Transformateur ´electrique

Transformateur ´electrique

Pour des raisons pratiques (voir chapitre suivant), le courant produit par les centrales ´ electriques est sinuso¨ıdal dont la valeur efficace n’est pas la mˆ eme partout sur le r´ eseau : 400 000 V dans les lignes hautes tension, 20 000 V dans une ligne moyenne tension et 220 V aux bornes d’une prise de courant (l` a encore pour des raisons pratiques : transporter une grande puissance est plus efficace ` a haute tension, donc ` a basse intensit´ e, en raison de l’effet Joule).

Le but du transformateur ´ electrique est de convertir une tension alternative en une tension alternative de mˆ eme fr´ equence mais de valeur efficace diff´ erente. Le principe du transformateur repose sur le couplage par inductance mutuelle de 2 circuits, donc sur l’induction de Neumann. C’est une conversion statique de puissance.

I Ferromagn´ etisme

Les mat´ eriaux magn´ etiques se caract´ erisent par leur comportement lorsqu’ils sont soumis ` a un champ magn´ etique ext´ erieur. Ils s’aimantent plus ou moins lors de l’application du champ, et certains mat´ eriaux sont capables de conserver un champ magn´ etique apr` es disparition du champ magn´ etique ext´ erieur.

I.1 Rappel : Moment magn´ etique d’un circuit

Un circuit d´ elimitant une surface Ý Ñ S orient´ ee en fonction de l’intensit´ e i qui parcourt le circuit poss` ede un moment magn´ etique

~ m i Ý Ñ S I.2 Aimantation

On mod´ elise la mati` ere magn´ etique par un ensemble de dipˆ oles magn´ etiques. Le moment dipolaire magn´ etique d ~ m (A m

) d’un volume m´ esoscopique dτ (m

) de mati` ere magn´ etique est alors donn´ e par

d ~ m ÝÑ Mdτ

o` u ÝÑ M (en A m

) est le vecteur aimantation qui est par d´ efinition un vecteur densit´ e volumique de moment dipolaire.

I.3 Excitation magn´ etique

On peut montrer que le champ vectoriel aimantation ÝÑ M est ´ equivalent ` a un champ cr´ ee par une distri- bution de courants ´ electriques volumiques ~j

ÝÑ rot ÝÑ M. Ces courants volumiques sont aussi appel´ es courants amp` eriens. Ils imposent, dans le cadre de l’ARQS (qui sera toujours le cadre d’´ etude des transformateurs), de modifier l’´ equation de Maxwell Amp` ere

ÝÑ rot Ý Ñ B µ

p ~j ~ j

q Si on remplace ~j

par son expression, on obtient

ÝÑ rot ÝÑ B

µ

ÝÑ M

~j

On d´ efinit alors l’excitation magn´ etique Ý Ñ H Ý Ñ H Ý Ñ B

µ

ÝÑ M

Dans la mati` ere aimant´ ee, l’´ equation de Maxwell-Amp` ere devient ÝÑ rot Ý Ñ H ~j

et en version int´ egrale, le th´ eor` eme d’Amp` ere

¾

Γ

Ý Ñ H d~l

¼

Σ

~j d Ý Ñ S I

Remarques Le champ magn´ etique Ý Ñ B est d´ esormais difficilement calculable puisqu’il d´ epend des cou- rants amp` eriens dont on ne sait rien ` a notre niveau, ` a part qu’ils sont une mod´ elisation correcte des ph´ enom` enes microscopiques. Il faut donc se contenter de calculer l’excitation magn´ etique Ý Ñ H en utilisant les m´ ethodes que l’on utilisait pour calculer le champ Ý Ñ B dans le vide ou dans la mati` ere non aimant´ ee.

La description plus fine des m´ ecanismes produisant l’aimantation fait appel ` a une description quantique de la mati` ere. S’il est ais´ e de comprendre, avec la repr´ esentation classique d’un ´ electron tournant autour du noyau, la pr´ esence de moments dipolaires magn´ etiques dans la mati` ere sous forme de petites spires de courant, il en va autrement lorsque l’on passe ` a une repr´ esentation quantique qui d´ etruit la notion de trajectoire. On gardera cependant ` a l’esprit que le mouvement de rotation est souvent li´ e ` a la conservation d’un moment cin´ etique, notion qui elle garde tout son sens en m´ ecanique quantique, et est mˆ eme ´ etendue

`

a la notion de moment cin´ etique intrins` eque, le spin.

I.4 Milieux magn´ etiques lin´ eaires, homog` enes et isotropes (LHI) Milieu lin´ eaire Un milieu lin´ eaire est un milieu tel que, localement

ÝÑ M p M q K p M qÝ Ñ H p M q

o` u K p M q est ` a priori une matrice qui d´ epend du point M .

Milieu homog` ene La matrice K p M q ne d´ epend pas du point M .

Milieu isotrope La matrice K ne d´ epend pas de la direction de l’espace. C’est donc une matrice diagonale dont les coefficients sont tous ´ egaux. K est donc simplement une constante scalaire (tout ¸ca pour ¸ca !).

Susceptibilit´ e magn´ etique La constante K, souvent not´ ee χ

est appel´ ee susceptibilit´ e magn´ etique, et est une grandeur sans dimension.

Perm´ eabilit´ e magn´ etique relative Dans un mat´ eriau LHI, on peut donc ´ ecrire Ý

Ñ H Ý Ñ B

µ

χ

Ý Ñ H

donc Ý Ñ B µ

p 1 χ

qÝ Ñ H

On d´ efinit alors la perm´ eabilit´ e magn´ etique relative, grandeur sans dimension µ

1 χ

et on ´ ecrit

Ý

Ñ B µ

µ

Ý Ñ H µ Ý Ñ H

On peut donc traiter les milieux LHI comme les milieux non aimant´ es en rempla¸ cant simplement µ

par µ (voir sujet DST sur l’induction).

Types de milieux LHI On distingue deux types de milieu LHI :

– les milieux diamagn´ etiques, pour lesquels χ

  0 est faible. L’aimantation est oppos´ ee ` a l’excitation magn´ etique impos´ ee.

– les milieux paramagn´ etiques, pour lesquels χ

¡ 0 est faible. L’aimantation est de mˆ eme sens que l’excitation magn´ etique impos´ ee.

Milieux non lin´ eaires, homog` enes et isotropes Dans le cas des transformateurs, afin d’obtenir une bonne canalisation du flux du champ magn´ etique, on utilise des mat´ eriaux ferromagn´ etiques dont la perm´ eabilit´ e magn´ etique relative est tr` es grande. Le mat´ eriau n’est cependant plus lin´ eaire. En particulier, µ

d´ epend en g´ en´ eral de l’excitation magn´ etique, mais aussi de l’´ etat magn´ etique ant´ erieur du mat´ eriau (on parle de ph´ enom` ene d’hyst´ er´ esis). On simplifiera l’´ etude des transformateurs utilisant ce type de

mat´ eriau en consid´ erant une aire de cycle d’hyst´ er´ esis suffisamment faible pour assimiler le cycle ` a une droite.

II Transformateur ´ electrique

II.1 Couplage magn´ etique entre 2 circuits

Soient deux circuit filiformes d’inductances propres L

et L

. Soit M le coefficient d’inductance mutuelle entre ces deux circuits. Les coefficients v´ erifient

M

¤ L

L

D´ emonstration On note Ý Ñ B le champ cr´ ee par les courants parcourant les 2 circuits. Par d´ efinition, l’´ energie magn´ etique E

est ´ egale ` a l’int´ egrale sur tout l’espace de la densit´ e volumique d’´ energie magn´ etique

B²

2µ0

. Elle est donc positive ou nulle.

Par ailleurs, cette ´ energie s’exprime en fonction des coefficients d’induction et des courants E

1

2 L

i

M i

i

1 2 L

i

En factorisant par i

, on obtient

E

i

1

2 L

i

i

M i

i

1 2 L

qui est un polynˆ ome de degr´ e 2 de variable

2

. Ce polynˆ ome est positif ou nul quelque soit la valeur de la variable puisque E

¡ 0, ce qui implique que le discriminant est n´ egatif (pas de racines r´ eelles non nulles)

M

4 1 2 1

2 L

L

¤ 0 et donc

M

¤ L

L

On appelle couplage magn´ etique parfait un couplage entre deux circuit filiformes tels que M

L

L

II.2 Constitution du transformateur ´ electrique

Quelques m´ etaux, dont le fer, ont la propri´ et´ e de canaliser les lignes de champ magn´ etique. Ces mat´ eriaux sont dits ferromagn´ etiques.

Un transformateur ´ electrique est un quadrupˆ ole compos´ e de deux enroulements de fil autour d’un tore de mat´ eriau ferromagn´ etique. L’enroulement de gauche, constitu´ e de N

spires, est appel´ e enroulement primaire. L’enroulement de droite, constitu´ e de N

spires, est appel´ e enrou- lement secondaire. En canalisant les lignes de champ magn´ etique, le mat´ eriau ferromagn´ etique assure un couplage presque parfait entre les deux enroulements.

On peut trouver deux type de sch´ ema conventionnels du transformateur ´ electrique. Nous utiliserons

dans la suite le sch´ ema (b).

Bornes homologues L’orientation des enroulements primaire et secondaire est telle que leur normale (obtenue avec les r` egles habituelles) est dans le sens choisi pour l’orientation du circuit magn´ etique. On rep` ere alors par deux points une paire de bornes homologues du transformateur : cette paire est compos´ ee de la borne du primaire et de celle du secondaire par o` u rentre un courant qui donne un flux positif avec la convention d’orientation pr´ ec´ edente.

i

i

i

i

Ý Ñ S S~ e

~

n

Ý Ñ S   0

~

n

Ý Ñ S ¡ 0

i

i

i

i

Ý Ñ S S~ e

~ n

Ý Ñ S ¡ 0

~ n

Ý Ñ S ¡ 0

i

i

u

u

II.3 Mod` ele du transformateur parfait Un transformateur est dit parfait ou id´ eal si :

– le couplage magn´ etique entre les deux enroulements est parfait

– la puissance ´ electrique re¸cue par le primaire est int´ egralement transf´ er´ ee au secondaire : il n’y a pas de pertes dans le transformateur.

Ce mod` ele permet des calculs simples et une compr´ ehension du comportement du transformateur ´ electrique.

Le champ magn´ etique ´ etant parfaitement canalis´ e, le flux φ a la mˆ eme valeur ` a travers toute section du tore. On l’appelle flux commun.

On oriente la section Ý Ñ S du tore. On consid` ere par ailleurs pour faciliter le calcul que l’excitation

magn´ etique est homog` ene sur une section du tore, ce qui est vrai si la dimension caract´ eristique de

la section est petite devant le rayon R du tore.

Le mat´ eriau est un mat´ eriau LHI de perm´ eabilit´ e magn´ etique relative µ

que l’on consid´ erera comme tr` es grande.

i

i

i

i

Ý

Ñ S S~ e

u

u

Calcul du flux du champ magn´ etique Par sym´ etrie, l’excitation magn´ etique Ý Ñ H est un vecteur orthoradial, puisque le plan pO, ~ e

q est plan de sym´ etrie. Par ailleurs, il y a invariance par rotation autour de p O, ~ e

q , donc Ý Ñ H ne d´ epend pas de θ. Pour finir, on suppose que le tore est suffisamment grand pour que l’excitation soit homog` ene dans une section du tore, donc la valeur de Ý Ñ H est constante. On a donc

Ý

Ñ H H~ e

On applique le th´ eor` eme d’Amp` ere ` a un cercle d’axe p O, ~ e

q et de rayon R pour calculer l’excitation

magn´ etique ¾

Γ

Ý

Ñ H d~l 2πRH N

i

N

i

Le signe venant de l’orientation relative des spires parcourues par i

et Ý Ñ S . On a donc Ý

Ñ B µ

µ

Ý Ñ H

donc Ý Ñ B a les mˆ emes propri´ et´ es g´ eom´ etriques que Ý Ñ H . On peut alors calculer le flux magn´ etique commune

`

a travers la section S du tore

φ Ý Ñ B Ý Ñ S N

i

N

i

2πR µ

µ

S Coefficients d’inductance D’apr` es la loi de Faraday

e

dφ

dt N

dφ

dt et e

dφ

dt N

dφ dt u

et u

sont en convention g´ en´ erateur donc

u

e

N

dφ

dt et u

e

N

dφ

dt

que l’on peut exprimer en explicitant φ u

N

µ

µ

S 2πR

N

di

dt N

di

dt

et

u

N

µ

µ

S 2πR

N

di

dt N

di

dt

Par ailleurs, par d´ efinition, en convention g´ en´ erateur u

L

di

dt M di

dt

et u

L

di

dt M di

dt

donc par identification

L

N

µ

µ

S

2πR M N

N

µ

µ

S

2πR L

N

µ

µ

S 2πR On trouve que la condition de couplage parfait M

L

L

est bien remplie.

II.4 Propri´ et´ es du transformateur parfait

Rapport de transformation en tension On peut calculer le rapport u

u

N

N

m o` u m est appel´ e rapport de transformation.

Rapport de transformation en intensit´ e On a vu que φ N

i

N

i

2πR µ

µ

S Si µ

Ñ 8 , alors le le flux doit rester born´ e, ce qui impose

N

i

N

i

0 soit, en faisant intervenir le rapport de transformation m

i

mi

donc i

i

1 m

Transfert de puissance La puissance consomm´ ee dans l’enroulement primaire p

vaut p

u

i

. La puissance consomm´ ee dans l’enroulement secondaire vaut p

u

i

, donc la puissance c´ ed´ ee par l’enroulement secondaire vaut p

p

u

i

. On peut alors exprimer le rapport

p

p

u

i

u

i

u

u

i

i

m 1 m 1

ce qui montre que la puissance consomm´ ee dans l’enroulement primaire est int´ egralement fournie par le

secondaire au circuit qui lui est attach´ e.

II.5 Transfert d’imp´ edance

Vu de l’enroulement primaire, l’ensemble secondaire+charge est ´ equivalent ` a un dipˆ ole dont on peut d´ eterminer l’imp´ edance ”ramen´ ee en entr´ ee” Z

.

i

i

u

u

Z

On se place donc en r´ egime sinuso¨ıdal de pulsation ω avec une imp´ edance en circuit avec l’enroulement secondaire. Par d´ efinition

Z u

i

car on est en convention g´ en´ erateur.

u

mu

et i

1 m i

donc

Z mu

i

m

u

i

et donc

u

1

m

Zi

Z

i

o` u Z

est bien l’imp´ edance totale de l’enroulement secondaire et de la charge Z vus du primaire.

III Transformateur r´ eel et applications

III.1 Transformateur r´ eel

Cette partie traite d’un certain nombre de ph´ enom` enes intervenant dans le transformateur r´ eel, en particulier les pertes ignor´ ees jusque l` a. On ne donnera ici que quelques indications dans la mesure ou le traitement de ces pertes est hors programme.

III.1.1 Courant magn´ etisant

On reprend l’´ etude du transformateur en supposant cette fois ci que la perm´ eabilit´ e magn´ etique relative µ

n’est pas infinie. Dans ce cas

φ N

i

N

i

2πR µ

µ

S On en d´ eduit

N

i

2πR

µ

µ

S φ N

i

donc i

2πR

N

µ

µ

S φ N

N

i

Si le secondaire ne d´ ebite pas de courant, on constate cependant que l’intensit´ e i

est non nulle. Ce courant est appel´ e courant magn´ etisant

i

2πR

N

µ

µ

S φ

La puissance absorb´ ee par le transformateur n’est alors pas nulle. Par ailleurs, on peut remarquer que u

N

dφ dt N

N

µ

µ

S 2πR

di

dt N

µ

µ

S 2πR

di

dt L

di

dt

ce qui montre qu’on peut mod´ eliser le courant magn´ etisant par une inductance plac´ ee en parall` ele ` a l’entr´ ee du transformateur.

i

i

u

L

u

i

III.1.2 Pertes cuivre

Les pertes cuivre sont les pertes li´ ees ` a la r´ esistance non nulle des enroulements secondaire et primaire.

Elles sont prises en compte en rajoutant des r´ esistances en s´ erie R

et R

. Ce sont des pertes par effet Joule.

III.1.3 Inductances de fuite

Dans le mod` ele du transformateur r´ eel, le couplage entre les deux enroulements n’est plus consid´ er´ e comme parfait, en raison de la canalisation imparfaite du flux par le mat´ eriau ferromagn´ etique. On tient compte de cette imperfection en ´ ecrivant

φ

loomoon N

φ

partie commune

L

i

loomoon

f uite au primaire

et φ

loomoon N

φ

partie commune

L

i

loomoon

f uite au secondaire

o` u L

et F

sont appel´ ees inductances de fuite. Le mod` ele devient alors (en incluant les r´ esistances)

i

R

L

L

R

i

u

L

u

i

Ce mod` ele constitue le mod` ele lin´ eaire du transformateur r´ eel.

III.1.4 Pertes fer

Les pertes Fer sont les pertes intervenant dans le mat´ eriau ferromagn´ etique.

Courants de Foucault Les courants de Foucault g´ en´ er´ es par les champs magn´ etiques variables sont

responsables de pertes par effet Joule dans le mat´ eriau ferromagn´ etique. On diminue ces pertes en utilisant

un mat´ eriau feuillet´ e (voir TD induction).

Pertes par hyst´ er´ esis Les pertes par hyst´ er´ esis sont li´ ees au caract` ere non lin´ eaire du mat´ eriau ferro- magn´ etique. On retiendra que ces pertes sont proportionnelles ` a l’aire du cycle d´ ecrit par le ph´ enom` ene d’hyst´ er´ esis. On choisira donc pour les transformateurs des mat´ eriaux dits ”doux” dont le cycle est peu

´

etendu, pour limiter les pertes.

III.2 Applications

III.2.1 Adaptation d’imp´ edance

Un GBF de r´ esistance interne R

d´ elivre une tension sinusoidale e e

exp p jωt q .

R

e

i

R

u

La puissance moyenne re¸cue par la charge vaut p 1 { 2< t ui u avec u R

R

R

e i e R

R

donc

p 1 2

R

R

R

1

R

R

| e |

1 2

R

p R

R

q

e

R

p

R

R

Puissance maximale On d´ erive la fonction p p R

q en posant R

{ R

x ppxq e

2R

x p 1 x q

dont la d´ eriv´ ee est

p

p x q e

2R

1 x p 1 x q

qui s’annule pour x 1. La puissance transmise est donc maximale pour R

R

. III.2.2 Transformateur d’isolement

On utilise souvent un transformateur d’isolement de rapport de transformation m 1 pour tracer les

caract´ eristiques des dipoles. En effet, la masse de l’oscilloscope ´ etant reli´ ee ` a la terre, la pr´ esence d’une

masse mise ` a la terre dans le g´ en´ erateur peut poser probl` eme.

Table des mati` eres

I Ferromagn´ etisme 1

I.1 Rappel : Moment magn´ etique d’un circuit . . . . 1

I.2 Aimantation . . . . 1

I.3 Excitation magn´ etique . . . . 1

I.4 Milieux magn´ etiques lin´ eaires, homog` enes et isotropes (LHI) . . . . 2

II Transformateur ´ electrique 3 II.1 Couplage magn´ etique entre 2 circuits . . . . 3

II.2 Constitution du transformateur ´ electrique . . . . 4

II.3 Mod` ele du transformateur parfait . . . . 5

II.4 Propri´ et´ es du transformateur parfait . . . . 7

II.5 Transfert d’imp´ edance . . . . 8

III Transformateur r´ eel et applications 8 III.1 Transformateur r´ eel . . . . 8

III.1.1 Courant magn´ etisant . . . . 8

III.1.2 Pertes cuivre . . . . 9

III.1.3 Inductances de fuite . . . . 9

III.1.4 Pertes fer . . . . 9

III.2 Applications . . . . 10

III.2.1 Adaptation d’imp´ edance . . . . 10

III.2.2 Transformateur d’isolement . . . . 11