Transformateur « idéal »:

Rappels & Compl

Rappels & Compl é é ments ments transformateur

transformateur

Transformateur id Transformateur idééalal

Transformateur « idéal »:

Propriétés:

• Conservation de puissances (pas de pertes)

• Pas de perméances magnétiques (pas de propriétés inductives)

i

i

u

u

n

:n

i

i

u

u

n

:n

ou:

2 1 2

1

u u n

n =

1 2 2

1

n n i

i = −

Transfo id

Transfo idééal: valeur rapportal: valeur rapportééee

Rappel: Impédance rapportée

I

I

U

Z

?

1:n

Z

U n

U 1

2 1

=

I n

I = −

2 1

=

=

1 1

1

I

Z U

2 2 1

1 Z n

Z = ⋅

Pour l’impédance vu du primaire, on a:

Transfo id

Transfo idééal: bobinages multiplesal: bobinages multiples

Bobinages multiples

=0

∑

i₁

i₂ n₁

u₂ n₂

i₃ u₃ n₃

n₁i₁ n₂i₂

n₃i₃

Schéma électrique Schéma magnétique équivalent

3 0

3 2 2 1

1⋅i +n ⋅i +n ⋅i = Rapport de tensions: n

3 1 3

1 3

2 3

2 2

1 2

1 ; ;

n n u

u n

n u

u n

n u

u = = =

3 3 1

1 3

3 2

2 2

2 1

1 ; ;

n u n u n

u n

u n

u n

u = = =

3 3 2

2 1

1

n u n

u n

u = =

et

(loi d’ampère)

Transfo avec

Transfo avec permpermééanceance

Transformateur avec circuit magnétique (sans pertes):

i

i

u

u

θ

θ

Φ

Λ

partie électrique: partie magnétique:

dt u d

u

=

= Ψ

dt u d

u

=

= Ψ

1 1 1

= n ⋅ i θ

2 2 2

= n ⋅ i θ

( )

h tot

h

= ⋅ Λ = + ⋅ Λ

Φ θ θ

θ

( loi d’ampère)

( )

Transfo avec

Transfo avec permpermééanceance

( )

h

n n i n i

n ⋅ Φ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ Λ

=

Ψ

En développant, on obtient:

1 1 2 2

2

= ⋅ Φ = ⋅ Ψ

Ψ n

n

n

et:

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + ⋅

⋅

=

⋅

⋅ +

⋅

=

⋅ Λ

⋅

⋅ +

⋅ Λ

⋅ Ψ =

=

2 1 2 1 11

2 1 2 11 1

11 2

2 1 2 1

1 1 1

n i i n dt L d

dt di n L n dt L di dt

n di dt n

n di dt

u d _{h h}

1 1 2 1 1

2 2

2 u

n n dt

d n n dt

u = dΨ = ⋅ Ψ = ⋅

i

i

u

u

n

:n

L

2 1 2 i n n ⋅ Schéma équivalent:

Entrefer dans le circuit magnétique:

Effet de l

Effet de l’’entreferentrefer

θ

θ

Φ

Λ

Λ

δ

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= ⋅

⋅ +

⋅ Λ =

Λ + Λ =

μ δ μ

δ μ μ

δ μ

r fer

fer r

fer h

l A

A A

l

0

0 0

1

1 1

1 1

1

Comme λ_fer/μ_r << δ, on aura en général: 1/Λ_δ >> 1/Λ_fer

h tot

h

= B ⋅ A = ⋅ Λ

Φ θ

Le flux et l’inductance

L

= n

⋅ Λ

z plutôt influencés par Λ_δ, que par Λ_fer

z moins sensibles aux variations de température (car μ_r varie avec la température)

z L’induction B sera diminuée en augmentant δ diminution de la saturation

B

H

B_SAT

Effet de l

Effet de l’’entreferentrefer

Lorsqu’on est en saturation, on a:

. const B

B = _SAT ≅

donc:

h SAT

SAT n

A i B

⋅Λ

= ⋅ 1

une seule bobine alimentée

conclusions:

z On augmente le courant i_SAT, à partir duquel on entre en saturation

Φ

ni

Φ_SAT

δ₁ δ₂> δ₁

Effet des pertes cuivre Effet des pertes cuivre

θ

θ

Φ

Λ

i

u

u

i

R

R

i

i

u

u

n

:n

L

R

R

1 2 i n n ⋅

Pertes cuivre dans le circuit électrique:

i

i

u

u

n

:n

L

R

R’

2 2 ' 1

2 n R

R ⎟⎟⎠ ⋅

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

R

rapportée au primaire:

Effet des fuites Effet des fuites

Fuites dans le circuit magnétique:

Φ

Φ

i

u

u

i

R

R

Φ

+ Φ

=

Φ_{1 σ1} Φ₂ =Φ_σ2 +Φ_h

1 1

1 R i ui

u = ⋅ +

u

h h

h h

h

i n i

n i

n ⋅ ⋅Λ + ⋅ ⋅Λ + ⋅ ⋅Λ

=

Λ

⋅ + Λ

⋅ + Λ

⋅

= Φ + Φ

= Φ

2 2 1

1 1 1 1

2 1

1 1 1

1

σ

σ

σ θ θ θ

En développant, on obtient:

di n di

di dt u_i d

2 2 1

1 1 1

⋅ +

⋅ +

⋅

=

= ψ

u

2 2

1 1 2

1 1 1 2

1 1 1

1 = n ⋅Φ = n ⋅Λ_σ ⋅i +n ⋅Λ_h ⋅i +n ⋅n ⋅Λ_h ⋅i

ψ

σ1

L L_h1 L₁₂

Conclusion:

Les flux de fuites se traduisent par une inductance (de fuite) L ,

SchéSchéma ma ééquivalent en Tquivalent en T

On obtient le schéma suivant:

i

i

u

u

n

:n

L

R

R

1 2 i n n ⋅

L

L

Après avoir rapporté L

et R

au primaire, on obtient finalement:

i

i

u

n

:n

L

R

L

L’

R’

u

Impédances rapportées

2 2

2 ' 1

2 R

n R n ⎟⎟⎠ ⋅

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

2 2

2 ' 1

2 σ

σ L

n L n ⎟⎟⎠ ⋅

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

Pertes magnétiques :

Pertes magn

Pertes magnéétiquestiques

Pertes par courants de Foucault:

Pertes dus au cycles d’hystérèse:

En pratique, les pertes volumiques sont indiquées en fonction du champ

d’induction et de la fréquence

( )

ρ

2

max S f

P_F = B ⋅ ⋅

f A V

P_H = ⋅ _H ⋅

W_mag

Surface du cycle d’hystérèse Φ_mag

( ^{B f} )

P V

P = ⋅

,

Volume du circuit magnétique

Dimensionnement d

Dimensionnement d’’inductances / transfosinductances / transfos

Application : Inductance pour abaisseur Application : Inductance pour abaisseur

6 41 . 0

/ =

=U_out U_in D

U_in U_out

S L

D U_diode C R

Exemple numérique:

L = 200 μH

F_p = 1/T_p =100 kHz R = 20 Ω

U_in = 12 V U_out = 5 V

Comment dimensionner l’inductance L?

• diamètre du fil

• nbre. de tours

• taille de la ferrite (pot)

• entrefer

?

n

L =

⋅ Λ

Limite de dissipation des pertes r

Limite de dissipation des pertes r é é sistives sistives

Dimensionnement d

Dimensionnement d’’inductances / transfosinductances / transfos

l S_cond

I

2 2

2

1 1

eff eff

cond cond

eff cond

V

J S I

l l

S

I l R S

V P P

⋅

=

⋅ ⋅

⋅ ⋅

=

⋅

⋅ ⋅

=

=

ρ ρ

R I U

I_L = _R = ^out

Pour des applications usuelles : J

≤ 4.5 A/mm

t I_L

I_L ΔI_L

Pour l

Pour l ’abaisseur: ’ abaisseur:

(

)

L T I_L U^out ⋅ ^p −

=

Δ 1

Exemple numérique:

2 112

2

0 2

, 1 ( )

L L

T L P eff

L i t dt I I

I T

p

Δ +

=

=

∫

Dimensionnement d

Dimensionnement d’’inductances / transfosinductances / transfos

Limite d

Limite d û û à à la saturation la saturation

Exemple pour ferrite:

S mT B

fer

250 ˆ = Φˆ ≤

I L

n ˆ ˆ

ˆ = ⋅ Φ = ⋅ Ψ

n I S L

B

ˆ ˆ

ˆ = ⋅ = ⋅

Φ

Comme on a:

Produit des surfaces requises Produit des surfaces requises

Dimensionnement d

Dimensionnement d’’inductances / transfosinductances / transfos

1. Pour permettre la dissipation des pertes de conduction

Jmax

S_cond = I^eff

max

1 1

J n I S k

k n

S ^eff

w cond

w

w = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

2. Pour éviter la saturation

max max

ˆ ˆ

B n

I L S_fer B

⋅

= ⋅

= Φ

Pour satisfaire les 2:

max max

ˆ J B

k

I I S L

S

W

eff w

fer

⋅ ⋅

⋅

= ⋅

⋅

k_W : facteur de bobinage (env. 0.4 pour ces applications)

S_f1=S_δ

S_f2

S_f3 S_w

δ

Choix de la taille de l

Choix de la taille de l ’ ’ inductance inductance

Exemple de taille ferrite:

Exemple de taille corps bobine:

Dimensionnement d

Dimensionnement d’’inductances / transfosinductances / transfos

S_fer x S_w = 40 mm⁴ ≥ mm⁴ requis

Dimensionnement d

Dimensionnement d’’inductances / transfosinductances / transfos

Dimensionnement du bobinage Dimensionnement du bobinage

Nombre de spires:

Afin de respecter la limite sur le champ de saturation B_max, on doit avoir:

max

ˆ B n

I S_fer L

⋅

= ⋅ =

⋅

≥ ⋅

max

ˆ B S

I n L

fer

En choisissant n= , il nous faudrait une perméance de:

=

=

Λ ₂

n L

L

En choisissant la valeur la plus proche dans le catalogue, on obtient finalement le nombre de tours n:

Λ =

=

L

n L

Vérification de la surface de bobinage obtenu:

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

= 1 1 I_eff,max