centrée enM de volume dV à l’altitudez, subit son poidsρdV ~get les forces de l’air qui l’entourent−−−→

gradPdV.

M(x, y, z) ρdV ~g

P(x, y, z−dz/2)dxdy~u_z

−P(x, y, z+ dz/2)dxdy~u_z

P(x, y−dy/2, z)dxdz~u_y −P(x, y+ dy/2, z)dxdz~u_y

−P(x+ dx/2, y, z)dydz~u_x

P(x−dx/2, y, z)dydz~u_x

~ u_y

~ u_z

~ u_x

Le théorème de la résultante cinétique dans le référentiel terrestre supposé galiléen donne

−−→gradP=ρ~g

soit −−→

gradP =P M_e RT_o~g

(2)

Les projections selon ~u_x et~u_y indiquent que la pression ne dépend que dez; P(x, y, z) = P(z). La projection selon~u_zdonne

dP

dz =−M_eg RTo

P

soit P(z) =P_oexp

−z H

avec H=RT_o M_eg

(3)

3. R= 8,31 J.K⁻¹.mol⁻¹,T_o= 288 K,M_e= 0,8×M_N2+ 0,2×M_O2= 2×0,8×M_N+ 2×0,2×M_O= 1,6×14.10⁻³+ 0,4×16.10⁻³kg.mol⁻¹etg= 9,81 m.s⁻²donnent H= 8,5 km .

z_50%^iso vérifie ^P₂^o=P_oexp

−^z50%iso_H

, soit z_50%^iso =Hln 2 = 5,9 km.

b. Équilibre polytropique

4. La loi de la statique des fluides−−→

gradP=^{P M}_RT^e~gest toujours valable. Les projections selon~u_xet~u_ydonnent toujoursP(z).

Maintenant, la projection selon~uzdonne dP

dz =−M_eg RTP soit avecT(z) =T_o(1−αz), dP

dz =−M_eg RT_o × P

1−αz soit en séparant les variables, dP

P =−M_eg RT_o

dz 1−αz soit en intégrant entrez= 0 etz, ln

P P0

= M_eg

αRT_oln (1−αz) Finalement, P=P_o(1−αz)^β avec β= M_eg

αRT_o= 1 αH

(4)

Ensuite,

µ(z) =nM_e V =P M_e

RT =P_oM_e RTo

| {z}

=µo

×(1−αz)^β 1−αz

soit µ(z) =µ_o(1−αz)^β−1 avec µ_o=P_oM_e RT_o

(5)

5. z^pol_50%vérifie^P₂^o=P_o(1−αz_50%^pol)^β, soitz_50%^pol =z_o 1−¹₂

RTo Megzo

! .

z_o = 33 km ; R = 8,31 J.K⁻¹.mol⁻¹; T_o = 288 K ; M_e = 29 g.mol⁻¹ et g = 9,81 m.s⁻² donnent z_50%^pol = 5,4 km .

On obtientz^pol_50% etz_50%^iso du même ordre de grandeur ; ce qui était attendu car la variation relative de température dans le second modèle surz_50%^iso est de l’ordre de (T_o−T(z_50%^pol))/T_o'20%. Ainsi, àz^pol_50%, la température reste de l’ordre deT_oet qualitativement, les deux modèles reviennent au même.

Quantitativement, z_50%^pol < z^iso_50%, ce qui était également attendu car^dP_dzest proportionnel à _T¹. Par conséquent, lorsqueT diminue,^dP_dzaugmente ce qui signifie que dans le second modèle, la pressionP diminue plus vite avec l’altitude que dans le premier modèle, ce quez^pol_50%< z_50%^iso permet de mettre en évidence.

6. T = 288,14−6,94z = 288,14×1−_288,14^6,94z On obtient T =T_o(1−z/z_o) avec T_o = 288,14 K et z_o= 288,14/6,94 = 41,5 km. Ainsi les données ont la possibilité de correspondre au modèle polytropique si on posez_o= 41,5 km et non 33 km.

Ensuite,P = 1,01(T /288,08)^5,26= 1,01×^288,14_288,08^5,26×1−_z^z

o

5,26

. Ceci correspond au modèle poly- tropique siP_o= 1,01×^288,14_288,08^5,26= 1,01 bar, et si^z_H^o= 5,26 ; soitH= 7,89 km.

L’écart entre l’estimation deH due aux régressions et l’estimation deHavec le modèle du gaz parfait provient sans doute du fait de l’écart de comportement de l’air par rapport au gaz parfait. L’écart relatif entre les deux valeurs est de 8%.

Par conséquence, on peut appliquer le modèle de l’atmosphère polytropique sur une altitude de l’ordre de 10 km si une précision de l’ordre de 10% suffit. Ensuite, plus l’alititude sera faible, meilleur sera la précision.

7. On am_i=n_iM_e= ^Pi_RT^V0Me

i . Or il est écrit “L’ouverture inférieure de l’enveloppe permet de réaliser en permanence l’équilibre de pression entre l’air froid extérieur et l’air chaud intérieur” doncP_i=P_e. Ainsi

m_i=^Pe_RT^V0Me

i . De plus, l’air étant assimilé à un gaz parfaitµ_e=^P_RT^eMe

e donc m_i=µ_eV0

Te

T_i . (6)

8.

montgolfière poids (m+m_i)~g

poussée d’archimède−µ_eV0~g

(m+m_i)~g=µ_eV0~g, orµ_eV0=m_i×^T_Tⁱ

edonc m=m_i

T_i T_e−1

(7)

9. Enz=z_m,

m=µ_eV0

avecµ_e(z) =µ0(1−αz)^β−1, m=µ_oV0(1−αz_m)^β−1 ce qui donne z_m=z_o 1−

m µ_oV0

_β−1¹ ! .

(8)

z_o= 40 km ;m= 500 kg ;µ_o=^P_RT^oMe

o = 1,22 kg.m⁻³;V0= 2000 m³etβ= 5 donnent z_m= 13 km . 10. Pour que la montgolfière décolle, il faut

µ0V0g

|{z} poussée d’Archimède enz= 0

> (m+m_i)g

| {z } poids de la montgolfière

soit m+ µ0V0

T0

T_i

| {z } formulemi=µeV0Te

Ti enz=0

< µ0V0

ce qui donne Ti> T0

1−_µ^m

0V0

à condition quem < µoV0.

(9)

On retrouve queT_idoit être supérieure à une températureT_davec T_d=₁₋^Tom µ0V0

. T_o= 288 K ;m= 500 kg ;µ_o=^P_RT^oMe

o = 1,22 kg.m⁻³etV0= 2000 m³donnent T_d= 362 K .

11. Supposons qu’une montgolfière descende et qu’à un instant donné, la descente aille plus vite que le refroi- dissement du ballon, c’est-à-dire que, enz−dz, la températureT_ide la montgolfière correspond à l’état d’équilibre enz.

Ti,n^∗_i,u²_i

z T_e,n^∗_e,u²_e

T_i,f,n^∗_i,u²_i,f

z−dz T_e,n^∗_e,u²_e

Pour le raisonnement qui suit, on utilise les notations de la théorie de la cinétique des gaz parfaits.

L’équilibre des forces se ramène àn^∗_eV0m_air=m+n^∗_iV0m_air, avecm_airla masse moyenne d’une molécule d’air.

L’équilibre des pressions se ramène àn^∗_eu²_e=n^∗_iu²_i.

— Si enz−dz, la températureT_i,f est fixée à une valeur inférieure à celle de l’équilibreT_i,eq, alors u_i,f< ui,eq.

— Pour retrouver l’équilibre des pressions,n^∗_eu²_e =n^∗_iu²_i, sachant que de plusn^∗_eu²_e a augmenté par rapport à la situation enz,n^∗_i,faugmente (on observe bien un échange de matière des hautes pressions vers les faibles pressions) et ceci jusqu’à avoir équilibre des pressionsn^∗_i,f=n^∗_i,eq^u

2 i,eq u²_i,f > n^∗_i,eq.

— Le fait quen_i,f(z−dz) soit inférieur àn_i(z) correspond bien à une descente, normalement contre- balancée par la poussée d’Archimèden^∗_eV0m_airg. Cependant,n^∗_i,f > n^∗_i,eqdoncm_i,f > m_i,eqet la descente se poursuit ...

Ainsi, dans cette situation, il est nécessaire de descendre suffisamment lentement pour que la thermalisation du ballon soit aussi ou plus rapide que la descente.

12.On veut

T_i⁰(0)>0 soit βm > µ0V0

ce qui donne V0< V_max avec V_max=βm µ0

(10)

β= 5,m= 500 kg etµ_o=^P_RT^oMe

o = 1,22 kg.m⁻³donnent V_max= 2,05×10³m³. On veut

T_d< T_max soit T_o

1−_µ^m

oV0

< T_max

ce qui donne V0> Vmin avec Vmin=m µ0

× 1 1−_T^To

max

(11)

m= 500 kg,µ_o=^P_RT^oMe

o = 1,22 kg.m⁻³,T_o= 288 K etT_max= 373 K donnent V_min= 1,80×10³m³. Ensuite,zm=z0

1−_µ^m

oV0

_β−1¹

. Ainsi,zo= 40 km,m= 500 kg,µo=^P_RT^oMe

o = 1,22 kg.m⁻³,β= 5

— etV0=V_max= 2050 m³donnent z_m,max= 13 km ;

— etV0=Vmin= 1800 m³donnent zm,min= 12 km ;

II. Equivalent mésoscopique de l’équilibre liquide vapeur (d’après Aarts et al, Science 304, 847, 2004)

1. L’interface eau-air présente des motifs de l’ordre de l’angstrom, motifs qui vont donc très largement diffracté la lumière car l’angstrom est très petit devant les longueurs d’onde visibles. La très grande majorité des rayons lumineux étant diffracté, l’optique géométrique ne s’applique plus et on ne peut construire l’image de l’interface.

2.

distance interparticuler énergie potentielle

d’interactionE_int

Interaction attractive lorsque rest de l’ordre de quelques a, attraction due aux interac-

tions de Van der Waals (pa- tienter jusqu’en 2ème année) Interaction à courte

distance répulsive, les nuages électroniques ne peuvent d’interpénétrer.

II.1. La répulsion : modèle de sphères dures

3. LorsqueD <2R_b, les deux gros colloïdes s’interpénètrent ce qui est impossible ! On parle de répulsion stérique (stérique = relatif à la géométrie). L’énergie potentielle d’interaction est l’énergie à fournir pour

D R_b

Impossible !

D R_b

Figure1 – Schématisation de deux colloïdes mous puis durs.

constituer le système, les colloïdes étant immobiles, Moins les colloïdes sont déformables, plus cette énergie nécessaire, et doncE_intest élevée et tend vers l’infini dans la limite de colloïdes infiniment durs, ie non déformables strictement.

II.2. L’attraction : interaction de déplétion 4.

5. Chacun des types de colloïdes est considéré comme un gaz parfait. Notonsu_s, resp.m_s, la vitesse qua- dratique moyenne, resp. la masse, des petits colloïdes etu_b, resp.m_b, celles des gros colloïdes. Ainsi, la définition de la température cinétique est

1 2m_su²_s=3

2k_BT et 1 2m_bu²_b=3

2k_BT On en déduit u²_b=m_s

m_bu²_s.

Commem_sm_b, alors u_bu_s , on suppose donc u_b= 0

(12)

6. Cf démonstration cours.

gaz de petits colloïdes

paroi du gros colloïde à l’échelle des petits colloïdes

m_s u_s~u_y m_s

u_s~u_y

m_s

−u_s~u_z

Avant les chocs ent

S

u_sdt contient

n^∗_sSu_sdtpetits colloïdes, seuls 1/6 ont la direc- tion et le sens adéquates pour entrer en colli- sion avec le gros colloïde

~ u_y

~ u_z

~ u_x

m_s

−us~u_y m_s

−us~u_y

m_s

−u_s~u_z Après les chocs ent+ dt

S

u_sdt

Lors d’un choc, la quantité de mouvement~p_sd’un petit colloïde varie de d~p_s=−2msu_s~u_y. Cette variation est due à la force exercée par le gros colloïde sur le petit.

Choisissons comme système les ¹₆n^∗_sSu_sdtpetits colloïdes qui entrent en collision sur la paroiSdu gros colloïde pendant dt.

Alors le théorème de la résultante cinétique donne 1

6n^∗_sSu_sdt×(−2msu_s~u_y) =−PsS~u_y×dt soit P =1

n^∗mu²

(13)

7.

a)

dF~=−P_sR²_bsinθdθdϕ~u_r

dF~=−PsR²_bsinθdθdϕ~u_r

Lorsque le second colloïde est très loin, il ne modifie pas les collisions entre les petits colloïdes et le premier gros colloïde. Ainsi, les collisions habituelles donnent lieu à des forces pressantes dont la résultante est nulle par symétrie. En choisissant un repère sphérique centré sur le gros colloïde, la contribution en (R_b, θ, ϕ) s’annule avec la contribution en (R_b, π−θ, ϕ+π).

b)La relationF_int(D) =−^dEint_dD^(D) avecF_int(D) la force d’interaction, soit la force du premier col- loïde sur le second, permet d’obtenirE_int(D) =constante lorsqueD≥2R_b+ 2r_s.E_intétant éga- lement l’énergie nécessaire pour constituer le système à partir d’un état sans interaction, on pose

E_int(D) = 0 lorsqueD≥2R_b+ 2r_s. 8.

z

y

x

M

H R_b θ

ϕ

Les petits colloïdes ne peuvent s’intercaler entre les deux gros colloïdes

9. On voit sur le schéma que les collisions entre les petits et les gros colloïdes ne peuvent avoir lieu siθest trop petit car alors il ne peut y avoir tout simplement pas de petits colloïdes. La situation étant invariante par rotation autour de l’axe (Oz), le schéma suivant se restreint à un planϕfixé. A la limite, on a

D 2r_s

z

α

R_bcosα

αest donc déterminé par

2R_bcosα+ 2r_s=D soit cosα=D−2r_s

2R_b

(14)

10.

θ∈[α;π] et ϕ∈[0; 2π[ (15)

11.

d²S~=R²_bsinθdθdϕ~u_r et d²F~_pression=−P_sd²S~=−P_sR²_bsinθdθdϕ~u_r (16) 12.Seule la composante selon~u_zcontribue àF~_pression, la seconde composante ne contribue pas ce qu’on peut

constater en profitant de la symétrie due à la rotation deπautour de l’axe (Oz).

z

d²F~_pression(θ, ϕ) θ

d²F~_pression(θ, ϕ+π)

π−θ

13. Ainsi

F~_pression= ˆ π

θ=α

ˆ2π ϕ=0

−PsR²_bsinθdθdϕ~u_r F~_pression=

ˆ π θ=α

ˆ2π ϕ=0

−1

3n^∗_sm_su²_sR²_bsinθcosθdθdϕ~u_z F~_pression=−π

3n^∗_sm_su²_sR²_b^hsin²θ^iπ

θ=α~u_z F~_pression=π

3n^∗_sm_su²_sR²_bsin²α~u_z F~pression=π

3n^∗_smsu²_sR²_b(1−cos²α)~uz

F~_pression=π

3n^∗_sm_su²_sR²_b 1−(D−2r_s)² 4R_b²

!

~ u_z

F~_pression= π

12n^∗_sm_su²_s4R²_b−(D−2r_s)²~u_z F~_pression= π

12n^∗_sm_su²_s(2R_b−D+ 2r_s)) (2R_b+D−2r_s))~u_z soit F~_pression=π

3n^∗_sm_su²_s(R_b−D/2 +r_s)(R_b+D/2−r_s)~u_z

(17)

14. On a

F~_pression=F~colloïde 2→colloïde 1

Ainsi F~colloïde 1→colloïde 2=−F~colloïde 2→colloïde 1

ce qui donne F~colloïde 1→colloïde 2=−π

3n^∗_sm_su²_s(R_b−D/2 +r_s)(R_b+D/2−r_s)~u_z

(18)

Ainsi

dE_int(D)

dD =−F~colloïde 1→colloïde 2.~u_z=π

3n^∗_sm_su²_s(R_b−D/2 +r_s)(R_b+D/2−r_s) dE_int(D)

dD =−π

3n^∗_sm_su²_s(D/2−R_b−r_s)(D/2 +R_b−r_s) dE_int(D)

dD =−π

3n^∗_sm_su²_s D²

4 −r_sD−(R²_b−r²_s)

!

d’où E_int(D) =−π

3n^∗_sm_su²_s D³ 12−r_s

2D²−(R²_b−r²_s)D+K

!

(19)

avecKconstante d’intégration.

15.Kest tel que

E_int(2R_b+ 2r_s) = 0 soit (2R_b+ 2r_s)³

12 −r_s

2(2R_b+ 2r_s)²−(R²_b−r²_s)(2R_b+ 2r_s) +K= 0 soit K=−(2R_b+ 2r_s)³

12 +r_s

2(2R_b+ 2r_s)²+ (R²_b−r²_s)(2R_b+ 2r_s) K= (2R_b+ 2r_s) −(2R_b+ 2rs)²

12 +rs

2(2R_b+ 2r_s) + (R²_b−r²_s)

!

K= (2R_b+ 2r_s)R²_b(−1/3 + 1) +R_br_s(−2/3 + 1) +r²_s(−1/3 + 1−1) Finalement K=2

3(R_b+rs)²(2R_b−rs)

et E_int(D) =−^π₃n^∗_sm_su²_s^D₁₂³−^r₂^sD²−(R²_b−r_s²)D+²₃(R_b+r_s)²(2R_b−r_s)

=−₃₆^πn^∗_sm_su²_s[D−(2R_b+ 2r_s)]²[D+ 4R_b−2r_s]

(20)

Remarque : on sait queE_int(D)∝[D−(2R_b+ 2r_s)]²carE_int(2R_b+ 2r_s) = 0 etE⁰_int(2R_b+ 2r_s) = 0.

16.

D E_int(D)

2R_b+ 2r_s 2R_b

17.Une valeur caractéristique deE_int(D) estE_int(2R_b) =−₃₆^πn^∗_sm_su²_s×4r²_s×(6R_b−2r_s), soit E_int,typ=^2π₉n^∗_sm_su²_sr_s²(3R_b−r_s) . 18.A la transition liquide colloïdal-gaz colloïdal,

E_int,typ∼E_c,typ soit 2π

9n^∗_sm_su²_sr²_s(3R_b−r_s)∼3 2k_BT 2π

9n^∗_s×3

2k_BT×r_s²(3R_b−r_s)∼3 2k_BT ce qui donne n^∗∼ 9

× 1

(21)