III. Photographie de l’expérience de Rüchardt

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SIGNAUX

I. Quelques questions d’électricité

1. Réseau à 2 mailles

La tensionus’applique à une résistance équivalenteR_e=R3//(R2+R4) =_R¹

3+_R¹

2+R4

−1

. Par la loi du pont diviseur de tension on a donc

u= E

1 +R1/R_e donc u=E1 +^R_R¹

3+_R^R1

2+R4

−1

= 1,5 V

Par la loi d’Ohm, on en déduiti=u/(R2+R4) donc i=E(1 +^R_R¹

3)(R2+R4) +R1 −1

= 15 mA.

Autre méthode, plus basique : passer par les lois de Kirchhoff. Il y a deux mailles indépendantes, donc deux relations à écrire, en fonction de 2 courants inconnus. On introduiti1qui traverseR1dans le sens deE. D’où

E=R1i1+R3(i1−i) et R3(i1−i) = (R2+R4)i .

La résolution de ce système de 2 équations à 2 inconnues conduit au même résultat (de façon moins pédestre !).

2. Bilan de puissance pour un générateur

1. La puissance cédée en convention récepteur s’écritP_c=uiavecu= E−Rgi, d’oùPc=Ei−Rgi². Elle admet un maximum eni= _2R^E

g

(après dérivation) tel que Pmax= E² 2R_g .

2. Le point de fonctionnement a pour couranti=_2R^E

g donc pour tension u=E−R_gi=^E₂.

3. Cette puissance reçue par la résistance n’est autre que la puissance cédée par le générateur,Pc=ui. Mais cette fois on a un pont diviseur de tension :u=_R+R^R

gEeti=u/Rdonc Pc= RE²

(R+R_g)²=Pmax

2x

(1 +x)² avec x= R R_g. On a P_c −→

x→0,+∞0 . Le courant et la tensionuétant bornées, la puis- sance reçue par la résistance tend vers 0 lorsqueR→0 car alorsu→0, ou lorsqueR→ ∞car alorsi→0.

4. On aura donc une puissance maximale pour une valeur intermédiaire de xdonc deR(car la puissance est positive). Une étude de fonction per- met de le vérifier. Le maximum est obtenu pourx= 1, donc R=R_g, ce qui conduit à P_c=Pmax= E²

2R_g . Et on retrouve queu=^E₂ ce qui correspond bien au point de fonctionnement trouvé en 1.. D’ailleurs si on superpose au graphe la caractéristiquei=_R^u

g =_R^u, on voit qu’elle passe par ce même point de fonctionnement.

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3. Association de dipôles

La diode est modélisée a priori avec une tension de seuilUset une résistance dynamiquer_d(cf cours, cf figure a). On raisonne sur une caractéristiquei=f(u).

On commence par associer en SERIE la diode avecR, ce qui revient àadditionner les caractéristiques horizontalement(figure a, vert+noir=orange). On obtient une caractéristique similaire à celle de la diode mais de pente_r¹

d+R.

Ensuite on associe ce nouveau dipôle en DERIVATION avecR⁰, ce qui revient àadditionner les caracté- ristiques verticalementcette fois (cf figure b, vert+noir=orange). On obtient une caractéristique passant par 0 (dipôle passif), de pente _r¹

d+R pouru > U_set de pente _R¹0 pouru < U_s. Il s’agit en quelque sorte d’un pseudo-conducteur ohmique dont la résistance dépendrait du signe deu−Us.

figure a figure b

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II. Interférences à l’aide de fentes d’Young

1. Dispositif des fentes d’Young

1. Les deux sources secondairesF1etF2sont synchrones, donc interfèrent¹.

2. Le problème est invariant par translation selon l’axeOy. Les figures d’interférence formées par chaque couple de sources ponctuelles (pour une valeur donnée dey) vont se superposer. On raisonne donc dans des plans parallèles au planOxz. Dans chacun de ces plans, chaque point source émet une onde sphérique dont la phase enM(appartenant à ce plan) est^2π_λ

0(ct−r_i) aveci= 1 ou 2. D’où ∆ϕ=^2π_λ

0(r2−r1) . Au pointO, on ar1=r2donc ∆ϕ= 0. Les ondes sont en phase donc la frange est brillante.

3. L’écran étant considéré à l’infini, on peut considérer les deux "rayons"F_iMparallèles.

Ainsir2−r1≈asinθavecθl’angle sous lequel est vu le pointMdepuis les fentes sources. Comme tanθ=_D^x et sinθ≈tanθ, on obtient

∆ϕ=^2π_λ

0 ax D

Les courbes de déphasage constant correspondent àx= constante, donc les franges d’interférences sont des droitesx= constante.

4. Les franges brillantes correspondent à une interférence constructive ∆ϕ=p2πavecp∈Z. Deux franges brillantes successives sont séparées d’une distancei. La frangepvérifiep2π=^2π_λ

0 ax

D, et la frangep+ 1 vérifie (p+1) 2π=^2π_λ

0 a(x+i)

D . Par différence on obtient 2π=^2π_λ

0 ai

Dd’où i=^λ0_a^D = 2,5 mm. Cette distance ne dépend pas depdonc les franges brillantes sont équidistantes.

5. Les franges sombres correspondent à une interférence destructive : ∆ϕ= (p+¹₂) 2π=^2π_λ

0 axp

D avecp∈Z. D’où les positions x_p= (p+¹₂)i.

2. Interféromètre de Rayleigh

6. Le déphasage s’écrit maintenant ∆ϕ= ^2π_λ

0δ= ^2π_λ

0 ax

f⁰. Par le même raisonnement que précédemment on obtient i⁰=^λ0_a^f0. N’ayant pas la valeur def⁰, on ne peut faire l’AN.

7. L’onde lumineuse venant deF1 se propage dans un milieu moins dense à traversT1, donc plus rapi- dement (l’indice est d’autant plus faible que l’air est rare). Elle arrive donc au pointOavec une légère avance de phase par rapport à l’onde passant parT2. Par conséquent, les deux ondes ne sont plus en phase enx= 0, mais le sont un peu plus bas (x<0), de telle sorte que l’avance de phase dûe à la raréfaction de l’air dans le tubeT1soit compensée par un retard de phase dû à un trajet plus long en passant par ce chemin. Ainsi, la frange brillante située au début enx= 0 se décale progressivement vers le bas, suivie des autres franges brillantes situées au dessus d’elle.

8. On observe un défilement de 101,5 franges, soit q+¹₂ avecq= 101. Ceci correspond à un déphasage

∆ϕ= (q+¹₂) 2πqui peut s’exprimer par ailleurs via la différence de temps de trajet ∆tentre les deux tubes : ∆ϕ= 2πν0∆toùν0=_λ^c

0 est la fréquence de l’onde lumineuse, et ∆t=^nair_c^L−^L_c = ∆n^L_c. Ceci conduit à

(q+¹₂) 2π= 2π∆n_λ^L

0⇔∆n L= (q+¹₂)λ0

Cette dernière expression exprime les choses en terme de différence de marche. Finalement, on obtient

∆n= (q+¹₂)^λ_L⁰ = 2,93×10⁻³.

On remarque au passage la grande précision accessible grâce aux méthodes interférentielles.

1. On verra en SPE que la lumière étant constituée de trains d’onde, il ne suffit pas que les sources soient synchrones. Il faut aussi que les deux ondes proviennent de la même source primaire.

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III. Photographie de l’expérience de Rüchardt

1. a) L’imageB⁰deBest obtenue par intersection de deux rayons émergeant particuliers. On choisi, pour la suite, le rayon incident passant par le foyer objetF, qui émerge parallèle à l’axe, ainsi que le rayon incident parallèle à l’axe qui émerge en passant par le foyer imageF⁰. L’imageA⁰deAest obtenue par aplanétisme, valable dans les conditions de Gauss.

b) On utilise les angles orientés α etβ définis sur le schéma, associés à deux couples de triangles semblables... cf cours. On obtient la relation de conjugaison F A.F⁰A⁰=−f⁰² et la relation de grandissement γ=A⁰B⁰

AB = f⁰

F A=−F⁰A⁰ f⁰ .

c) Travaillons à partir de la relation de grandissement, avec des grandeurs positives :AF=f^{0 AB}

B⁰A⁰ = f^{0 h}

B⁰A⁰. On souhaite queB⁰A⁰≤cdonc il faut AF≥f⁰h

c ≈1,0 m.

2. a) Le mouvement étant sinusoïdal, il s’écrit de façon générale ainsi :z(t) =Z_mcos(2πf0t+ϕ). La vitesse est alors ˙z=−2πf0Zmsin(2πf0t+ϕ), de valeur maximale en valeur absolue vmax= 2πf0Zm. b) Lorsque la bille atteint sa vitesse maximale, elle parcours la distanced en un temps ∆t. Il est

alors nécessaire, pour avoir une photo nette, que la durée d’expositionτsoit inférieure à ∆t. Ainsi, τmax= ∆t= ^d

vmax soit τmax= d

2πf0Z_m = 1,6×10⁻³s.

c) Le nombre de photons reçus par la pellicule pour un niveau d’éclairement donné est proportion- nel à la durée d’ouvertureτ, et proportionnel à la surface d’ouverture du diaphragme ^π₄D². Donc Q=K τ D², avecKune constante dépendant entre autres de l’éclairement (sans importance ici).

Siτ=τmax, le diaphragme vérifieτmaxD²=τ0D₀², d’où D= r τ0

τmax

D0 = 16 mm.

d) On raisonne sur un objet AB~ représentant deux positions de la bille espacées d’une distanced lorsqu’elle atteint sa vitesse maximale. Les imagesA⁰etB⁰sont situées sur la pellicule, mais d’après la relation de conjugaison^A_f^0F0⁰= ^f0

F A=^f_`⁰≈0,051. Donc on peut faire l’approximationA≈F⁰ (l’image est quasiment dans le plan focal).

Par ailleurs, l’image risque d’être floue à partir du moment oùA⁰ etB⁰ se trouve sur des grains différents, c’est-à-direA⁰B⁰=−amax(cf figure ci-dessous). Le théorème de Thalès (ou la relation de grandissement) conduit alors à amax≈f⁰d

` ≈50µm.

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3. a) Pour construire le rayon émergeant, on suppose que (A1I) appartient à un faisceau parallèle incident, qui doit donc converger dans le plan focal image (en un foyer secondaire). Ce point est obtenu par intersection du plan focal avec le rayon imaginaire de ce faisceau passant parO(trait pointillé rouge).

b)

On obtient le schéma ci-contre, d’où r=^D₂ A⁰A⁰₁ OA1

.

c) Pour que l’imageA⁰₁ soit vue nette, il est nécessaire quermax=^a₂. La relation précédente conduit alors à _D^a =^A0A01

OA⁰₁ = ^A00

OA⁰₁+ 1, d’où_D^a = 1−OA⁰_f¹0+ ¹

OA1

en appliquant la relation de conjugaison de Descartes. On en déduitOA1=^{h 1}

OA⁰(1−_D^a)−_f¹0

i−1

ce qui de nouveau se ré-écrit avec la loi de Descartes :OA1=^h_f¹0+ ¹

OA

(1−_D^a)−_f¹0

i−1

. Finalement,AA1=OA1−OAavecOA=−`, d’où

AA1= 1

f⁰−1

`

(1−_D^a)− 1 f⁰

−1

+` = 1,25 cm.

Remarque : On peut vérifier queAA1est une fonction (ici positive) croissante du rapport_D^a. Donc la profondeur de champ augmente lorsque le diaphragme est plus petit, ou lorsque les grains du capteur sont plus gros.

d) SiA1est situé à gauche deA, alorsA⁰₁est en avant deA⁰, d’où_D^a =−^A0A01

OA⁰₁. En reprenant les calculs,

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on voit que ce changement de signe conduit à AA1=

1 f⁰−1

`

(1 +_D^a)− 1 f⁰

−1

+` =−1,28 cm. Remarque : la remarque précédente sur le rôle de _D^a est toujours valable.

e) Pour voir nette la totalité de la profondeur du tube en verre, il est nécessaire que celui-ci soit de diamètre inférieur à la somme des deux distances précédemment calculées, c’est-à-dire inéférieure à 1,28 + 1,25 = 2,53 cm.

IV. Influence des réglages d’un appareil photo

1. L’exposition varie enD², donc il faut multiplierDpar√

2, donc multiplierN par√¹ 2. 2. a) La taille du pixel peut être évaluée parp=

q24∗36∗10⁻⁶

25.10⁶ ≈5,9µm. L’objet peut être supposé à l’infini par rapport à sa focale. La distance hyperfocale est alors

h=f⁰²

N p = 0,03²

11∗5,9.10⁻⁶ ≈13,9 m

b) La diffraction conduit à une tache de diamètre d= 2N λ ≈11µm∼2ppourλ≈0,5µm. Donc la diffraction joue sur le piqué de l’image, mais de façon uniforme sur la photo. Donc elle ne change pas la distance hyperfocale, en dessous de laquelle l’image des points objet sera vraiment floue.

3. La profondeur de champ diminue avec la focale et l’ouverture. Donc pour avoir un flou artistique autour du sujet on utilisera une grande focaleet unegrande ouverture: (f= 100 mm, f /2) . Une focale longue permet aussi d’éviter la distorsion.

4. Il s’agit d’un calcul similaire à celui de la question 2. du III. (Expérience de Ruchardt, même schéma que le III.2.d).

On se place au moment où le satellite est sur l’axe optique de l’objectif de l’appareil. Pendant la durée τmax, le satellite se déplace par rapport à l’axe optique d’un angle α = ωτmax. Pour que l’image de ne soit pas floue il faut qu’elle ne se déplace pas de plus de psur le capteur :α ≈tanα ≤ ^p_f. D’où

τmax= p

f ω ≈0,23 s. Donc on choisi donc la valeur maximale 1/5 s.

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