Actions exercées par les uides

(1)

Introduction Tension supercielle Forces de pression et de viscosité Systèmes ouverts Exercice

Actions exercées par les uides

Mécanique des uides

Saint Louis PC*1

année scolaire 2018-2019

(2)

Problématique Plan

Pourquoi un jet d'eau exerce-t-il une force sur les objets ?

(3)

Problématique Plan

1) observer les forces à la surface d'un liquide

(4)

Problématique Plan

2) modéliser les forces pour un solide dans un uide

(5)

Problématique Plan

3) faire des bilans pour un système ouvert

(6)

Propriétés de la tension supercielle Lois relatives à la tension supercielle Tension supercielle et tensio-actifs

Mise en évidence de la tension supercielle

Un trombone, plus dense que l'eau, otte : une autre force existe,

exercée par l'eau. Une fois immergé, le trombone coule : la force est

surfacique.

(7)

Force de tension supercielle (dénition) Les forces exercées par un liquide sur un solide de longueur d ` à une interface liquide/solide/air sont données par la relation

− →

df = γ d` ~ n

où γ est la tension supercielle en N · m

⁻¹

et n ~ est un vecteur unitaire tangent à l'interface,

perpendiculaire au solide orienté dans le sens solide →

liquide.

(8)

Tension supercielle et énergie de surface

Le travail des forces de tension supercielles pour les deux interfaces est : δW = 2 γ ` d x .

γ est donc une énergie surfacique.

(9)

Explication microscopique des forces de tension supercielle

schématiquement les forces entre molécules d'eau. Une asymétrie

existe à la surface, qui explique la tension supercielle.

(10)

Montée capillaire

l'eau monte dans un tube capillaire, c'est-à-dire de petit diamètre

intérieur.

(11)

Loi de Jurin (exercice)

Exprimer la hauteur h de montée d'un liquide de masse volumique µ et de tension supercielle γ dans un tube capillaire de rayon r .

En déduire que h augmente si r diminue.

(12)

Loi de Jurin (exercice)

Le système est le liquide au dessus du niveau libre du liquide.

Sa masse estm=µ πr²h. Il est soumis à son poids−m g~uz

et à la tension exercée par le solideT~= +2πrγcosθ ~u_z. L'équilibre des forces donne

2πrγcosθ=µ πr²h g⇒h=2γcosθ µr g

On en déduit bien quehaugmente sirdiminue.

(13)

Loi de Laplace (exercice)

Considérons une bulle de gaz contenue dans un liquide et appelons γ la tension supercielle de l'interface gaz-liquide. Supposons qu'on fait subir à la bulle une transformation qui augmente son rayon de d R . En utilisant la conservation de l'énergie, exprimer la diérence de pression P

int

− P

ext

entre l'intérieur et l'extérieur en fonction de γ et R .

En déduire que plus la courbure est importante et plus la diérence de pression sera grande.

Que se passe-t-il pour une bulle de savon de rayon

R ?

(14)

Loi de Laplace (exercice)

L'aire de l'interface augmente de dS=8πRdRet le volume de la bulle de dV=4πR²dR. L'énergie ne varie pas :

−γdS+ (P_int−P_ext)dV=0⇒ −8πRγdR+ (P_int−P_ext)4πR²dR=0

⇒P_int−P_ext=2γ R

On voit immédiatement que plus la courbure est importante (Rpetit) et plus P_int−Pextsera grand.Pour une bulle de savon de rayonR, il y a deux interfaces, donc

P_int−Pext=4γ R

(15)

Longueur capillaire (exercice)

Considérons une goutte de liquide de rayon R contenue dans un gaz et appelons γ la tension supercielle de l'interface gaz-liquide.

Exprimer la diérence de pression ∆P

g

due à la pesanteur dans le cadre de l'hydrostatique.

Comparer cette diérence de pression à celle, notée

∆P

γ

, due à la tension supercielle : montrer que l'une est négligeable devant l'autre suivant la valeur de R , la limite étant appelée longueur capillaire `

_c

.

Calculer `

c

dans le cadre de l'eau et en déduire la

taille maximale des gouttes d'eau.

(16)

Longueur capillaire (exercice) ∆Pg=µg h=2µg R.

∆P_g∆P_γ⇔

2µg R2γ

R ⇔R² γ µg

La longueur capillaire est donc`_c=q_γ µg. Pour l'eau`_c=

r72×10−3

1000×9,8=2,7 mm, qui est la taille maximum des gouttes d'eau (ensuite, la pesanteur donne à l'eau une forme non sphérique).

(17)

méthode de mesure de la tension supercielle par arrachement

On trouve expérimentalement : γ = 72 mN · m

⁻¹

pour l'eau pure

et beaucoup moins pour l'eau savonneuse.

(18)

explication microscopique de l'eet des molécules amphiphiles

en adaptant l'interface, les molécules amphiphiles diminuent la

tension supercielle.

(19)

le bateau à savon

la diérence des tensions supercielles entre l'eau pure et l'eau

savonneuse fait avancer le "bateau".

(20)

Forces de pression statiques Portance

Traînée

Théorème d'Archimède

La résultante des forces de pression exercée sur le solide (volumeV délimité par la surface ferméΣ) est

~Π ={ Σ

−P

−−→ d²Σ =y

V

−−−→ grad Pd³τ

Or, à l'équilibre statique−−→

grad P=µ ~g, donc

~Π =y V

−µ ~gd³τ=−M_i~g

(21)

Traînée

Théorème d'Archimède

Un corps de volume V plongé dans un uide subit comme résultante des forces de pression l'opposé du poids du uide déplacé (de masse M

i

) :

~ Π = −M

_i

~ g

(22)

Traînée

Force de pression si la pression est homogène (exercice)

Déterminer la résultante des forces de pression

appliquée par un gaz de pression P

₀

uniforme sur un

solide immergé dans ce gaz.

(23)

Traînée

Force de pression si la pression est homogène (exercice)

La résultante des forces de pression exercée sur le solide (volumeV délimité par la surface ferméΣ) est

~Π ={ Σ

−P

−−→ d²Σ =y

V

−−−→ grad Pd³τ

Or−−→

grad P=~0, donc~Π =~0.

(24)

Traînée

Force de pression appliquée sur un barrage parallélépipédique (exercice)

Déterminer la résultante des forces de pression

appliquée sur un barrage parallélépipédique si la

hauteur d'eau est h , la largeur du barrage L , la masse

volumique de l'eau µ et la pression atmosphérique P

a

.

(25)

Traînée

Force de pression appliquée sur un barrage parallélépipédique (exercice) La résultante des forces de pression est

~Fp= x

S

−P

−−→ d²S=−L

Z_z=0 z=−h

P(z)~ux+L Z_z=0

z=−h Pa~ux

Or−−→

grad P=µ ~g, doncP(z) =P_a−µg z.

F~_p=−L Z_z=0

z=−h

(P_a−µg z)~u_x+L Z_z₌₀

z=−h

P_a~u_x=−L

"

−µg z² 2

#_z=0

z=−h

~

u_x=−µg L h² 2 ~u_x

(26)

Traînée

Eet Magnus

on s'intéresse à un écoulement parfait, incompressible, irrotationnel et stationnaire, que l'on suppose uniforme à l'inni. L'écoulement du uide est perturbé par un obstacle solide. Bien entendu, on peut comprendre l'écoulement du uide par le fait que le solide lui-même se déplace : il sut alors de se placer dans le référentiel où le centre du solide est xe.

La déformation des lignes de courant au voisinage du solide se caractérise par une zone où la vitesse est plus forte (et donc où la pression est plus faible), alors qu'à d'autres endroits, la vitesse est plus faible (et c'est alors la pression qui est plus forte).

La diérence de pression de part et d'autre du solide donne alors une force qui tend à déplacer le solide vers les zones de dépression, donc de fortes vitesses.

(27)

Traînée

Eet Magnus

l'écoulement d'un uide au voisinage d'un solide

exerce une force qui tend à déplacer le solide vers les

zones de dépression, donc de fortes vitesses.

(28)

Traînée

Eet de sol

une voiture voit les lignes de courant de l'air se resserrer sous son

bas de caisse. La vitesse de l'air est plus importante sous la voiture

qu'au dessus. Aussi, il règne une basse pression sous la voiture, ce

qui a pour eet de faire subir au véhicule une force de haut en bas

qui le "colle" au sol. Cet "eet de sol", loin d'être nuisible, permet

une bonne adhérence des pneus sur la chaussée.

(29)

Traînée

Portance d'un avion

La circulation de l'air autour d'une aile d'avion n'est pas

symétrique. Au dessus de l'aile ("extrados"), la vitesse est

importante, alors qu'en dessous ("intrados"), la vitesse est plus

faible. Aussi, l'aile ressent une force dirigée vers le haut qui assure

la sustentation de l'avion.

(30)

Traînée

L'eet Coanda

De la même façon, le sèche-cheveux permet la lévitation d'une balle

de ping-pong.

(31)

Traînée

Déviation d'un cylindre en rotation :

si le solide est un cylindre sans rotation, il y a symétrie du problème.

Par contre, si le cylindre tourne autour de son axe, le caractère réel (c'est à dire visqueux) du uide entraîne sa rotation au contact du cylindre. Le cylindre ressent alors une force qui tend à le déplacer vers les zones de fortes vitesses.

Un tel dispositif a été utilisé pour mouvoir un bateau grâce au vent... sans voile ! C'est le cas du bateau "Alcylone" du

Mécanique des uides Actions exercées par les uides

(32)

Traînée

Déviation d'une balle : lift, coupé, smash

une illustration de l'eet Magnus : une sphère ou un cylindre qui

tourne en se déplaçant dans un uide. Ainsi, on peut expliquer les

eets (brossés, coupés, liftés, etc.) donnés aux balles de ping-pong,

de tennis ou encore aux ballons de football. La situation de la gure

est caractéristique d'un smatch : la balle en rotation est entraînée

vers le bas.

(33)

Traînée

La portance et la traînée

l'écoulement du uide crée sur un solide deux force : la portance

(perpendiculairement à l'écoulement) et la traînée (parallèlement à

l'écoulement).

(34)

Traînée

Maître-couple (dénition)

on s'intéresse à un obstacle xe plongé dans un uide d'écoulement uniforme à l'inni

~

v

∞

= v

∞

~ u

x

La projection de l'obstacle sur un plan x = cste

perpendiculaire à l'écoulement présente une surface

d'aire S : c'est le maître-couple.

(35)

Traînée

Force de traînée (dénition)

la force de trainée est la composante parallèle à l'écoulement de la force ressentie par l'obstacle à cause de l'écoulement. Elle est de la forme :

F ~

trainee

= C

x

µ v

_∞²

S 2 u ~

x

Le coecient de traînée C

x

est sans dimension. Il ne

dépend que de la forme de l'obstacle et du nombre de

Reynolds.

(36)

Traînée

Traînée et maître couple

l'écoulement du uide qui n'est homogène qu'à l'inni. On se place

dans le référentiel où le solide est xe.

(37)

Traînée

Inuence de la forme de l'objet sur le coecient de traînée

la traînée dépend de la forme de l'objet : un objet prolé présente

un Cx plus faible qu'une surface plane.

(38)

Traînée

C

_x

= f (Re) pour diérentes formes d'obstacles.

l'inuence de la forme de l'obstacle et du coecient de Reynolds

Re sur le coecient de traînée C

x

.

(39)

Traînée

Variation de la courbe C

_x

= f (Re) pour des rugosités diérentes.

l'inuence de la rugosité d'un obstacle et du coecient de Reynolds

Re sur le coecient de traînée C

x

.

(40)

Traînée

Force de traînée et force de frottement uide

• A forte vitesse (nombre de Reynolds grand), le coecient de traînée C

x

est à peu près constant, donc

F ~

_trainee

= −βv

²

~ u

_x

si Re 1.

• A faible vitesse (nombre de Reynolds petit), le coecient de

traînée C

x

est inversement proportionnel à la vitesse, donc

F ~

_trainee

= −λ~ v si Re 1.

(41)

Traînée

Force de traînée exercée sur une sphère (exercice) On s'intéresse à une sphère de rayon R qui se déplace dans un uide de viscosité η avec la vitesse v . On suppose que le nombre de Reynolds est susamment petit pour pouvoir considérer le coecient de traînée comme C

x

=

_Re²⁴

.

Déterminer la force de traînée exercée par le uide sur

la sphère.

(42)

Traînée

Force de traînée exercée sur une sphère (exercice)

F_x= C_xµ.v∞.s

2 =1

2 24

Reµ.v².π.R²= 1 2

24.η

µ.2.R.vµ.v².π.R²=6.π.R.η.v

(43)

Bilan de masse

Bilans de quantité de mouvement Bilan d'énergie

Système ouvert :

le système ouvert est déni comme le volume V délimité par une surface fermée Σ. Σ est xe dans le référentiel d'étude au cours du temps.

Pour le système ouvert correspondant au volume V :

M

_ouvert

= y

V

d

³

m = y

V

µ d

³

τ

où µ est la masse volumique du uide.

(44)

Bilan de masse

Passer d'un système ouvert à un système fermé

un système ouvert et le système fermé qui le traverse.

(45)

Bilan de masse

Débits massique et volumique (dénition)

le débit massique à travers une surface non fermée S orientée est :

D

m

= x

S

µ − → v · −−→

d

²

S

Il s'exprime en kg · s

⁻¹

. La masse δm qui passe à travers la surface pendant dt est telle que D

m

=

^δm_d_t

. On aurait tout aussi bien pu dénir le débit volumique à travers la surface orientée S :

D

v

= x

S

−

→ v · −−→

d

²

S

qui s'exprime en m

³

· s

⁻¹

.

(46)

Bilan de masse

Débits pour un uide incompressible

La variation temporelle deMpour le système fermé est :

DM Dt = ∂M

∂t +δm_B dt −δm_A

dt =0 où

• la variation temporelle de la masseMpour le système fermé : dMferme

dt = ^DM_D_t =0 ;

• la variation temporelle explicite deMpour le système ouvert : dMouvert

dt =^∂M_∂t =_∂t^∂ t

Vµd³τ

=0, carµ=cste;

• les ux entrant (^δ_d^mA_t ) et sortant (^δ_d^mB_t ) de masse qui ne sont rien d'autre que les débits massiques.

(47)

Bilan de masse

Débits pour un uide incompressible Dans le cas d'un uide incompressible (liquide),

• le débit massique se conserve entre l'entrée et la sortie :

^δm_d_t^e

=

^δm_d_t^s

= D

_m

• ainsi que le débit volumique :

^δV_d_t^e

=

^δV_d_t^s

= D

_V

.

(48)

Bilan de masse

Débits en régime permanent

La variation temporelle deMpour le système fermé est :

DM Dt = ∂M

∂t +δm_B dt −δm_A

dt =0 où

• la variation temporelle de la masseMpour le système fermé : dMferme

dt = ^DM_D_t =0 ;

• la variation temporelle explicite deMpour le système ouvert : dMouvert

dt =^∂M_∂t =_∂t^∂ t

Vµd³τ

=0, car_∂t^∂ =0 ;

• les ux entrant (^δ_d^mA_t ) et sortant (^δ_d^mB_t ) de masse qui ne sont rien d'autre que les débits massiques.

(49)

Bilan de masse

Débits en régime permanent

Dans le cas d'un écoulement permanent, quel que soit le uide (liquide ou gaz), le débit massique se

conserve entre l'entrée et la sortie :

^δm_d_t^e

=

^δm_d_t^s

= D

m

.

(50)

Bilan de masse

Non conservation du débit d'un gaz en régime non permanent : (exercice)

Une pompe injecte un débit massique D

m

constant d'air (considéré comme un gaz parfait de masse molaire M à la température T ) dans une chambre à air.

Déterminer l'équation diérentielle à laquelle obéit

la pression P dans la chambre à air.

(51)

Bilan de masse

Non conservation du débit d'un gaz en régime non permanent : (exercice) La variation temporelle deMpour le système fermé est :

DM Dt =dM

dt +δms dt −δme

dt où

• la variation temporelle de la masseMpour le système fermé :^DM_Dt =0 ;

• la variation temporelle explicite deMpour le système ouvert : dMdt = _∂t^∂ t

Vµd³τ

=V^∂µ_∂t ;

• les ux entrant (^δme_dt =Dm) et sortant (^δms_dt =0) de masse.

Commeµ=^m_V =^n.M_V =^P.M_R.T, on trouveV^∂µ_∂t =D_m=^V.M_R.T ^∂P_∂t.

(52)

Bilan de masse

Quantité de mouvement d'un système ouvert : (dénition)

la quantité de mouvement du système ouvert de volume V est :

P ~ = y

V

~

v d

³

m = y

V

µ ~ v d

³

τ

(53)

Bilan de masse

Bilan de quantité de mouvement :

la variation temporelle de la quantité de mouvement du système fermé est :

DP~ Dt =

P~_f(t+dt)−P~_f(t) dt = d~P

dt +δm_s dt ~vs−δm_e

dt ~ve

où^d_dt^P^~est la variation temporelle de la quantité de mouvement du système ouvert etδm_s(respectivementδm_e) est la masse qui est sortie (respectivement entrée) pendant dtà la vitesse~vs(respectivement~ve).

Le théorème de la résultante cinétique impose par ailleurs :

D~P Dt = Σ~Fext

oùΣ~Fextest la somme des résultantes des actions extérieures qui s'appliquent sur le système fermé coïncident.

(54)

Bilan de masse

Bilan de quantité de mouvement :

Σ F ~

_ext

= ∂ ~ P

∂t + δm

_s

d t ~ v

_s

− δm

_e

d t ~ v

_e

(55)

Bilan de masse

Résultante des forces de pression

un volumeVde uide délimité par une surface ferméeΣressent des forces de pression de la part de son environnement. Sur l'élément innitésimal−−→

d²Σ(orienté vers l'extérieur) s'exerce−−→

d²F=−P

−−→ d²Σ.

~Π =−{ M∈Σ

P(M)

−−→ d²Σ =−y

M∈V

−−→ grad P(M)d³τ

Dans le cas statique,−−→

grad P=µ ~g. Donc

(56)

Bilan de masse

Résultante des forces de pression

un volume V de uide délimité par une surface fermée Σ ressent des forces de pression de résultante

Π = ~ − {

M∈Σ

P(M) −−→

d

²

Σ = − y

M∈V

µ(M) ~ g d

³

τ

Dans le cas statique, la poussée d'Archimède est égale

à l'opposé du poids du uide déplacé.

(57)

Bilan de masse

Force de poussée en régime permanent (exercice) Montrer qu'en régime permanent apparaît une

grandeur qui a la dimension d'une force et qui est due

au débit massique D

m

(58)

Bilan de masse

Force de poussée en régime permanent (exercice)

Si le régime est permanent, le débit massique se conserve (D_m=^δms_dt =^δme_dt) et d~P

dt =~0, aussi

D_m(~v_s−~v_e) = ΣF~_ext

Cette dernière grandeur a la dimension d'une force. On peut la nommer force de poussée :

F~_poussee=D_m(~v_e−~v_s)

(59)

Bilan de masse

Attention !

La "force" de poussée n'est pas à prendre en compte dans le bilan

des forces car elle apparaît naturellement dans le bilan de quantité

de mouvement.

(60)

Bilan de masse

Energie cinétique d'un système ouvert : (dénition)

l'énergie cinétique du système ouvert est :

E

_c

= y

V

v

²

2 d

³

m = y

V

µ v

²

2 d

³

τ

(61)

Bilan de masse

Bilan d'énergie cinétique :

la variation temporelle de l'énergie cinétique du système fermé est :

DEc

Dt =E_cf(t+dt)−E_cf(t)

dt =dEc

dt +δms dt

v_s² 2 −δme

dt v_e²

2

où^dEc_dt est la variation temporelle de l'énergie cinétique du système ouvert etδm_s (respectivementδm_e) est la masse qui est sortie (respectivement entrée) pendant dtà la vitesse~vs(respectivement~ve).

Le théorème de l'énergie cinétique donne :

DE_c

Dt = ΣPext+ ΣP_int=dE_c dt +δm_s

dt v_s²

2 −δm_e dt

v_e² 2

oùΣPextest la somme des puissances des actions extérieures etΣP_intest la somme des puissances des actions intérieures qui s'appliquent sur le système.

On admet queΣP_int=0 dans le cas d'un écoulement parfait et incompressible.

(62)

Bilan de masse

Bilan d'énergie cinétique :

ΣP

ext

+ ΣP

int

= ∂E

_c

∂t + δm

_s

d t

v

_s²

2 − δm

_e

d t

v

_e²

2 où :

• la masse δm

_e

à l'entrée a une vitesse v

_e

,

• la masse δm

s

à la sortie a une vitesse v

s

,

• ΣP

ext

est la somme des puissances des actions extérieures,

• et ΣP

int

est la somme des puissances des actions intérieures qui s'appliquent sur le système

( ΣP

_int

= 0 dans le cas d'un écoulement parfait et

incompressible).

(63)

Bilan de masse

Bilan d'énergie cinétique dans le cas d'un

écoulement parfait, incompressible et permanent (exercice)

Que devient le bilan d'énergie cinétique dans le cas d'un écoulement parfait, incompressible et

permanent ?

(64)

Bilan de masse

Bilan d'énergie cinétique dans le cas d'un écoulement parfait, incompressible et permanent (exercice)

Si le régime est permanent, le débit massique se conserve (Dm=^δms_d_t =^δme_d_t) et

∂Ec

∂t =0, aussi

Dm v_s²

2 −v_e² 2

!

= ΣPext

(65)

Eet d'un jet d'eau sur une plaque mobile

On s'intéresse à un jet d'eau de section S qui arrive, dans le référentiel du sol, avec une vitesse ~ v

_j

= +v

_j

~ u

_x

sur une plaque qui se déplace à la vitesse ~ v

p

.

1) On considérera que l'eau repart dans un sens opposé ( −~ u

x

) en conservant la section S du jet. En faisant un bilan de masse, déterminer

1.a) la vitesse de l'eau ~ v

e

incidente sur la plaque dans le référentiel de la plaque,

1.b) la vitesse de l'eau ~ v

_s⁰

après choc sur la plaque dans le

référentiel du sol.

(66)

Actions exercées par les uides