4 – Deuxième principe – Irréversibilité de la diffusion
On se place dans une géométrie à une dimension longitudinale : on considère un barreau solide d’axe (Ox) calorifugé latéralement dont les faces sont portées aux températures T1 et T2 < T1.
Ainsi, le courant thermique est purement horizontal et uniforme sur la section Σ du barreau.
donc jth(x,t)= jth(x,t).ux
T1 T2
0 x x+dx L x
j(x,t) j(x+dx,t)
Σ
4.1 – Bilan entropique
Vous pouvez vous contenter de lire attentivement cette démonstration et de comprendre chaque étape de la démonstration.
On considère comme système d’étude une tranche de barreau d’épaisseur dx compris entre les abscisses x et x + dx.
Bilan entropique pendant l’intervalle de temps dt, ce système voit son entropie varier de : dS = δSe + δSc
dS : variation d’entropie de la tranche de barreau comprise entre x et x + dx pendant dt
δSe : entropie échangée pendant dt avec le reste du barreau par transferts thermiques à travers les sections d’abscisses x et x + dx
δSc : entropie créée car la diffusion est un phénomène irréversible intervenant au sein d’un système hors équilibre.
* T(x,t)
dS= δQrev où δQrev : transfert thermique si on considère réversible avec une source de chaleur à la même
température que le système T(x,t)
* 1er principe pour la tranche dx pendant dt : dU = δQ + 0
* 1ère loi de Joule vérifiée par ce barreau solide : dU = dm.c.dT = ρ.Σ.dx.c.dT d’où
) t , x ( T
dT . dx . c . dS= ρ.Σ
*
dt dx
t x T
t x j dt x
t u dx x T
t dx x j t x T
t x j t
dx x T
t dx x Q t
x T
t x
S
eQ
th th x th. . .
) , (
) , . (
. ) . , (
) , (
) , (
) , ( )
, (
) , (
) , (
) ,
(
Σ
∂
− ∂
=
Σ
+
− + + =
+ +
=
δ δ
δ
or la loi de Fourier donne (x,t) x . T ) t , x ( jth
∂ λ ∂
−
= . .dt.dx
x . T T 1
Se x Σ
∂
∂
∂ λ ∂
= δ
*δSc ?
Posons σS : entropie créée par unité de volume et de temps δSc = σS.Σ.d.x.dt
Bilan entropique : S
x . T T 1 x t
. T T .1 c
. +σ
∂
∂
∂ λ ∂
∂ = ρ ∂
4.2 – Entropie crée en régime permanent – Irréversibilité de la diffusion thermique Ici, ce sont les remarques physiques sur le résultat qui sont importantes.
Le champ de température est alors constant (cf # 3.2.1) : T(x,t) = 2 1.x T1 L
T ) T
x (
T = − +
d’où
x T T . 1 L
T T L
T .T T 1 x x
. T T 1
x 2
1 2 1
2
S ∂
− ∂ λ
=
−
∂ λ ∂
−
=
∂
∂
∂ λ ∂
−
=
σ 2
2 1 2
S T
. 1 L
T
. T
−
λ
= σ
Remarques :
* σS > 0 quel que soit le signe de T2 – T1 autrement dit quel que soit le sens du flux de chaleur, le transfert thermique reste un phénomène irréversible.
* Lorsque T2 – T1 = ε alors σS est en ε2. On peut donc rendre un transfert thermique réversible au 1er ordre en ε.
(cf cours de 1ère année)
* On généralise aux autres phénomènes de diffusion permettant d’accéder à l’équilibre :
- diffusion de particules pour atteindre l’équilibre en pression (équilibre mécanique), l’équilibre de concentration…
- diffusion de quantité de mouvement pour atteindre l’équilibre mécanique par frottement.
