HAL Id: jpa-00248932
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00248932
Submitted on 1 Jan 1993
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Détermination des paramètres du schéma équivalent discrétisé des enroulements d’un transformateur
Z. Azzouz, L. Pierrat, A. Foggia, G. Meunier
To cite this version:
Z. Azzouz, L. Pierrat, A. Foggia, G. Meunier. Détermination des paramètres du schéma équivalent discrétisé des enroulements d’un transformateur. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1993, 3 (3), pp.455-467. �10.1051/jp3:1993142�. �jpa-00248932�
J. Phys. III France 3 (1993) 455-467 MARCH 1993, PAGE 455
Classification
Physics Abstracts
41.90 02.60
D4termination des paramktres du sch4ma 4quivalent discr4tis4 des enroulements d'un transformateur
Z. Azzouz (I), L. Pierrat (1> 2), A. Foggia (I) et G. Meunier (I)
(I) Laboratoire d'Elecwotechnique de Grenoble, URACNRS No. 355, ENiIEG B-P- 46,
Domaine Universitaire, 38402 St Martin d'H~res, France
(2) Elecwicitd de France, Division Technique G£ndrale, 37 rue Diderot, 38040 Grenoble, Cedex France
(Regu le 17 mars 1992, rdvisd le 8 octobre 1992, acceptd le 30 novembre1992)
Rdsum4. Dans cet article, nous pr£sentons le calcul des parambtres inductifs et capacitifs d'un transformateur de puissance h l'aide de m£thodes numdriques utilisant les dldments finis en trois dimensions. La mod£lisation, bas£e sur un calcul par dldments finis du champ £lectromagn£tique, permet d'aborder sous un nouvel angle l'dtude des phdnombnes haute frdquence se propageant
dans les enroulements d'un transformateur. La m£thode est appliqude h un Wansformateur de
puissance de type cuirass£ h l'aide du logiciel FLUX3D.
Abstract. In this paper, we present the inductive and capacitive parameters computation of a power transformer with numerical methods using the finite elements in three dimensions. The
modeling, based on the computation of the 3D electromagnetic field allows for a new approach to the study of the high frequency phenomena that propagates along the transformer windings. The
method is applied to a power shell form transformer using the 3D package FLUX3D.
1. Introduction.
I-I GtNtRALITtS. Relid au rdseau dlectrique, un transformateur peut subir plusieurs types de contraintes. Parmi celles-ci on peut indiquer les surtensions h front trbs raide apparaissant
lors des manoauvres d'appareillage dans les postes blindds. Ces surtensions se propagent dons
les jeux de banes, et du fait de leur rdpartition inhomog~ne, elles peuvent contraindre le
bobinage HT et son isolation notamment au niveau des extrdmitds. En outre, des phdnom~nes
de rdsonance dlectrique peuvent apparaitre lorsque les frdquences de l'onde incidente
coincident avec les frdquences propres des enroulements. L'dtude de ces phdnom~nes s'av~re alors tr~s utile au concepteur de transformateurs susceptibles d'dtre raccordds, par exemple h
un poste blindd afin qu'il puisse adopter les dispositions n6cessaires et/ou prdvoir des moyens de protection addquat. La moddlisation num6rique 3D constitue alors un moyen d'investigation
trbs efficace.
L'dtude des ph6nom~nes h haute frdquence dans un transformateur repose sur l'6tablissement d'un sch6ma 61ectrique 6quivalent h constantes localisdes obtenu par discrdtisation de la
456 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°3
structure r6elle, bobinde en galettes (Figs. I et 3). Cependant la validit£ frdquentielle de ce
schdma ainsi que la prdcision des r6sultats escomptds ddpendent beaucoup du degr6 de
raffinement adoptd pour la reprdsentation des enroulements.
C'est pourquoi, l'utilisation d'un tel schdma ndcessite une dvaluation prdcise de ses
param~tres inductifs et capacitifs dont le calcul se ravine souvent difficile. En effet il faut tenir compte, de la gdom6trie tridimensionnelle des enroulements, de la pr6sence du circuit magndtique ainsi que des dcrans statiques (parfois inclin6s) et de la diversitd des milieux
didlectriques. Par ailleurs diverses mdthodes de calcul de ces paramdtres, analytiques ou semi-
analytiques sont utilisdes. On distingue essentiellement, pour le calcul des capacitds, la mdthode de simulation des charges (mdthode des images) [I], et pour les parambtres inductifs la mdthode semi-analytique ddcrite dans [2, 3].
Aujourd'hui, les logiciels d'd16ments finis en trois dimensions, de part leur Evolution offrent des possibilitds de calcul tenant compte de la gdomdtrie rdelle du dispositif dtudid, permettant de couvrir la plupart des cas possibles, et d'aboutir h des rdsultats satisfaisants.
Dans ce qui suit nous exposons le principe de calcul des param~tres inductifs et capacitifs
ainsi que les formulations adoptdes puis nous comparons les rdsultats obtenus en 3D avec ceux obtenus par les m6thodes analytiques les plus courantes.
1.2 GtomtTRlE Du DisPosiTif ET scHtMA tLECTRIQUE tQUIVALENT. -Le transformateur 6tudid dont le secondaire est supposd h vide est de type cuirassd (Fig. 2). Ses caract6ristiques
correspondent approximativement h celles d'un p61e monophas6 (400/ /)/20 kV, 400 MVA,
affectdes d'un facteur de rdduction de l'ordre de 1/3. La maquette correspondante, est
essentiellement formde de deux groupes de bobinesHT et BT parfaitement sym6triques
(Fig, I). Les enroulements sont entour6s de t61es magn6tiques posdes h plat. L'ensemble
baigne dans une cuve remplie d'huile ayant des propri6t6s d161ectriques et thermiques ad6quates et la prdsence d'dcrans dlectrostatiques permet d'dliminer tout lien capacitif entre deux groupes diffdrents. La structure de ce transformateur est discrdtisde en galettes (bobines plates), chaque galette comportant un certain nombre de spires.
,
,
, , , ,
, Ckcuit magn£tique
~ Galettes BT
LV disc
windings
a~~Galettes HT
Fig. I. Coupe transversale d'une fendtre du transformateur dtudid.
[Transversal section of one window of the transformer under study.]
N° 3 SCHEMA EQUIVALENT DISCRETISE D'UN TRANSFORMATEUR 457
Wh&ng
Cwuitnlagn£tique Magneticchcuit
Aia@edcshiel&ng
Fig. 2. Sch£ma simplifi£ d'un transformateur de type cuirass£.
[Illustrative model of a shell form transformer.]
Ill (11 13, 141 131 16) al l9i
Galenes HT w~, , HV Ax winding,
ll'~°~~'~~~'~T Nw9
Fig. 3. Schdma dlectrique £quivalent du transforrnateur.
[Electrical equivalent scheme of the transformer.]
458 JOURNAL DE PHYSIQUE III N° 3
Le sch6ma dlectrique dquivalent h la structure de ce transformateur est discrdtisd en
9 cellules, correspondant chacune h une galette (Fig. 3).
Dans ce schdma on distingue les inductances propres des galettes assocides h des rdsistances
en sdrie reprdsentant les penes par effet Joule. Des inductances mutuelles entre les diffdrentes galettes viennent compldter ce schdma en plus des capacitds de couplage entre galettes et entre
galettes et la masse (circuit magn6tique). A ces capacit6s sont assoc16es des rdsistances
parallmes pour tenir compte globalement de l'amortissement introduit par les penes d161ectri- ques, les penes supp16mentaires dans le cuivre et enfin les penes fer dues aux courants de
Foucault. Ces r6sistances varient en particulier en fonction de la fr6quence et conditionnent
essentiellement les niveaux de surtensions; les fr6quences correspondantes start peu
modif16es par ces r6sistances, nous les avons maintenues constantes.
2. Calcul des paramktres inductifs.
Les galettes du transformateur, qui sont en fait des bobines plates, sont caractdris6es par leurs inductances propres et coup16es entre elles par des inductances mutuelles.
2,I FORMULATION UTILIS#E.-Nous nous sommes placds pour le calcul des param~tres
inductifs dans le cadre de la magn6tostatique et nous avons utilisd la formulation en potentiel magndtique scalaire rdduit.
En effet, la formulation en potentiel vecteur magn6tique A(B
=
Rot (A)) implique la considdration des trois composantes de A(A~, A~,A~) dans les trois directions de l'espace.
Ceci ram~ne le probmme du point de vue de la r6solution numdrique par 61dments finis, h trois
inconnues par noaud et il s'ensuit alors des probmmes de place mdmoire et de temps de
rdsolution tr~s longs, croissants en fonction de la finesse du maillage. Ces inconvdnients
n'apparaissent pas lorsqu'on utilise le potentiel scalaire rdduit, ainsi qu'on va le voir par la suite.
En effet, la formulation en potentiel magndtique scalaire rdduit, consid~re que le champ magndtique total H~~~ se ddcompose en deux champs h savoir [4, 5] :
~'tot " ~'ex + ~'red (~)
H~~= vecteur champ magndtique d'excitation (champ inducteur) que produiraient des sources
de courant de densit6 J~~, dans le vide, H~~ vecteur champ magn6tique inconnu traduisant la
rdaction des matdriaux magndtiques, pr6sents dans le systbme 6tudid, au champ inducteur.
H~~ v6rifie la relation :
Rot (H~~> = J~~ (2>
La densitd du courant source J~~ dtant imposde (donc connue), le champ inducteur
H~~ est calculd num6riquement h l'aide de la formule de Biot et Savart selon la relation :
i J~~ A r
H~~ = ar ~ du (3)
4
~ r
r : vecteur reliant le point oh le champ est calcu16 et le point d'int6gration de l'61dment de volume du, u : volume du conducteur parcouru par la densitd de courant source J~~.
Avec ce type de formulation, les galettes sont d6finies comme les inducteurs dont le champ
d'excitation est calcu16 par la relation (3). En effet, le logiciel dont nous disposons (FLUX3D) permet de calculer H~~ pour diff6rents types d'inducteurs (volumiques, surfaciques et
lin6iques) de formes diverses (rectangulaires, circulaires et cylindriques) [6, 7]. Dans node
N° 3 SCH#MA #QUIVALENT DISCR#TIS# D'UN TRANSFORMATEUR 459
cas, la gdomdtrie des galettes correspond bien h celle d'inducteurs volumiques de forme
rectangulaire avec des coins arrondis (Fig. 4).
Le vecteur champ total vdrifie la relation :
Rot (H~~~> = J~~ (4>
La lindaritd du rotationnel nous permet d'dcrire que le champ magndtique rdduit
Hmd est lui aussi un champ rotationnel :
Rot (H~~~> =
o (5>
ceci implique que le champ rdduit H~~d dative d'un potentiel magndtique scalaire 4 dit
« rdduit
» tel que :
H~~d = grad 4 (6)
comme
div (B~~~> =
o (7>
et
Btoi = v Htot (8)
l'dquation h r6soudre est alors la suivante : div (B~~~> =
div iv (H~~ + H~>i
=
o
=
div [p (H~~ grad 4 )1 = 0
div ip (H~~ grad ~ >i = 0. (9>
On remarque que l'dquation (9) est de type scalaire. Il est intdressant de noter ici le gain important de place m6moire et de temps de rdsolution r6sultant du fait que le maillage en
dldments finis ignore la prdsence des inducteurs.
Le calcul numdrique de l'intdgrale de Biot et Savart ndcessite toutefois un temps de calcul important, mais les imprdcisions qui rdsulteraient de la non-lindaritd du circuit magndtique et/ou des fortes valeurs de p~, sont dvitdes dans node cas qui fait abstraction de ces facteurs [4, 5, 7j.
Il en r6sulte que, globalement, la formulation utilisant le potentiel scalaire r6duit est plus 6conomique que celle utilisant le potentiel vecteur.
2.2 MtTHODOLOGIE DE RtsoLuTioN. Apr~s avoir introduit la g60m6trie du dispositif en
tenant compte des sym6tries, nous imposons des conditions aux limites de type champ
tangentiel sur toutes les faces du circuit magn6tique ainsi que sur celles du couvercle de la
cuve. Sur la partie sup6rieure de la cuve (not6e A, B, C, D sur la Fig. 4), oh les grandeurs
magndtiques sont supposdes nulles, nous avons impos6 une condition de type champ normal afin de fixer une valeur finie du potentiel magndtique. Enfin, nous avons imposd une condition de type champ normal sur le plan de symdtrie vertical (notd B, C, E, F sur la Fig. 4).
Une fois les conditions aux limites 6tablies, on passe h l'dtape suivante consistant h mailler le domaine d'dtude tridimensionnel en dldments finis. Ce maillage est bask sur une discrdtisation du domaine en d16ments volumiques t6tra6driques et surfaciques triangulaires (Fig. 5). En
outre, pour avoir des r6sultats plus prdcis, nous avons choisi des dldments du second
ordre [5, 81.
460 jOURNAL DE PHYSIQUE III N° 3
o a
c
XLACLW
« T« TM#
£
WmTIW z
VQLLY£ IWTOR
T
Fig. 4. Gdom£trie du probldme magn£tostatique (inducteurs volumiques) d'aprds le descripteur de
gdomdtrie de FLUX3D.
[The magnetostatic geometry problem (volumic inductors) accorded to the geometry descriptor of FLUX3D.]
LA anE T. « T« TMm
,WET£W - Mt,LL£
iWKTw ~, wmo
z M~agT,OW
T
Fig. 5. Maillage en £I£ment finis (moddle magndtostatique).
[Finite element mesh generation (magnetostatic model)~]
N° 3 SCHEMA EQUIVALENT DISCRETISE D'UN TRANSFORMATEUR 461
Le calcul des dldments inductifs h basse frdquence est relativement facile h r£aliser. En revanche h haute frdquence, il se complique h cause de l'influence des courants de Foucault.
En effet, ces demiers, empdchent la pdndtration du flux magndtique en crdant un flux de rdaction qui s'oppose au flux principal. Le circuit magndtique ne joue donc aucun r61e h haute
frdquence. Aux frdquences intermddiaires, le comportement, est plus difficile h 6tablir. Ainsi, dans la littdrature on remve de nombreux essais effectuds h des frdquences 61evdes, sur des circuits magn6tiques de transformateurs de puissance. Les r6sultats correspondants ont fait
apparaitre que durant les rdgimes transitoires, h partir de 50 kHz, le circuit magndtique est
compmtement «blindd» par les courants de Foucault[9-11]. Le flux principal est atom essentiellement un flux de fuites et le circuit magndtique agit comme un dcran repoussant les lignes de champ dans l'air. Cette hypothbse est tout h fait valable aux frdquences correspondant par exemple h la propagation des ddcharges partielles dans les enroulements (500kHz et
plus) [12], ou des surtensions transitoires provenant des sollicitations du rdseau [13].
Nous pouvons donc admettre que l'approximation « haute frdquence » peut dtre retenue
globalement au-dell de 50 h loo kHz.
2.3 CALCUL DES INDUCTANCES PROPRES ET MUTUELLES.
2.3.I Inductances propres.-Le calcul de l'dnergie magndtique rdpond h la relation
suivante [4, 81
ii'MAG ~ 1~0 l~r l~~ot dU (~°)
p~ est la perm6abilitd magn6tique dquivalente du circuit magn6tique.
L'6nergie magn6tique s'exprime, en fonction du courant I traversant une galette, par la
relation suivante :
WMA~ =
LI~ (11)
L 6tant l'inductance propre de cette galette.
A partir des Equations (lo) et (11) et du nombre de spires N~~ de cette galette, nous
d6duisons la valeur de L :
L
=
~'~~'~'~~
N(~. (12)
I~
2.3.2 Inductances mutuelles. -Afin d'illustrer la m6thode utilis6e, nous avons choisi de
pr6senter l'exemple du calcul de l'inductance mutuelle M~i~_~~~ entre les galettes (I) et (2). Ce calcul est effectud en deux (tapes
ire dtape
. Alimentation successive des galettes (I) et (2) respectivement par les courants I~i> et I~~~, les autres galettes restant h vide.
. Calcul des Energies magndtiques respectives WMA~~I~ et WMA~~~~.
2e dtape :
. Alimentation simultande des galettes(I) et (2) par les courants respectifs I~i~ et
I~~~.
. Calcul de l'dnergie correspondante WMA~~I~_~~~.
462 JOURNAL DE PHYSIQUE III N° 3
L'6nergie magn6tique totale s'6crit sobs la forme [14]
~~'MAG " Ll l~l> + L21~2> + M(1>(2>1(1>1(2> (13)
en posant :
W~~~~i> = )Liiii> (14>
~~'MAG(2) ~ ~21~2) (15)
On en d6duit la valeur de M~i~_~~~.
~ ii'MAGIi)~(2) ~~MAG(~ ~ ~~'~~~~~~~
Nspl ~sp2 ~~
IF(2> 1jl
) 1(2)
expression dans laquelle N~~i et N~~~ repr6sentent les nombres de spires respectifs des galettes (I et (2).
2.4 RtSULTATS ET comPARAisoNs. Dans ce domaine, leg r6sultats expdrimentaux 6tant difficiles h obtenir, et souvent start limit6s h des valeurs globales, nous avons estim6 plus opportun de comparer nos rdsultats de simulation en 3D avec ceux obtenus h l'aide de mdthodes analytiques courantes. On peut ainsi appr6cier le degrd de validit6 et de prdcision de
ces mdthodes analytiques, h partir d'une m6thode de r6f6rence a priori moins restrictive au
plan des hypothbses adopt6es, en particulier la prise en compte de la gdom6trie r6elle tridimensionnelle.
Les r6sultats num6riques pr6sent6s ci-apr~s concement les galettes du transformateur dont la
g60mdtrie est d6crite h la figure I. Dans le tableau I sont pr6sent6es quelques valeurs d'inductances propres et mutuelles dont une comparaison est faite avec celles obtenues en utilisant une m6thode analytique dont les d6tails sont expos6s dans les r6f6rences [2, 3].
A la lumi~re de ces r6sultats, nous constatons que la concordance entre les valeurs obtenues par les deux m6thodes est relativement borne. Toutefois, l'avantage du calcul par 616ments finis r6side dons la prise en compte de la gdomdtrie rdelle du dispositif, laquelle se traduit par des corrections comprises entre 5 et 20 9b, qui peuvent se rdvdler ndcessaires dans le cadre de
certains probmmes.
Tableau I. Comparaison entre les valeurs des paramdtres inductifs obtenues par FLUX3D
et par une mdthode analytique [21. M-E-F- Mdthode des Eldments Finis.
[Comparaison between the inductive parameters values computed with FLUX3D and with an
analytic method [21. F-E-M- Finite Element Method.]
Par la M-E-F- en 3D Calcul analytique [21 Ecart relatif 9b
L~ (mH) 0,5986 0,5707 4,70
L~ (mH) 0,5808 0,5605 3,50
(mH) 0,4810 0,5656 17,60
N° 3 SCHEMA EQUIVALENT DISCRETISE D'UN TRANSFORMATEUR 463
3. Calcul des paramktres capacitifs.
La discrdtisation de l'enroulement du transformateur dtant limitde h l'dchelle de la galette, nous ndgligeons les capacitds entre spires et nous nous intdressons principalement aux capacitds de
couplage entre galettes et entre galettes et la masse (circuit magn6tique et dcrans dlectrostati-
ques).
Les capacit6s entre galettes voisines, dont les g60mdtries ne prdsentent pas beaucoup de
disparitds (largeur, hauteur etc.. ), sont relativement simples h calculer analytiquement. Le
probmme se complique lorsqu'il s'agit par exemple de capacitds entre deux galettes sdpardes
par une troisi~me, ou encore entre une galette et le circuit magn6tique (masse), ce demier
possddant une forme rectangulaire totalement diffdrente de celle de la galette. Dons ce cas le calcul tridimensionnel par dldments finis est d'une grande utilitd puisqu'il est bask sur la ddtermination du champ dlectrique et de l'dnergie dlectrostatique emmagasinde dans tout le
domaine d'dtude. On peut ainsi calculer, en tenant compte de la gdomdtrie rdelle des
enroulements et du circuit magndtique, toutes les capacitds de couplage, y compris les
capacitds sdrie (capacitds entre l'entrde et la sortie d'une galette) qu'on ne consid~re pas dans cette dtude afin de simplifier l'exposd de la mdthode.
3.I FORMULATION UTILIS#E. Le calcul est rdalisd dans le cadre de l'dlectrostatique 3D.
Dans ce cas la variable d'6tat est le potentiel 61ectrique V.
Les 6quations de base assoc16es h cette formulation sont : Rot (E)
= 0 (17)
div (D)
= p (18)
D
= eo e~.E (19)
E : vecteur champ dlectrique, D : vecteur induction dlectRque, p : densitd volumique de
charges et eo, e~ ; ddsignent respectivement la permittivit6 de l'air et du milieu didlectrique.
D'aprbs la relation (17), le champ 61ectrique dative d'un potentiel 61ectrique scalaire V :
E
= grad (V ) (20)
L'dquation h rdsoudre est alors [4] :
div (eo e~ grad (V )) + p = 0. (21)
La reprdsentation tridimensionnelle de l'dquation (21) dans un repbre cartdsien sous forme
d'dquations aux d6rivdes partielles [15], en supposant que le milieu d161ectrique est lindaire et
isotrope, correspond h l'dquation suivante :
eo
~( ~~~
+
~~~
+
~~~
= p (22)
ax2 ay2 az2
3.2 MtTHODOLOGIE DE RtsoLuTioN. Dans les probl~mes £lectrostatiques, les sources sont
principalement ddfinies par l'intermddiaire des conditions aux limites. Ainsi, nous avons imposd des conditions de type Dirichlet (V
= Cte) sur les surfaces des galettes, sur le circuit
magndtique ainsi que sur le couvercle de la cuve (Fig. 6). Par contre, sur les plans de symdtrie,
nous avons impos6 des conditions homog~nes de type Neumann (8V/8n
= 0).
A noter qu'avec cette formulation se pose le probmme d'effet de pointe (renforcement de
champ dlectrique) lequel nous oblige h rdaliser un maillage trbs fin dans les r6gions h faible rayon de courbure, augmentant ainsi les temps de rdsolution.
464 JOURNAL DE PHYSIQUE III N° 3
a)
CDUV£ROLE DE LA CUYE oF THETANK
xAmiigu£
z ciacuii
~
y
x
COILS
b)
ECRAN EL£C1RosTA110UE TEL£CTROSTAT'C SCR£EN'
~~~CTROSTATIQU£
.~~ t~LECTROSTATIC SCRE£Nl
Z
'".
CAL£TT£ ST
s~~3~,
ILV D'scl GAL£TT£s HT
tHY olscsl
Fig. 6. a) G£om£trie du probldme dlectrostatique d'aprds le descripteur de g£om£trie de FLUX3D.
b) Sch£ma du bobinage d'aprks le descripteur de g£omdtrie de FLUX3D.
[a) The electrostatic geometry problem accorded to the geometry descriptor of FLUX3D. b) The 3D
winding scheme accorded to the geometry descriptor of FLUX3D.]
