I Transformateur et transfert de puissance

I Transformateur et transfert de puissance

1.

R _g e

i

Z u

u

La loi des mailles donne

E R g i Z _u i pR g R u jX u qi ce qui donne

i E

R g R u jX u

Or u Z _u i donc

u E R _u jX _u R _g R _u jX _u

On peut alors calculer la puissance moyenne avec la formule x P y 1 { 2< t ui u soit x P y 1

2 < t Z _u ii u 1

2 < t Z _u u| i | ² donc, en utilisant l’expression de i

x P 1 y 1

2 E ² R u

p R _g R _u q ² X _u ² En simplifiant dans le cas particulier, on obtient

x P 1 y 1

2 E ² 2R g

p R _g 2R _g q ² 4R ² _g x P y 1 2 E ² 2

13R _g 2.

R g

e

i ₁ i ₂

Z u

u 1 u 2

2.a. Cot´ e primaire, la tension aux bornes de la bobine est en convention r´ ecepteur, donc u 1 e 1 N ₁ ^dφ _dt

.

Au secondaire, on est en convention g´ en´ erateur donc u ₂ e ₂ N ₂ ^dφ _dt

.

La notation des bornes homologues permet de d´ eduire que φ ₁ φ ₂ (en raison de l’orientation des courants), donc

u ₂ u 1 N ₂

N 1

u ₁ e _g R _g i ₁ donc e _g R _g i ₁ u ₂ m

Il nous reste ` a connaitre l’intensit´ e dans le secondaire. On obtient cette intensit´ e en utilisant la conservation de la puissance dans le transformateur id´ eal u ₁ i ₁ u ₂ i ₂ , donc i ₁ mi ₂ .

On obtient la relation donnant l’intensit´ e en passant en notation complexe et en utilisant la d´ efinition de l’imp´ edance complexe u ₂ Z _u i ₂ , ce qui donne

e _g R g mi ₂ Z _u i ₂ m soit

i ₂ e _g mR g Z

m

me _g

m ² R _g R _u jX _u et

u ₂ me _g R _u jX _u m ² R g R u jX u

On obtient la puissance moyenne par la mˆ eme m´ ethode que pr´ ec´ edemment x P 2 y 1

2 < t Z _u u| i 2 | ² 1 2 R u

m ² E ²

p m ² R _g R _u q ² X _u ² 2.b. Il faut d´ eriver l’expression pr´ ec´ edente par rapport ` a m

x P ₂ y ¹ R _u E ² 2

2m

m ² R g R u

₂ X _u ²

m ²

2 m ² R g R u

2mR g

p m ² R _g R _u q ² X _u ²

2

soit

x P 2 y ¹ R u E ² 2

2m m ² R _g R _u 2

2mX _u ² 2m ⁴ R ² _g 2m 4m ⁴ R _u R _g p m ² R _g R _u q ² X _u ²

2

donc

x P ₂ y ¹ 2mR _u E ² 2

m ⁴ R ² _g R ² _u 2m ² R g R u X _u ² 2m ⁴ R ² _g 2m ² R u R g

p m ² R _g R _u q ² X _u ² 2

qui se simplifie (un peu)

x P ₂ y ¹ mR _u E ² R _u ² X _u ² m ⁴ R ² _g p m ² R g R u q ² X _u ²

₂

La d´ eriv´ ee s’annule pour

m ⁴ ₀ R ² _u X _u ²

R ² _g m ₀

d

R ² _u X _u ² R ² _g

d | Z _u | ² R ² _g

d | Z _u | R g

La d´ eriv´ ee changeant de signe en m m 0 , l’extremum est bien un maximum.

2.c.

x P ₂ y 1

2 R _u m ² ₀ E ²

pm ² ₀ R g R u q ² X _u ² 1 2 R _u

| Z

| R

E ²

p ^{| Z} _R

^| R _g R _u q ² X _u ² 1 2

R _u R _g

| Z _u | E ² p| Z _u | R _u q ² X _u ² donc

x P 2 y 1 2

R u

R _g

| Z u | E ²

| Z _u | ² R ² _u X _u ² 2 | Z _u | R _u 1 4

R u

R _g

| Z u | E ²

| Z _u |p| Z _u | R _u q 1 4

R u

R _g E ²

| Z _u | R _u Dans le cas particulier propos´ e

x P 2 y 2 4

E ² p ?

8 2 q R _g E ² 9, 7R _g Ce montage permet donc d’augmenter la puissance transmise ` a la charge.

II Bornes homologues

i 1

n 1 spires

i 3

n 3 spires i ₂

n 2 spires

i ₄

n 4 spires

u ₁ u ₃

u 2

u 4

On commence par la relation entre courants qui est la plus simple. Les courants entrants par des bornes homologues sont compt´ es avec le mˆ eme signe dans le th´ eor` eme d’Amp` ere, donc

¾ Ý Ñ H d~l n ₁ i ₁ n ₂ i ₂ n ₃ i ₃ n ₄ i ₄

Or Ý Ñ B µ 0 µ r Ý Ñ H avec µ r Ñ 8 dans un transformateur parfait. Comme Ý Ñ B doit rester born´ e, alors Ý Ñ H est nul, donc

n ₁ i ₁ n ₂ i ₂ n ₃ i ₃ n ₄ i ₄ 0

Pour la tension aux bornes des enroulements, on regarde si elle est en convention g´ en´ erateur (conform´ ement

`

a la loi de Faraday) ou en convention r´ ecepteur, ce qui donne la relation entre la tension aux bornes de l’enroulement et la f´ em induite par le flux commun φ dans le cas d’une canalisation parfaite du flux. On a alors u 1 e 1 , u 2 e 2 (convention g´ en´ erateur) et u 3 e 3 , u 4 e 4 , donc

$ ' ' '

&

' ' ' %

u ₁ n ₁ ^dφ _dt u 2 n 2 dφ

dt

u 3 n 3 dφ dt

u ₄ n ₄ ^dφ _dt

ce qui permet facilement de calculer les rapports de transformation u ₂

u ₁

n ₂ n ₁ ; u ₃

u ₁

n ₃ n ₁ ; u ₄

u ₁

n ₄

n ₁

i 1 i 2

Ý Ñ S S~ e _θ

v ₁ v ₂

1.a. Par sym´ etrie, l’excitation magn´ etique Ý Ñ H est un vecteur orthoradial, puisque le plan p O, ~ e z q est plan de sym´ etrie. Par ailleurs, il y a invariance par rotation autour de p O, ~ e _z q , donc Ý Ñ H ne d´ epend pas de θ.

Pour finir, on suppose que le tore est suffisamment grand pour que l’excitation soit homog` ene dans une section du tore, donc la valeur de Ý Ñ H est constante. On a donc

Ý

Ñ H H~ e _θ

On applique le th´ eor` eme d’Amp` ere ` a un cercle d’axe p O, ~ e z q et de rayon R pour calculer l’excitation

magn´ etique ¾

Γ

Ý

Ñ H d~l 2πRH N ₁ i ₁ N ₂ i ₂

Le signe venant de l’orientation relative des spires parcourues par i 1 et Ý Ñ S . On a donc Ý

Ñ B µ 0 µ r Ý Ñ H

donc Ý Ñ B a les mˆ emes propri´ et´ es g´ eom´ etriques que Ý Ñ H . On peut alors calculer le flux magn´ etique commun

`

a travers la section S du tore

φ Ý Ñ B Ý Ñ S N 1 i 1 N 2 i 2

2πR µ 0 µ r S On en d´ eduit

N 1 i 1 2πR

µ 0 µ r S φ N 2 i 2 donc i 1 2πR

N 1 µ 0 µ r S φ N ₂ N 1

i 2

Si le secondaire ne d´ ebite pas de courant, on constate cependant que l’intensit´ e i 1 est non nulle. Ce courant est appel´ e courant magn´ etisant

i m 2πR N ₁ µ ₀ µ _r S φ

1.b. La puissance absorb´ ee par le transformateur n’est alors pas nulle. Par ailleurs, on peut remarquer que

u 1 N 1

dφ dt N 1

N ₁ µ ₀ µ _r S 2πR

di _m

dt N ₁ ² µ ₀ µ _r S 2πR

di _m dt L m

di _m dt

ce qui montre qu’on peut mod´ eliser le courant magn´ etisant par une inductance plac´ ee en parall` ele ` a l’entr´ ee du transformateur.

i ₁ i ₂

u 1 L m u 2

i m

2.

i 1 R ₁ L f1 L 2f R ₂

i 2

u ₁ L _µ u ₂

i _m

2.a. Ces pertes correspondent au pertes cuivre dues aux r´ esistances des enroulements et donc ` a l’effet Joule impliqu´ e par ces r´ esistances. On joue principalement sur la qualit´ e du conducteur utilis´ e pour diminuer les pertes par effet Joule.

2.b. C’est le ph´ enom` ene de fuite de flux qui est du ` a l’imperfection de la canalisation du flux du champ dans le mat´ eriau ferromagn´ etique.

2.c. Les pertes fer sont dues au courant de Foucault dans le mat´ eriau ferromagn´ etique et aux pertes par hyst´ er´ esis. On choisit un mat´ eriau feuillet´ e pour diminuer les courants de Foucault et on utilise un mat´ eriau ferromagn´ etique ”doux” pour limiter les pertes par hyst´ er´ esis li´ ees ` a l’aire du cycle parcouru dans la repr´ esentation B p H q .

IV D´ etermination exp´ erimentale des pertes par hyst´ er´ esis

i 1 i 2 R

C

R 0

eptq u 1 u 2

voie X

voie Y

v _X

v Y

1.a. l ² " S permet de consid´ erer l’excitation magn´ etique constante sur une section droite du tore. C’est une hypoth` ese facilitant le calcul.

1.b. On a un pont diviseur de tension entre u 2 et v Y , donc v _Y

u ₂ Z _C Z _R Z _C

1 jCω

R _jCω ¹ 1 jRCω 1

Le montage a un comportement int´ egrateur |Hpωq| 1{ω, ce qui est vrai si la fr´ equence utilis´ ee est tr` es sup´ erieure ` a la fr´ equence de coupure. Ici f c 2πRC, il faut donc RCω " 1, ce qui implique

C " 1

Rω 1

2πRf 3.18 10 ⁸ F

homologue. Ý Ñ H est orthoradial par sym´ etrie, on utilise donc un contour circulaire de centre O et de rayon r T et de circonf´ erence l. ¾

Γ

Ý

Ñ H d~l lH n 1 i 1 n 2 i 2

Comme n 1 i 1 " n 2 i 2 , alors lH n 1 i 1 et donc, avec v X R 1 i 1

H n 1

R ₁ l v _X

Pour exprimer Ý Ñ B , on exprime la tension u 2 , qui en convention r´ ecepteur vaut u 2 e 2 , e 2 ´ etant la f´ em induite calcul´ ee par le loi de Faraday, donc

u 2 e 2 n 2

dφ dt

Or le flux commun a pour valeur φ BS puisque le champ est constant sur une section droite, donc u 2 n 2 S dB

dt Enfin, pour le filtre int´ egrateur

v _Y 1 RC

» _t

0

u ₂ p t ¹ q dt ¹ 1 RC n ₂ S

» _t

0

dB

dt ¹ dt ¹ n ₂ S

RC r B p t q B p 0 qs et donc

B p t q B p 0 q RC n 2 S v _Y

On peut donc visualiser en mode XY sur l’oscilloscope le cycle d’hyst´ er´ esis parcouru B p H q . Si B p 0 q 0, alors le cycle n’est pas centr´ e sur l’origine.

1.d. Le champ r´ emanent est le champ B ¡ 0 quand H 0. Le champ coercitif, appel´ e aussi excitation coercitive est la valeur de H ¡ 0 quand B 0. Ici le cycle est centr´ e donc B p 0 q 0. On mesure les tensions v Y r 2, 5 V donc B r 0.5 T et v Xc 0.125 V , donc H c 12.5 A m ¹ .

2. Pertes par hyst´ er´ esis

2.a. Par d´ efinition

P _H 1 T

» _T

0

u ₁ i ₁ dt

u 1 ´ etant not´ e en convention r´ ecepteur, les pertes cuivres ´ etant n´ egligeables u ₁ e ₁ n ₁ dφ

dt n ₁ S dB dt On peut calculer i 1 ` a partir de lH n 1 i 1 , soit

i ₁ lH n ₁ et donc

P _H 1 T

» _T

0

n ₁ S dB dt

lH n 1

dt 1 T Sl

» _T

0

HdB

L’int´ egrale correspond au parcourt d’un cycle d’hyst´ er´ esis. On peut donc exprimer les pertes fer sous la forme

P H V A T

o` u V Sl est le volume de mat´ eriau et A l’aire du cycle d’hyst´ er´ esis.

2.b. Sur l’axe X, un carreau correspond ` a 0.5 V , donc ` a 100 A m ¹ . Sur l’axe Y , un carreau correspond

`

a 1 V donc ` a 0.2 T . Une aire de un carreau correspond donc, en unit´ e SI, ` a 20 SI . L’aire vaut six carreaux, donc la puissance dissip´ ee vaut

P H 20 10 ⁴ 0.5 6 20

1 { 50 6 w

dissip´ ee par p´ eriode.

3. Il est souhaitable de limiter les pertes dans le mat´ eriau et donc de choisir un mat´ eriau ` a champ coercitif faible.

V M´ ethode des pertes s´ epar´ ees

1. Le secondaire est en circuit ouvert. Les pertes cuivre au secondaire sont donc nulles puisque i ₂ 0.

La puissance correspond donc ` a priori aux pertes fer et aux pertes cuivre dans le primaire.

Cependant, l’intensit´ e vaut 1, 0 A, alors qu’en r´ egime nominal elle vaut I _p P _n { U _n 2.2 10 ³ { 230 9, 5 A.

L’intensit´ e est donc 10 fois plus faible qu’en r´ egime nominal, et les pertes par effet Joule sont donc 100 fois plus faibles. La puissance correspond donc essentiellement aux pertes fer.

Remarque : le courant existant dans le primaire alors que le secondaire est ouvert est le courant magn´ etisant.

2.a. Le secondaire est en court-circuit, donc V _scc le tension au secondaire correspondante est quasi nulle,

en pratique ´ egale ` a R s I scc si la r´ esistance de l’enroulement secondaire est R s . Le rapport de transformation

donne alors pour la tension au primaire V pcc mR s I scc qui est donc tr` es petit.

(pour les enroulements), aux variations du flux V p N p

dφ

dt V s N s

dφ dt

qui sont donc tr` es faibles. Les variations du champ magn´ etique sont donc tr` es faibles aussi. Les pertes par courant de Foucault et par hyst´ er´ esis sont donc n´ egligeables et la puissance consomm´ ee correspond au pertes cuivre totales.

Par ailleurs, comme les intensit´ es sont ` a leur valeurs nominales, les pertes cuivre mesur´ ees correspondent au pertes cuivre en r´ egime nominal.

3. La puissance fournie au primaire est int´ egralement consomm´ ee au secondaire ou dans les pertes.

η P ut

P cons 2 10 ³

2 10 ³ 75 80 93 %