Oxyz~gθG I.Rotationàvitesseangulairevariable(d’aprèsMinesMP2005,PhysiqueI) ElémentsdecorrectionsurleDSdePhysiquen 8

Eléments de correction sur le DS de Physique n

8

PCSI 1, année 2015-2016

Thèmes : solide en rotation, gaz parfait, statique des fluides.

I. Rotation à vitesse angulaire variable (d’après Mines MP 2005, Physique I)

1. On étudie

— le système cheminée,

— dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

— La cheminée subit alors comme forces :

•son poidsP~auquel est associé le momentM~_P~(O) enOde composante selon l’axe (Oz) M_~

P ,z(O) = −

|{z}

rotation négative

M g× D 2cosθ

| {z } bras de levier

(1)

•la réaction du solR~de moment nul, la liaison étant supposée parfaite.

Ainsi le théorème du moment cinétique, appliqué enOet projété sur l’axe (Oz), donne J_Oθ¨=−M gD

2cosθ soit ¨θ=−3g

2Dcosθ

(2)

2. NotonsE,E_c,E_ples énergies mécanique, cinétique et potentielle de la cheminée.

A chaque instantt,

•E=E_c+E_p;

•E_c=1 2J_Oθ˙²=1

2M~v²_G+1 2J_Gθ˙²=1

6M D²θ˙²;

•E_pest l’énergie potentielle de pesanteur, soitE_p=M gy_G=M gD

2sinθ, on a choisiE_p= 0 lorsque y_G= 0.

OrEest conservée, toute cause de dissipation d’énergie ayant été négligée, ie frottements de l’air et dissipation de l’énergie au niveau de la liaison pivot considérée comme parfaite. Ainsi

E(t) =E(0) soit 1

6M D²θ˙²+M gD

2sinθ=M gD 2 et θ˙²=3g

D(1−sinθ)

(3)

En dérivant par rapport au temps, puis en simplifiant par 2 ˙θ non nul lorquet > 0, on retrouve bien θ¨=−3g

2Dcosθ.

O

x y

z

~ g

θ G

P~ D

bras de levier D

2cosθ R~

Figure1 – Bilan des forces sur le système cheminée

3. La cheminée vérifie également le théorème de la résultante cinétique M~a_G=P~+R~

or −−→ OG=D

2~u, ~v_G=D 2

θ~˙v et~a_G=−D 2

θ˙²~u+D 2

θ~¨v d’où −MD

2

θ˙²~u+MD 2

θ~¨v=P~+R~

soit

−MD 2

θ˙²=−M gsinθ+R_u MD

2

¨θ=−M gcosθ+R_v

et

R_u = M g 5

2sinθ−3 2

R_v = 1 4M gcosθ

(4)

4. La cheminée étant modélisée par un cylindre homogène, m=M× d D. Pour la même raison,G_pest le milieu géométrique de la portionOPdonc −−→

OG_p=d 2~u. 5. On étudie

— le système portionOPde la cheminée,

— dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

— La portion de cheminée subit alors comme forces :

•son poidsMd D~g;

•la réaction du solR~;

•l’action de la partie supérieur de la cheminéeS~ Ainsi le théorème de la résultante cinétique, projété sur~v, donne

Md D×d

2

θ¨=−Md

Dgcosθ+R_v+S_v soit S_v=−M

4gcosθ

3d D−1 d

D−1

(5)

6. L’effort de cisaillement est le plus important lorsqued= 0, soit à la base de la cheminée, point où la cheminée aura tendance à s’effriter.

7. Le théorème de moment cinétique appliqué au système portion de cheminée, appliqué enOet projeté sur l’axe (Oz), donne

md² 3

θ¨= −mgd 2cosθ

| {z } contribution du poids

+S_v×d+C

On retrouve bien C=1 4M gdcosθ

d D−1

2

en remplaçant ¨θetS_vpar les expressions trouvées précedemment.

(6)

8. On peut écrireC commeC=1

4M gDcosθ× d D

d D−1

2

. ConsidéronsCcomme une fonction ded/D alorsC(0) =C(1) = 0.

O

x y

z

~ g

θ

Md D~g R~

~ u

~ v

P

S

S

d

G

Figure2 – Bilan des forces sur le système portionOPde cheminée

d D S_v

d=D 3 S_v= 0

d=D

S_v= 0

Figure3 – Allure de la fonctionS_v(d/D) àθfixé

d D C

d=D 3

d=D

Figure4 – Allure de la fonctionC(d/D) àθfixé De plus,

C⁰(d/D) = constante×

3d D−1 d

D−1

(7) d’où

Ainsi si la cheminée se brise à cause d’un couple trop fort, la cheminée se brisera end=D/3.

Sur les deux photographies présentées, on observe sur celle de gauche que la cheminée se brise au milieu tandis que sur celle de droite, elle se brise près de sa base. On peut donc conjecturer que la cheminée de gauche s’est brisé à cause d’un couple trop important, la partie supérieure a tendance à effectuer une rotation trop rapide par rapport à la partie inférieure tandis que sur celle de droite, la cheminée s’est brisé à cause d’un effort de cisaillement trop important, la partie supérieure a tendance à effectuer un mouvement de translation trop lent par rapport à la partie inférieure.

On peut constater que les ordres de grandeur sont corrects mais quantitativement 1/26= 1/3. Ces diffé- rences peuvent s’expliquer par plusieurs simplifications introduites dans le modèle :

— liaison pivot parfaite,

— homogénéité de la cheminée,

— et surtout rayon de la cheminée négligeable devant sa hauteur. Les photographies suivantes sont tirées de “Toy models for the falling chimney” écrit par Variesch et Kamiya :

Figure5 – IciHhauteur totale,adiamètre de la cheminée,rlongueur de la portion inférieure au delà de laquelle apparaît la brisure,thetaangle de la brisure.

II. Atmosphère et montgolfière (d’après Mines MP 2008, Physique II)

II.A. Atmosphère en équilibre a. Atmosphère isotherme

9. Une quantiténd’air occupant un volumeV vérifie l’équation d’état des gaz parfaitsP V =nRT_o, or la masse volumiqueµestµ=nMe/V

µ=P M_e

RT_o (8)

10.Le système, particule de fluide centrée enM de volume dV à l’altitudez, subit son poidsρdV ~get les forces de l’air qui l’entourent−−−→

gradPdV.

M(x, y, z) ρdV ~g

P(x, y, z−dz/2)dxdy~uz

−P(x, y, z+ dz/2)dxdy~u_z

P(x, y−dy/2, z)dxdz~u_y −P(x, y+ dy/2, z)dxdz~u_y

−P(x+ dx/2, y, z)dydz~u_x

P(x−dx/2, y, z)dydz~u_x

~ u_y

~ u_z

~ u_x

Le théorème de la résultante cinétique dans le référentiel terrestre supposé galiléen donne

−−→gradP=ρ~g soit −−→

gradP=P Me

RT_o~g (9)

Les projections selon ~u_x et~u_y indiquent que la pression ne dépend que dez;P(x, y, z) = P(z). La projection selon~u_zdonne

dP

dz =−M_eg RT_oP soit P(z) =P_oexp

−z H

avec H=RTo

M_eg

(10)

11.R= 8,31 J.K⁻¹.mol⁻¹,T_o= 288 K,M_e= 0,8×M_N2+ 0,2×M_O2= 2×0,8×M_N+ 2×0,2×M_O= 1,6×14.10⁻³+ 0,4×16.10⁻³kg.mol⁻¹etg= 9,81 m.s⁻²donnent H= 8,5 km .

z^iso_50%vérifieP_o

2 =P_oexp −z^iso_50%

H

!

, soit z_50%^iso =Hln 2 = 5,9 km.

b. Équilibre polytropique

12.La loi de la statique des fluides−−→

gradP = P M_e

RT ~g est toujours valable. Les projections selon~u_x et~u_y donnent toujoursP(z).

Maintenant, la projection selon~u_zdonne

dP dz =−M_eg

RTP soit avecT(z) =T_o(1−αz), dP

dz =−M_eg RT_o× P

1−αz soit en séparant les variables, dP

P =−M_eg RT_o

dz 1−αz soit en intégrant entrez= 0 etz, ln

P P0

= M_eg

αRT_oln (1−αz) Finalement, P =P_o(1−αz)^β avec β= M_eg

αRT_o= 1 αH

(11)

Ensuite,

µ(z) =nM_e V =P M_e

RT =P_oM_e RT_o

| {z}

=µo

×(1−αz)^β 1−αz

soit µ(z) =µ_o(1−αz)^β−1 avec µ_o=P_oM_e RT_o

(12)

13. z_50%^pol vérifie Po

2 =P_o(1−αz_50%^pol)^β, soitz_50%^pol =z_o 1− 1

2 _Megzo^RTo !

.

zo = 33 km ; R = 8,31 J.K⁻¹.mol⁻¹;To = 288 K ; Me = 29 g.mol⁻¹ etg = 9,81 m.s⁻² donnent z_50%^pol = 5,4 km .

On obtientz_50%^pol etz_50%^iso du même ordre de grandeur ; ce qui était attendu car la variation relative de température dans le second modèle surz^iso_50%est de l’ordre de (T_o−T(z^pol_50%))/T_o'20%. Ainsi, àz_50%^pol, la température reste de l’ordre deT_oet qualitativement, les deux modèles reviennent au même.

Quantitativement,z_50%^pol < z_50%^iso, ce qui était également attendu car

dP dz

est proportionnel à 1 T. Par conséquent, lorsqueT diminue,

dP dz

augmente ce qui signifie que dans le second modèle, la pressionP diminue plus vite avec l’altitude que dans le premier modèle, ce quez_50%^pol < z^iso_50%permet de mettre en évidence.

14. T = 288,14−6,94z= 288,14×

1− 6,94 288,14z

On obtientT =T_o(1−z/z_o) avecT_o= 288,14 K et z_o= 288,14/6,94 = 41,5 km. Ainsi les données ont la possibilité de correspondre au modèle polytropique si on posez_o= 41,5 km et non 33 km.

Ensuite, P = 1,01(T /288,08)^5,26 = 1,01× 288,14

288,08 5,26

×

1− z z_o

5,26

. Ceci correspond au modèle polytropique siP_o= 1,01×

288,14 288,08

5,26

= 1,01 bar, et sizo

H= 5,26 ; soitH= 7,89 km.

L’écart entre l’estimation deHdue aux régressions et l’estimation deH avec le modèle du gaz parfait provient sans doute du fait de l’écart de comportement de l’air par rapport au gaz parfait. L’écart relatif entre les deux valeurs est de 8%.

Par conséquence, on peut appliquer le modèle de l’atmosphère polytropique sur une altitude de l’ordre de 10 km si une précision de l’ordre de 10% suffit. Ensuite, plus l’alititude sera faible, meilleur sera la précision.

15. On am_i=n_iM_e=PiV0Me

RT_i . Or il est écrit “L’ouverture inférieure de l’enveloppe permet de réaliser en permanence l’équilibre de pression entre l’air froid extérieur et l’air chaud intérieur” doncP_i=P_e. Ainsi

m_i=P_eV0M_e

RT_i . De plus, l’air étant assimilé à un gaz parfaitµ_e=P_eM_e RT_e donc m_i=µ_eV0

T_e

T_i . (13)

16.

montgolfière poids (m+m_i)~g

poussée d’archimède−µeV0~g

(m+m_i)~g=µ_eV0~g, orµ_eV0=m_i×T_i T_e donc m=mi

T_i T_e−1

(14)

17.Enz=z_m,

m=µ_eV0

avecµ_e(z) =µ0(1−αz)^β−1, m=µ_oV0(1−αz_m)^β−1 ce qui donne z_m=z_o 1−

m µ_oV0

_β−1¹ ! .

(15)

z_o= 40 km ;m= 500 kg ;µ_o=P_oM_e

RT_o = 1,22 kg.m⁻³;V0= 2000 m³etβ= 5 donnent z_m= 13 km . 18.Pour que la montgolfière décolle, il faut

µ0V0g

|{z} poussée d’Archimède enz= 0

> (m+m_i)g

| {z } poids de la montgolfière

soit m+ µ0V0

T0

T_i

| {z } formulemi=µeV0Te

Tienz=0

< µ0V0

ce qui donne T_i> T0

1−_µ^m

0V0

à condition quem < µ_oV0.

(16)

On retrouve queT_idoit être supérieure à une températureT_davec T_d= T_o 1−_µ^m

0V0

. T_o= 288 K ;m= 500 kg ;µ_o=P_oM_e

RT_o = 1,22 kg.m⁻³etV0= 2000 m³donnent T_d= 362 K .

19.Supposons qu’une montgolfière descende et qu’à un instant donné, la descente aille plus vite que le refroi- dissement du ballon, c’est-à-dire que, enz−dz, la températureT_ide la montgolfière correspond à l’état d’équilibre enz.

T_i,n^∗_i,u²_i

z T_e,n^∗_e,u²_e

T_i,f,n^∗_i,u²_i,f

z−dz T_e,n^∗_e,u²_e

Pour le raisonnement qui suit, on utilise les notations de la théorie de la cinétique des gaz parfaits.

L’équilibre des forces se ramène àn^∗_eV0m_air=m+n^∗_iV0m_air, avecm_airla masse moyenne d’une molécule d’air.

L’équilibre des pressions se ramène àn^∗_eu²_e=n^∗_iu²_i.

— Si enz−dz, la températureT_i,f est fixée à une valeur inférieure à celle de l’équilibreTi,eq, alors u_i,f< u_i,eq.

— Pour retrouver l’équilibre des pressions,n^∗_eu²_e = n^∗_iu²_i, sachant que de plusn^∗_eu²_e a augmenté par rapport à la situation enz,n^∗_i,faugmente (on observe bien un échange de matière des hautes pressions vers les faibles pressions) et ceci jusqu’à avoir équilibre des pressionsn^∗_i,f=n^∗_i,equ²_i,eq

u²_i,f > n^∗_i,eq.

— Le fait quen_i,f(z−dz) soit inférieur àn_i(z) correspond bien à une descente, normalement contre- balancée par la poussée d’Archimèden^∗_eV0m_airg. Cependant,n^∗_i,f > n^∗_i,eq doncm_i,f > m_i,eq et la descente se poursuit ...

Ainsi, dans cette situation, il est nécessaire de descendre suffisamment lentement pour que la thermalisation du ballon soit aussi ou plus rapide que la descente.

20. On veut

T_i⁰(0)>0 soit βm > µ0V0

ce qui donne V0< V_max avec V_max=βm µ0

(17)

β= 5,m= 500 kg etµ_o=P_oM_e

RT_o = 1,22 kg.m⁻³donnent V_max= 2,05×10³m³. On veut

T_d< Tmax

soit T_o 1−_µ^m

oV0

< T_max

ce qui donne V0> V_min avec V_min=m µ0

× 1 1−_T^To

max

(18)

m= 500 kg,µ_o=P_oM_e

RT_o = 1,22 kg.m⁻³,T_o= 288 K etT_max= 373 K donnent V_min= 1,80×10³m³. Ensuite,z_m=z0 1−

m µ_oV0

_β−1¹ !

. Ainsi,z_o= 40 km,m= 500 kg,µ_o=P_oM_e

RT_o = 1,22 kg.m⁻³,β= 5

— etV0=V_max= 2050 m³donnent z_m,max= 13 km ;

— etV0=V_min= 1800 m³donnent z_m,min= 12 km ;

III. Equivalent mésoscopique de l’équilibre liquide vapeur (d’après Aarts et al, Science 304, 847, 2004)

21.L’interface eau-air présente des motifs de l’ordre de l’angstrom, motifs qui vont donc très largement diffracté la lumière car l’angstrom est très petit devant les longueurs d’onde visibles. La très grande majorité des rayons lumineux étant diffracté, l’optique géométrique ne s’applique plus et on ne peut construire l’image de l’interface.

22.

distance interparticuler énergie potentielle

d’interactionE_int

Interaction attractive lorsque rest de l’ordre de quelques a, attraction due aux interac-

tions de Van der Waals (pa- tienter jusqu’en 2ème année) Interaction à courte

distance répulsive, les nuages électroniques ne peuvent d’interpénétrer.

III.A. La répulsion : modèle de sphères dures

23.LorsqueD <2R_b, les deux gros colloïdes s’interpénètrent ce qui est impossible ! On parle de répulsion stérique (stérique = relatif à la géométrie). L’énergie potentielle d’interaction est l’énergie à fournir pour

D R_b

Impossible !

D R_b

Figure6 – Schématisation de deux colloïdes mous puis durs.

constituer le système, les colloïdes étant immobiles, Moins les colloïdes sont déformables, plus cette énergie nécessaire, et doncE_intest élevée et tend vers l’infini dans la limite de colloïdes infiniment durs, ie non déformables strictement.

III.B. L’attraction : interaction de déplétion 24.

25. Chacun des types de colloïdes est considéré comme un gaz parfait. Notonsu_s, resp.m_s, la vitesse qua- dratique moyenne, resp. la masse, des petits colloïdes etu_b, resp.m_b, celles des gros colloïdes. Ainsi, la définition de la température cinétique est

1 2m_su²_s=3

2k_BT et 1 2m_bu²_b=3

2k_BT On en déduit u²_b=m_s

m_bu²_s.

Commem_sm_b, alors u_bu_s , on suppose donc u_b= 0

(19)

26. Cf démonstration cours.

gaz de petits colloïdes

paroi du gros colloïde à l’échelle des petits colloïdes

m_s us~uy

m_s us~uy

m_s

−u_s~u_z

Avant les chocs ent

S

u_sdt contient

n^∗_sSu_sdtpetits colloïdes, seuls 1/6 ont la direc- tion et le sens adéquates pour entrer en colli- sion avec le gros colloïde

~u_y

~u_z

~u_x

m_s

−us~uy

m_s

−us~uy

m_s

−u_s~u_z Après les chocs ent+ dt

S

u_sdt

Lors d’un choc, la quantité de mouvement~p_sd’un petit colloïde varie de d~p_s=−2m_su_s~u_y. Cette variation est due à la force exercée par le gros colloïde sur le petit.

Choisissons comme système les 1

6n^∗_sSu_sdtpetits colloïdes qui entrent en collision sur la paroiS du gros colloïde pendant dt.

Alors le théorème de la résultante cinétique donne 1

6n^∗_sSu_sdt×(−2m_su_s~u_y) =−P_sS~u_y×dt soit Ps=1

3n^∗_smsu²_s

(20)

27.

27.a)

dF~=−PsR²_bsinθdθdϕ~u_r

dF~=−PsR²_bsinθdθdϕ~u_r

Lorsque le second colloïde est très loin, il ne modifie pas les collisions entre les petits colloïdes et le premier gros colloïde. Ainsi, les collisions habituelles donnent lieu à des forces pressantes dont la résultante est nulle par symétrie. En choisissant un repère sphérique centré sur le gros colloïde, la contribution en (R_b, θ, ϕ) s’annule avec la contribution en (R_b, π−θ, ϕ+π).

27.b) La relationFint(D) =−dE_int(D)

dD avecFint(D) la force d’interaction, soit la force du premier col- loïde sur le second, permet d’obtenirE_int(D) =constante lorsqueD≥2R_b+ 2r_s.E_intétant éga- lement l’énergie nécessaire pour constituer le système à partir d’un état sans interaction, on pose

E_int(D) = 0 lorsqueD≥2R_b+ 2r_s. 28.

z

y

x

M

H R_b θ

ϕ

Les petits colloïdes ne peuvent s’intercaler entre les deux gros colloïdes

29.On voit sur le schéma que les collisions entre les petits et les gros colloïdes ne peuvent avoir lieu siθest trop petit car alors il ne peut y avoir tout simplement pas de petits colloïdes. La situation étant invariante par rotation autour de l’axe (Oz), le schéma suivant se restreint à un planϕfixé. A la limite, on a

D 2r_s z

α

R_bcosα

αest donc déterminé par

2R_bcosα+ 2r_s=D soit cosα=D−2r_s

2R_b

(21)

30.

θ∈[α;π] et ϕ∈[0; 2π[ (22)

31.

d²S~=R²_bsinθdθdϕ~u_r et d²F~_pression=−Psd²S~=−PsR²_bsinθdθdϕ~u_r (23) 32. Seule la composante selon~u_zcontribue àF~_pression, la seconde composante ne contribue pas ce qu’on peut

constater en profitant de la symétrie due à la rotation deπautour de l’axe (Oz).

z

d²F~_pression(θ, ϕ) θ

d²F~_pression(θ, ϕ+π)

π−θ

33.Ainsi

F~_pression= ˆπ

θ=α

ˆ 2π ϕ=0

−P_sR²_bsinθdθdϕ~u_r F~_pression=

ˆ_π

θ=α

ˆ _2π

ϕ=0

−1

3n^∗_sm_su²_sR²_bsinθcosθdθdϕ~u_z F~_pression=−π

3n^∗_sm_su²_sR²_b^hsin²θ^iπ

θ=α~u_z F~_pression=π

3n^∗_sm_su²_sR²_bsin²α~u_z F~_pression=π

3n^∗_sm_su²_sR²_b(1−cos²α)~u_z F~_pression=π

3n^∗_sm_su²_sR²_b 1−(D−2r_s)² 4R²_b

!

~u_z F~_pression= π

12n^∗_sm_su²_s4R²_b−(D−2r_s)²~u_z F~_pression= π

12n^∗_sm_su²_s(2R_b−D+ 2r_s)) (2R_b+D−2r_s))~u_z soit F~_pression=π

3n^∗_sm_su²_s(R_b−D/2 +r_s)(R_b+D/2−r_s)~u_z

(24)

34.On a

F~_pression=F~colloïde 2→colloïde 1

Ainsi F~colloïde 1→colloïde 2=−F~colloïde 2→colloïde 1

ce qui donne F~colloïde 1→colloïde 2=−π

3n^∗_sm_su²_s(R_b−D/2 +r_s)(R_b+D/2−r_s)~u_z

(25)

Ainsi

dE_int(D)

dD =−F~colloïde 1→colloïde 2.~u_z=π

3n^∗_sm_su²_s(R_b−D/2 +r_s)(R_b+D/2−r_s) dE_int(D)

dD =−π

3n^∗_sm_su²_s(D/2−R_b−r_s)(D/2 +R_b−r_s) dE_int(D)

dD =−π

3n^∗_sm_su²_s D²

4 −r_sD−(R²_b−r²_s)

!

d’où Eint(D) =−π

3n^∗_smsu²_s D³ 12−r_s

2D²−(R²_b−r_s²)D+K

!

(26)

avecKconstante d’intégration.

35. Kest tel que

E_int(2R_b+ 2r_s) = 0 soit (2R_b+ 2r_s)³

12 −r_s

2(2R_b+ 2r_s)²−(R²_b−r²_s)(2R_b+ 2r_s) +K= 0 soit K=−(2R_b+ 2r_s)³

12 +r_s

2(2R_b+ 2r_s)²+ (R_b²−r²_s)(2R_b+ 2r_s) K= (2R_b+ 2r_s) −(2R_b+ 2r_s)²

12 +r_s

2(2R_b+ 2r_s) + (R²_b−r²_s)

!

K= (2R_b+ 2r_s)R²_b(−1/3 + 1) +R_br_s(−2/3 + 1) +r_s²(−1/3 + 1−1) Finalement K=2

3(R_b+r_s)²(2R_b−r_s) et E_int(D) =−π

3n^∗_sm_su²_s D³ 12−r_s

2D²−(R²_b−r_s²)D+2

3(R_b+r_s)²(2R_b−r_s)

!

=−π

36n^∗_sm_su²_s[D−(2R_b+ 2r_s)]²[D+ 4R_b−2r_s]

(27)

Remarque : on sait queE_int(D)∝[D−(2R_b+ 2r_s)]²carE_int(2R_b+ 2r_s) = 0 etE_int⁰ (2R_b+ 2r_s) = 0.

36.

D E_int(D)

2R_b+ 2r_s 2R_b

37. Une valeur caractéristique deE_int(D) estE_int(2R_b) =−π

36n^∗_sm_su²_s×4r_s²×(6R_b−2r_s), soit E_int,typ=2π

9n^∗_sm_su²_sr_s²(3R_b−r_s) .

38.A la transition liquide colloïdal-gaz colloïdal,

E_int,typ∼E_c,typ soit 2π

9n^∗_sm_su²_sr²_s(3R_b−r_s)∼3 2k_BT 2π

9n^∗_s×3

2k_BT×r_s²(3R_b−r_s)∼3 2k_BT ce qui donne n^∗_s∼ 9

2π× 1

r²_s(3R_b−r_s)

(28)

39.

φ_s=n^∗_s4 3πr_s³= 9

2π× 1

r_s²(3R_b−r_s)×4 3πr³_s φs= 6

(3R_b/rs−1) soit r_s= 3R_b

1 +_φ⁶

s

∼20 nm

(29)

On retrouve bien quer_s< R_bet de l’ordre de quelques dizaines de nm, cohérent,r_sest en fait indiqué dans l’article, on y litr_s= 44 nm, soit seulement un facteur 2 de différence ce qui n’est pas mal étant donné la simplicité du modèle effectué !

40.Interactions de Van der Waals.