10.7
A
B
C
D
E
1) Les propositions suivantes sont équivalentes : (a) Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme (b) −AB =−−−→ −DC−−−→
(c) −AD =−−−→ −BC−−−→
On peut se servir, à choix, de l’égalité−AB =−−−→ −DC−−−→ou −AD =−−−→ −BC.−−−→ Utilisons par exemple l’égalité −AB =−−−→ −DC−−−→ :
−−−−→
AB =
1−(−1) 2−(−1)
=
2
3
=−DC =−−−→
3−d1
−2−d
2
Il en résulte donc : 2 = 3−d1
3 = −2−d2 ⇐⇒
d1 = 1
d2 =−5
On a ainsi trouvé le point D(1 ;−5).
2) Les propositions suivantes sont équivalentes : (a) Le quadrilatère ABEC est un parallélogramme (b) −AB =−−−→ −CE−−−→
(c) −AC =−−−→ −BE−−−→
On peut se servir, à choix, de l’égalité−AB =−−−→ −CE−−−→ ou−AC =−−−→ −BE.−−−→ Utilisons par exemple l’égalité −AC =−−−→ −BE−−−→ :
−−−−→
AC =
3−(−1)
−2−(−1)
=
4
−1
=−BE =−−−→
e1−1 e2−2
Il en résulte donc :
4 = e1−1
−1 = e2−2 ⇐⇒
5 = e1
1 = e2 On a ainsi trouvé le point E(5 ; 1).
Géométrie : repères et coordonnées Corrigé 10.7
