∫ ∫ ∫ dx dx ∂ ∂ d d A ∂ A A x σ τ ϕ U dx dx d τ

RR. VI - ÉLECTROMAGNÉTISME RELATIVISTE

1. Invariance de jauge du potentiel et du tenseur électromagnétiques

• En mécanique relativiste, l'interaction entre particules chargées et champ électromagnétique peut être décrite par le terme de l'action :

S

_int ^{= - q}

∫

^A_α^Uαdτ ^{= - q}

∫

^Aαdxα avec U^α = dx^α dτ ^.

• L'effet du quadri-potentiel A^α est invariant pour les transformations de la forme : A’_α = A_α + ∂_αϕ, où ϕ est une fonction quelconque des coordonnées.

L'action devient alors :

S’

⁼

S

^{- q}

∫

∂_αϕdx^{α =}

^S

^{- q.(ϕ(τf) - ϕ(τi)) =}

^S

+ Cste ; les variations de l'action et les équations du mouvement sont inchangées.

Cette propriété est nommée “invariance de jauge”.

• Le tenseur champ électromagnétique, qui intervient dans les équations du mouvement, est de même invariant :

F’_αβ = ∂_αA’_β - ∂_βA’_α = ∂_αA_β - ∂_βA_α + ∂_α∂_βϕ - ∂_β∂_αϕ = ∂_αA_β - ∂_βA_α = F_αβ.

2. Densité lagrangienne et équations d'Euler-Lagrange associées

• Le lagrangien d'un point matériel est fonction des coordonnées x^α(σ) et de leurs dérivées U^α = dx^α

dσ ^.

Pour l'électromagnétisme, les quantités jouant le rôle des “coordonnées”

(dépendant du paramètre σ) sont les composantes A_α(x^β) (dépendant de la position du point repéré par x^β).

Les quantités jouant le rôle des dérivées U^α sont les dérivées ∂_βA_α = ∂A_α

∂x^{β .}

• Le terme de l'action pour un champ électromagnétique peut s'écrire sous la forme :

S

^{= 1}

c

∫

_UΛ(A_α;∂_βA_α) d⁴

U

^{, où}

^U

est le quadri-volume dans lequel on applique la méthode variationnelle et où d⁴

U

^{= d4x = dx0.dx1.dx2.dx3.}

La fonction Λ est nommée “densité lagrangienne” (elle pourrait en principe aussi dépendre explicitement des “paramètres” x^α).

◊ remarque : le coefficient 1

c sert à définir Λ comme une densité volumique d'énergie, puisqu'on intègre sur x⁰ = ct.

• Quand on fait varier le quadri-potentiel, la variation de l'action est : δ

S

^{= 1}

c

(

^∂Λ

∂A_α δA_α + ∂Λ

∂(∂_βA_α)δ(∂_βA_α)

)

d⁴

U

∫

U ^.

Le second terme peut s'exprimer :

(

^∂Λ

∂(∂_βA_α)δ(∂_βA_α)

)

d⁴

U

∫

U ⁼

∫

U

⁽

_∂(∂^∂Λ_βAα) ^∂β(δAα)

⁾

^d4

^U

^;

= ∂_β

(

^∂Λ

∂(∂_βA_α)δA_α

)

d⁴

U

∫

U ^-

∫

U ^∂β

⁽

_∂(∂^∂Λ_βAα)

⁾

^{δAα d4}

^U

^.

Or le quadrivecteur V^β = ∂Λ

∂(∂_βA_α)δA_α a un flux nul à travers l'hyper-surface qui “borde” le quadri-volume d'intégration

U

, puisque les variations δA_α s'y annulent. D'après le théorème d'Ostrogradski, l'intégrale de sa divergence est nulle : ∂_βV^β d⁴

U

∫

U ^{= 0.}

• On peut ainsi simplifier : δ

S

^{= 1}

c

(

^∂Λ

∂A_α

−

∂_β( ∂Λ

∂(∂_βA_α))

)

_δA_α d⁴

U

∫

U ^.

Ainsi l'extremum impose les relations d'Euler-Lagrange :

∂Λ

∂A_α

−

∂_β( ∂Λ

∂(∂_βA_α)) = 0.

3. Tenseur énergie-impulsion

• La densité lagrangienne est telle que : ∂_αΛ = ∂Λ

∂A_β ∂_αA_β

+

_∂(∂^∂Λ

γA_β)∂_α(∂_γA_β).

D'après les équations d'Euler-Lagrange : ∂Λ

∂A_β

=

^∂_γ⁽_∂(∂^∂Λ

γA_β)) ; ainsi :

∂_αΛ = ∂_γ( ∂Λ

∂(∂_γA_β))∂_αA_β

+

_∂(∂^∂Λ

γA_β)∂_γ(∂_αA_β) = ∂_γ( ∂Λ

∂(∂_γA_β) ∂_αA_β).

Avec ∂_αΛ = δ_α^γ ∂_γΛ on obtient : ∂_γ( ∂Λ

∂(∂_γA_β) ∂_αA_β − δ_α^γ Λ) = 0.

• De façon analogue à la construction du hamiltonien associé à l'énergie d'une particule, on peut définir un “tenseur énergie-impulsion” associé au champ :

T_α^γ = ∂Λ

∂(∂_γA_β) ∂_αA_β − δ_α^γ Λ.

De même que le hamiltonien décrit une énergie constante s'il ne dépend pas explicitement du paramètre τ, le tenseur énergie-impulsion décrit une grandeur

“conservée” s'il ne dépend pas explicitement des paramètres x^α : ∂_γT_α^γ = 0.

◊ remarque : cette définition du tenseur énergie-impulsion donne générale- ment une expression non symétrique ; il est possible de la symétriser sans changer ses propriétés et il existe aussi une définition symétrique.

◊ remarque : la méthode, utilisée ici pour l'électromagnétisme, est générale ; pour des variables “q” :

S

^{= 1}

c

∫

_UΛ(q ;∂_βq) d⁴

U

^{; Tαγ =} _∂(∂^∂Λ

γq) ∂_αq− δ_α^γ Λ.

• La quantité ω = T₀⁰ = ∂Λ

∂(∂₀A_β) ∂₀A_β − Λ décrit une “densité d'énergie” et π^k = c T₀^k = c ∂Λ

∂(∂_kA_β) ∂₀A_β décrit un vecteur “densité de courant d'énergie”.

La relation ∂_γT₀^γ = 0 est une équation de conservation de l'énergie : locale- ment, la variation dans le temps de la densité d'énergie ω dans un volume infinitésimal est égale au flux entrant de la densité de courant d'énergie π^k à travers la surface entourant ce volume : ∂ω

∂t +∇!"

•π!"

= 0.

◊ remarque : les composantes T₀^γ ne définissent par contre pas un quadrivec- teur, c'est pour cela qu'on utilise une grandeur tensorielle T_α^γ.

4. Densité lagrangienne d'un champ électromagnétique “libre”

• Les propriétés linéaires du champ électrique E!"

= c.(F¹⁰ ; F²⁰ ; F³⁰) et du champ magnétique B!"

= (F³² ; F¹³ ; F²¹) conduisent à chercher une densité lagrangienne quadratique (on obtient des équations linéaires en dérivant).

Le quadri-potentiel ne permet pas de construire un scalaire (l'action doit l'être) invariant de jauge. Seules les dérivées premières peuvent intervenir : on est conduit à chercher un scalaire quadratique par rapport à F_αβ.

On peut envisager : F^αβF_αβ = -2.

(

^E

!"₂

c² −B!"₂

)

ou bien F*^αβF_αβ = -4E!"

c^•B!"

cons- truit à partir du tenseur dual : F*^αβ = 1

2 ^ε

αβµνF_µν.

◊ remarque : le tenseur dual F*^µν correspond à une “interversion” : B!"

= (F*¹⁰ ; F*²⁰ ; F*³⁰) et E!"

= -c.(F*³² ; F*¹³ ; F*²¹).

◊ remarque : la combinaison F*^αβF*_αβ = 2.

(

^E

!"₂

c² −B!"₂

)

n'apporte rien de plus.

• La quantité E!"

c^•B!"

n'est pas scalaire mais pseudo-scalaire, on pourrait la remplacer par det(F_αβ) = E!"

c ^•B!"

.

On peut toutefois montrer que E!"

c ^•B!"

est la 4-divergence d'un 4-vecteur, donc sans effet sur les équations d'Euler-Lagrange (le flux à travers l'hyper-surface qui “borde” le quadri-volume d'intégration

U

reste constant).

◊ remarque : det(F_αβ) = ε^µνρσF_µ1F_ν2F_ρ3F_σ4 = E!"

c^•B!"

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

.

• La cohérence du système d'unités impose finalement : Λ_em = - 1

4µ₀ ^FαβFαβ.

& exercices n° I, II et III.

5. Terme d'interaction avec les charges

• On raisonne en considérant qu'il existe une densité de courant J^µ de parti- cules chargées ; on étudie l'interaction du champ avec les charges.

On étudie les variations de l'action associées aux variations du 4-potentiel, sans faire varier les mouvements des particules chargées (de même que le mouvement des particules est étudié sans faire varier le 4-potentiel). Cette séparation est possible car les termes correspondants se factorisent séparé- ment, or elle simplifie nettement les calculs.

• Pour traiter globalement le champ et son interaction, on peut transformer sous forme de densité lagrangienne le terme modélisant l'effet d'une particule de charge q : - q A_αU^β dσ = - q A_αdx^β.

On utilise alors une densité de charge (associée à des distributions de Dirac) : ρ = d³

q

d³x ^{avec d}

3x = dx dy dz = dx¹ dx² dx³.

Le terme d'interaction peut ainsi s'écrire : -

(q

A_α dx^α

dt dt

)

part

∑ ∫

^{= -}

∫ ∫

^{ρAα dx}_dt^{α d3x dt = -}_c¹

∫

U ^{Aα ρdx}_dt^{α d4x.}

◊ remarque : les intégrations sur d³x et dt ne peuvent pas être simplement séparées car A_α et dx^α

dt doivent être calculés au même point que ρ ; si on intègre d'abord sur d³x on peut utiliser ρ = q δ³(x^k -X^k(t)) où X^k(t) correspond à la position à l'instant considéré (pour chaque particule) ; on peut obtenir une écriture plus symétrique sur d⁴x avec ρ = q δ⁴(x^α -X^α(t)) où X⁰(t) = ct dans la mesure où on paramètre par t.

• On peut alors définir un quadrivecteur “densité de courant” : j^α = ρ dx^α

dt = (ρ c ; ρv!

) = (ρ c ; !j ).

Ainsi le terme d'interaction peut s'écrire : -

(q ∫

A_αdx^α

)

part

∑

^{= - 1}_c

∫

_U ^{Aα jα d4x.}

On raisonne donc avec la densité lagrangienne : Λ = - A_αj^α - 1

4µ₀ ^FαβFαβ.

◊ remarque : il faut noter que, par rapport à la transformation de Lorentz, la densité de charge ρ n'est pas un scalaire (la charge est un scalaire, mais la contraction des longueurs modifie ρ) ; par ailleurs le 4-objet dx^α

dt ^{= (c ;} v! ) n'est pas un 4-vecteur à cause de la dilatation des durées ; il se trouve que les deux effets se compensent et que le produit des deux est un quadrivecteur.

& exercice n° IV.

6. Équations du champ électromagnétique

• En fonction de A_α et ∂_βA_α on peut écrire : Λ = - A_αj^α - 1

4µ₀ ^{ηµρηνσFµνFρσ ;}

∂Λ

∂(∂_βA_α) ^{= -} 1

4µ₀

(

F^µν ∂

∂(∂_βA_α)^{(∂µAν - ∂νAµ) + F}

ρσ ∂

∂(∂_βA_α)^{(∂ρAσ - ∂σAρ)}

)

;

∂Λ

∂(∂_βA_α) ^{= -} 1

4µ₀

(

F^µν (δ_µ^β δ_ν^α - δ_ν^β δ_µ^α) + F^ρσ (δ_ρ^β δ_σ^α - δ_σ^β δ_ρ^α)

)

;

Ainsi en simplifiant : ∂Λ

∂(∂_βA_α) ^{= -} 1

µ₀ ^Fβα.

• Par ailleurs : ∂Λ

∂A_α ^{= -j}

α ; donc finalement : ∂_βF^βα = µ₀ j^α.

• Pour α = 0 on obtient : ∂_βF^β0 = µ₀ j⁰, soit en simplifiant : 1 c ^∂kE

k = µ₀ ρ c.

Ceci correspond à l'équation de Maxwell-Gauss : ∇!"

•E!"

= ρ ε₀ ^.

• Pour α = i : ∂₀F⁰ⁱ + ∂_kF^ki = µ₀ jⁱ, c'est à dire : - 1 c²

∂Eⁱ

∂t ^{+ ε}

ikℓ ∂_kB^ℓ = µ₀ jⁱ.

Ceci correspond à l'équation de Maxwell-Ampère : ∇!"

×B!"

= µ₀!j

+ 1 c²

∂E!"

∂t ^.

• Par ailleurs : ε^αβµν∂_βF_µν = ε^αβµν∂_β(∂_µA_ν - ∂_νA_µ) = 2 ε^αβµν ∂_β∂_µA_ν = 0 car le signe doit changer sans changer si on permute µν.

Ceci peut aussi s'écrire sous la forme : ∂_βF*^βα = 0.

• Pour α = 0 on obtient : ∂_βF*^β0 = 0, soit en simplifiant : ∂_kB^k = 0.

Ceci correspond à l'équation de Maxwell-Thomson : ∇!"

•B!"

= 0.

• Pour α = i : ∂₀F*⁰ⁱ + ∂_kF*^ki = 0, c'est à dire : - 1 c

∂Bⁱ

∂t ^- 1 c ^ε

ikℓ ∂_kE^ℓ = 0.

Ceci correspond à l'équation de Maxwell-Faraday : ∇!"

×E!"

= - ∂B!"

∂t ^.

7. Tenseur énergie-impulsion du champ électromagnétique

• L'expression : T_α^γ = ∂Λ

∂(∂_γA_β) ∂_αA_β − δ_α^γ Λ avec Λ_em = - 1

4µ₀ ^{FαβFαβ donne} pour ce cas une expression dissymétrique :

∂Λ

∂(∂_βAµ) ^{= -} 1

µ₀ ^{Fβµ ; Tαβ = -} 1

µ₀ ^{Fβµ∂αAµ +} 1

4µ₀ ^{ηαβ FµνFµν.}

On peut toutefois montrer qu'elle peut être symétrisée en lui ajoutant la déri- vée ∂_γΨ^αβγ d'un tenseur Ψ^αβγ antisymétrique par rapport à βγ.

◊ remarque : cela ne change rien à la propriété ∂_βT^αβ = 0 puisque l'antisymé- trie implique ∂_β∂_γΨ^αβγ = 0 ; on peut montrer que cela ne modifie pas les éner- gies et impulsions qui se déduisent de T^αβ par intégration (les contributions de Ψ^αβγ sont nulles).

• Compte tenu de ∂_µF^µβ = 0 (on raisonne sur T^αβ pour le champ seul) on peut ajouter : 1

µ₀ ^{Fβµ ∂µAα =} 1

µ₀ ^{∂µ(FβµAα) où AαFβµ} est antisymétrique par rap- port à βµ.

Ceci donne la forme symétrique : T_αβ = - 1

µ₀ ^{ηµν FαµFβν +} 1

4µ₀ ^{ηαβ FµνFµν.}

• On en déduit la densité d'énergie : ω = T⁰⁰ = 1

µ₀ E!"₂

c^{2 -} 1 2µ₀

(

^E

!"₂

c² −B!"₂

)

= ε₀E!"₂

2 + B!"₂

2µ₀ ^.

De même la densité de “courant d'énergie”, associée au vecteur de poynting : πⁱ = c T⁰ⁱ = - c

µ₀ ^{ηkj F0kFij =} 1

µ₀ ^{εikℓ Ek Bℓ =} [E!"

×B!"

]ⁱ µ₀ ^.

& exercices n° V et VI.