Optimisation du théorème d'Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne p-adique

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Optimisation du théorème d’Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne p-adique

Jérémy Le Borgne

To cite this version:

Jérémy Le Borgne. Optimisation du théorème d’Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne p-adique. Annales de l’Institut Fourier, Association des Annales de l’Institut Fourier, 2010, 60 (3), pp.1105-1123. �hal-00350374v3�

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Optimisation du théorème d’Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne p-adique.

J´er´emy Le Borgne^∗

Table des mati`eres

1 Optimisation du th´eor`eme d’Ax. 2

1.1 Extensions APF. . . . 2

1.2 Etude de l’extensionK∞/K. . . . 4

1.3 Optimisation du th´eor`eme d’Ax. . . . 6

2 Application au calcul de H¹(G,OK¯). 7 2.1 Cas non ramifi´e. . . . 7

2.2 Vers le cas ramifi´e. . . . 10

2.2.1 Case≤p−1. . . . 10

2.2.2 Cas g´en´eral. . . . 10

Introduction

Soit p un nombre premier, k un corps parfait de caractéristique p, et F = Frac W(k). Soit K une extension finie totalement ramifiée deF. On note OK l’anneau des entiers deK,m_K son unique idéal maximal, etπK (ouπ s’il n’y a pas de confusion possible) une uniformisante deK.

L’indice de ramification deK surF est notée(c’est le degré deK surF). Enfin, on note ¯K une clôture algébrique de K, et C le complété de ¯K, auquel on étend la valuation deF notée v, et normalisée parv(p) = 1. Le théorème d’Ax-Sen-Tate dit que les points fixes deC sous l’action deG= Gal( ¯K/K) sont exactement les éléments deK. La démonstration d’Ax (voir [Ax70]) de ce théorème s’appuie sur le résultat suivant :

Th´eor`eme (Ax). Soit x∈C etA∈R. On suppose que pour toutσ∈G,v(σx−x)≥A. Alors, il existey∈K tel quev(x−y)≥A−_(p−1)^p 2.

Ax pose sans y répondre la question de l’optimalité de la constante _(p−1)^p 2 intervenant dans le théorème précédent, en précisant qu’une borne inférieure pour cette constante optimale est effectivement _p−1¹ . Pour traiter cette question nous introduisons ici la tour d’extensions deK par les racinesp^m-ièmes de l’uniformisanteπde K : π0 =π, π_m+1^p =πm et Km=K(πm) pour tout m≥0, etK∞=∪m≥0Km. La première partie est consacrée à l’étude de l’extensionK∞/K. Dans sa démonstration du théorème d’Ax-Sen-Tate (voir [Tat66]), Tate présente des calculs de la cohomologie galoisienne à coefficients dans l’extension cyclotomique deK. Dans cet article, nous démontrons des résultats du même type lorsqueK∞ est une extension infinie, arithmétiquement profinie (APF) deK(intervenant dans les travaux deFontaineetWintenbergersur la théorie du corps des normes, voir [Win83]). Ces résultats s’appliquent à l’extension K∞, et une étude ad hoc de l’extensionK∞/K, qui constitue la partie essentiellement originale de cet article, nous permettra de démontrer le :

Théorème (Théorème 1.7). Soitx∈CetA∈R. Si on suppose que pour toutσ∈G,v(σx−x)≥ A, alors, pour toutm∈N, il existe ym∈Kmtel que v(x−ym)≥A−_pm(p−1)¹ . Réciproquement,

∗IRMAR, Universit´e de Rennes 1, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes Cedex, France. jeremy.le-borgne@univ- rennes1.fr

(3)

si pour tout m∈N il existe ym ∈Km tel que v(x−ym)≥A−_pm(p−1)¹ , alors pour toutσ ∈G, v(σx−x)≥A.

Le cas particulier oùm= 0 implique que la constante optimale dans le théorème d’Axest _p−1¹ . Le casm= 1 est utilisé parCaruso (voir [Car08], théorème 3.5.4) pour prouver une formule de réciprocité explicite entre un (ϕ, N)-module filtré de torsion et laFp-représentation deGassociée ; la version d’Ax du théorème, et même le casm= 0 de notre théorème 1.7, s’avèrent insuffisants pour l’utilisation faite parCarusodans le cas général.

La caractérisation donnée par le théorème nous permet en outre de décrire la structure deH¹(G,OK¯).

La deuxième partie est dédiée à cette étude. Nous redémontrons notamment un résultat dû àSen (voir [Sen69], théorème 3) qui dit que si l’entier nvérifie n≥ _p−1ê , alors H¹(G,OK¯) est tué par π_Kⁿ. Dans le cas oùK=F, on montre queH¹(G,OK¯) est isomorphe au sous-espace dek^Nformée des suites vérifiant une relation de récurrence linéaire tordue par le Frobenius, introduites sous le nom de suites twist-récurrentes par Kedlaya dans le but de donner une description de ¯K. On donne finalement quelques indications pour obtenir une description analogue dans le cas ramifié, qui pourrait être le point de départ à un analogue en torsion de la théorie de Sen.

1 Optimisation du th´eor`eme d’Ax.

Nous démontrons dans cette partie le théorème 1.7 de l’introduction. Nous introduisons l’extension de K engendrée par les racines d’ordre une puissance de p de π, que nous étudions à l’aide de la théorie des extensions APF. Nous étudions en détail les propriétés de K∞, et nous en déduisons une caractérisation des éléments deK∞vérifiant une condition du type«Pour tout σ∈G,v(σx−x)≥A».

1.1 Extensions APF.

Soit K∞ une extension infinie, arithmétiquement profinie (APF) (cf. [Win83], §1) de K. On se propose dans cette partie de décrire la cohomologie de Gal( ¯K/K∞) à coefficients dans C, en cherchant à généraliser les résultats de [Tat66] concernant l’extension cyclotomique deK. On utilise la numérotation supérieure des groupes de ramification, comme défini dans [Ser68], chap. IV. Pour µ≥ −1, siM est une extension finie deK, on pose

M^µ=M ∩K¯^{Gal( ¯}^K/K)^µ.

Sied´esigne l’indice de ramification absolu deK, on sait d’apr`es [Cola], proposition 3.22, que v(d_M/K) = 1

e Z +∞

−1

1− 1

[M :M^µ]

dµ.

Proposition 1.1. SoitL∞une extension galoisienne finie deK∞. AlorsT rL∞/K∞(OL∞)⊃m_K_∞. D´emonstration. Suivant [Win83] §1, nous d´efinissons comme dans loc. cit. la suite µn comme la suite strictement croissante desµ∈R+tels que pour toutε >0,

Gal( ¯K/K)^µGal( ¯K/K∞)6= Gal( ¯K/K)^µ+εGal( ¯K/K∞), (1) et nous notons (Kn)n∈Nla tour des extensions élémentaires de K∞définie comme dans [Win83] : Kn est le sous-corps deK∞ fixé par Gal( ¯K/K)^µⁿGal( ¯K/K∞). Quitte à remplacerK par l’un des Kn, on sait d’après [Ser68], Chap V,§4, Lemme 6, qu’il existe une extensionLdeKlinéairement disjointe deK∞ telle queL∞=LK∞. On note pour toutn∈N,Ln=LKn. La configuration des extensions considérées est la suivante :

Ln

Kn

qq q

L^µ_n K_n^µ

rr r

L K

oo oo

(4)

Suivons pas à pas la méthode deColmez([Colb], 1.4.) : pour toutµ≥ −1, [Kn:K_n^µ] = [KnL^µ_n: L^µ_n] (carK_n^µ=Kn∩L^µ_n). On a bien sûrv(d_L

n/Kn) =v(d_L

n/K)−(d_K

n/K). Ainsi, en appliquant la formule pour le calcul de la valuation de la diff´erente, il vient :

v(d_L

n/Kn) = 1 e

Z +∞

−1

1

[Kn:Kn^µ]− 1 [Ln:L^µn]

dµ

= 1

e[Kn:K]

Z +∞

−1

[K_n^µ:K]

1− 1

[Ln:KnL^µn]

dµ.

Soitn0 un entier tel queLⁿ⁰ =L. Siµ≥n≥n0, alorsL^µ =L⊂L^µ_n. Ainsi,Ln=KnL⊂KnL^µ_n, c’est `a dire [Ln:KnL^µ_n] = 1. Par cons´equent,

e[Kn:K]v(d_L

n/Kn) = Z n0

−1

[K_n^µ :K]

1− 1

[Ln:KnL^µn]

dµ

≤ Z n0

−1

[K_n^µ:K]dµ.

Pourµ≤µn, et pourm≤n,K_n^µ=K_m^µ. CommeK∞/Kest APF,µn tend vers +∞, et on a pour

nassez grand : Z n0

−1

[K_n^µ:K]dµ= Z n0

−1

[K_n^µ₀ :K]dµ, qui est une constante. Par cons´equent,v(d_L

n/Kn) =O

1 [Kn:K]

. On a alors ([Ser68], Chap V,§3, Lemme 4) :

v(T rL_n/K_n(m_L_n)) =O([Kn :K]⁻¹), et donc un ´el´ement dem_K

∞ se trouve dansT rLn/Kn(m_L

n) pournassez grand, et par cons´equent dansT rL∞/K∞(OL∞).

Il résulte immédiatement de cette proposition qu’étant donnéε >0, il existeyε∈ OL∞ tel que v(T rL∞/K∞(yε))< ε.

Corollaire 1.2. Soit L∞ une extension galoisienne finie de K∞ de groupe de Galois G, et soient x∈L∞ etε >0. Alors il existey∈L∞ tel que

v(x−T rL∞/K∞(y))≥min

σ∈Gv(σx−x)−ε etv(y)≥v(x)−ε.

D´emonstration. Soityε∈ OL∞ tel que v(T rL∞/K∞(yε))< ε, et soitz=T rL∞/K∞(yε).

On posey= ¹_zxyε. Alorsv(y)≥v(x)−εet T rL∞/K∞(y) = 1

z X

σ∈G

σ(yε)σ(x) = 1 z

X

σ∈G

σ(y0)(σx−x+x) =x+1 z

X

σ∈G

σ(y0)(σx−x).

Ainsi,v(T rL∞/K∞(y)−x)≥minσ∈Gv(σx−x)−ε.

Donnons au passage une proposition qui ne nous servira pas par la suite, mais qui découle direc- tement du corollaire 1.2 en reprenant les arguments de [Tat66], dont elle généralise la proposition 10 aux extensions APF.

Proposition 1.3. Soit K∞/K une extension APF infinie, on note H=Gal( ¯K/K∞), et Kd∞ la fermeture deK∞ dansC. Alors :

H⁰(H, C) =Kd∞ et H^r(H, C) = 0pourr≥1.

(5)

1.2 Etude de l’extension K^∞/K.

On peut maintenant appliquer le résultat précédent à une extension APF bien choisie. On définitπ0=π, pour toutn∈N,πn+1 une racine p-ième deπn,Kn=K(πn), etK∞=S

n∈NKn. L’extensionK∞, étudiée parBreuildans [Bre99] est APF. Nous redonnons ici une démonstration plus élémentaire (dans le sens ou elle n’a pas recours aux groupes de Liep-adiques) de ce résultat, qui est le lemme 2.1.1 deloc. cit.

Proposition 1.4. L’extensionK∞/K est APF.

D´emonstration. On sait quev(d_K

n/K) =e(n+ 1)− _pên. Un rapide calcul à partir de l’expression intégrale dev(d_K

n/K) et une récurrence immédiate montrent alors que pour toutn≥1, la famille (µn)n∈Nétant définie comme en (1),

µn =ne−1 + pe p−1.

La suiteµntend vers +∞, il résulte de [Win83], 1.4.2. queK∞/Kest APF et que (Kn) est la tour d’extensions élémentaires deK∞.

On a le corollaire suivant :

Corollaire 1.5. Soitε >0, soitx∈K¯ tel que pour toutσ∈G,v(σx−x)≥A. Il existeyε∈K∞

tel quev(x−yε)≥A−ε.

Démonstration. On noteM la clôture galoisienne deK∞(x), alors Gal( ¯K/M) agit trivialement sur x, et donc pour toutσ∈Gal(M/K),v(σx−x)≥A, et en particulier pour toutσ∈Gal(M/K∞), v(σx−x)≥A. D’après le corollaire 1.2, il existe pour toutε >0 unzε∈K∞tel que

v(x−zε)≥A−εetv(zε)≥v(x)−ε.

Théorème 1.6. Soit x∈K∞. Les deux assertions suivantes sont équivalentes : (i) ∀σ∈G=Gal( ¯K/K),v(σx−x)≥A

(ii) ∀m∈N,∃ym∈Kmtel quev(x−ym)≥A−_pm(p−1)¹ .

En particulier, sixvérifie(i), il existe y∈K tel quev(x−y)≥A−_p−1¹ . Démonstration. Pour simplifier l’écriture, on noteraAm=A−_pm(p−1)¹ . (i)⇒(ii). Soitn∈Ntel que x∈Kn. L’élémentxs’écrit

x=

pⁿ−1

X

i=0

aiπⁱ_n,

avec lesaidansK. Pourσ∈G,σπn est de la formeζπn, avecζracinepⁿ-ième de l’unité. De plus, il existeσ∈Gtel queζ soit une racineprimitive pⁿ-ième de l’unité. Fixons un telσ. On a :

σx−x=

pⁿ−1

X

i=1

aiπⁱ_n(ζⁱ−1).

L’ordre deζⁱ en tant que racine de l’unité estp^n−v(i). En effet, écrivanti=p^v(i)davecdnon divisible parp. Alorsζⁱ= (ζ^d)^p^v(i),ζ^dest une racine primitivepⁿ-ième de 1, donc (ζ^d)^p^v(i) est une racine primitivep^n−v(i)-ième de 1.

Par cons´equent, pouri∈ {1, . . . , pⁿ−1}, on a v(aiπ_nⁱ(ζⁱ−1)) =v(ai) + i

epⁿ + 1

p^n−v(i)−1(p−1). Soienti, j∈ {1, . . . , pⁿ−1}tels que v(aiπ_nⁱ(ζⁱ−1)) =v(ajπ^j_n(ζ^j−1)). Alors

i−j

epⁿ +p^v(i)−p^v(j)

pⁿ⁻¹(p−1) =v(aj)−v(ai)∈ 1 eZ.

(6)

Les entiersv(i) etv(j) sont inférieurs ou égaux àn−1, on peut de plus supposer quev(i)≤v(j).

On a alors (i−j)(p−1)−ep^v(i)+1(1−p^v(j)−v(i))∈pⁿ(p−1)Z. Siv(i)< v(j), alors v((i−j)(p−1)) =v(i), et v(ep^v(i)+1(1−p^v(j)−v(i))) =v(e) +v(i) + 1.

Par cons´equent,v((i−j)(p−1)−ep^v(i)+1(1−p^v(j)−v(i))) =v(i)< n−1.

On a donc nécessairementv(i) =v(j). Ainsi,î−j_pn ∈Z, et commeietjsont inférieurs strictement

`

apⁿ,i=j. Finalement,

v(aiπⁱ_n(ζⁱ−1)) =v(ajπ_n^j(ζ^j−1))⇔i=j.

En particulier,

v(σx−x) = min

1≤i≤pⁿ−1

v(ai) + i

epⁿ + p^v(i) pⁿ⁻¹(p−1)

.

Soit 0≤m≤n−1. D’après le calcul précédent, sii∈ {1, . . . , pⁿ−1}et v(i)< n−m, on a sous les hypothèses du théorème :

v(ai) + i

epⁿ ≥A− p^n−m−1

pⁿ⁻¹(p−1) ≥Am. D’autre part,

ym= X

0≤j≤pⁿ−1 pⁿ⁻^m|j

ajπ_n^j =

p^m−1

X

j=0

apⁿ⁻^mjπ^j_m∈Km.

Finalement, on a

v(x−ym) = min

1≤j≤pⁿ−1 pⁿ⁻^m∤j

v(ajπ^j_n) = min

1≤j≤pⁿ−1 v(j)<n−m

v(aj) + j epⁿ

≥Am,

avecym∈Km.

Pourm≥n, il suffit de choisirym=x.

R´eciproquement, (ii) ⇒ (i) : On suppose que x ∈ Kn. On ´ecrit x = Ppⁿ−1

i=0 aiπⁱ_n. On fixe σ0∈Gal( ¯K/K) tel queσ0πn=ζπn avecζracine primitivepⁿ-i`eme de l’unit´e. On pose pour tout m < n:

zm=

p^m−1

X

j=0

apⁿ⁻^mjπ_m^j .

La démonstration comporte trois étapes : tout d’abord, on montre que v(σx−x) ≥v(σ0x−x) pour toutσ∈Gal( ¯K/K). Ensuite, on vérifie quev(x−z)≤v(x−zm) pour toutz∈Km. Enfin, on montre qu’il existem < ntel que v(x−zm)≤v(σ0x−x)−_pm(p−1)¹ , et on conclut.

Soitσ∈G. Il existe une racinepⁿ-ième de l’unitéωtelle queσπn =ωπn. Notonsp^rl’ordre deω en tant que racine de l’unité. On a alorsσx−x=Ppⁿ−1

i=1 aiπⁱ_n(ωⁱ−1). Pour touti∈ {1, . . . , p−1}, v(aiπⁱ_n(ωⁱ−1)) =v(ai) +_epⁱn+_pr−^p1^v(i)(p−1). Orr≤n, donc

∀i∈ {1, . . . , p−1}, v(aiπⁱ_n(ωⁱ−1))≥v(ai) + i

epⁿ + p^v(i) pⁿ⁻¹(p−1). Or on sait quev(σ0x−x) = min1≤i≤pⁿ−1

v(ai) +_epⁱn+_pn−1^p^v(i)(p−1)

, et donc

v(σx−x)≥ min

1≤i≤pⁿ−1 v(aiπⁱ_n(ωⁱ−1))

≥v(σ0x−x).

Soit 0≤m≤n−1, et soitz∈Km. On va montrer quev(z−zm)6=v(x−zm). Tout d’abord, commezetzmsont dansKm,v(z−zm)∈ _ep¹mZ. D’autre part,v(x−zm) = minv(i)<n−m

v(ai) +_epⁱn

. Ainsi,

ep^mv(x−zm) = min

v(i)<n−m

ep^mv(ai) + i p^n−m

.

(7)

Siv(i)< n−m, _pnⁱ−m ∈/ Z. Commeev(ai)∈Zpour touti, on en d´eduit queep^mv(x−zm)∈/Z, et donc quev(z−zm)6=v(x−zm). Par cons´equent,v(x−z) = min(v(x−zm), v(z−zm))≤v(x−zm).

On sait quev(σ0x−x) = min1≤i≤pⁿ−1

v(ai) +_epⁱn+_pn−^p1^v(i)(p−1)

. Notonsi0l’indice pour lequel ce minimum est atteint ; fixonsm∈ {0, . . . , n−1} tel quev(i0) =n−1−m. On a

v(x−zm) = min

v(i)<n−m

v(ai) + i epⁿ

≤v(ai0) + i0

epⁿ.

Or, par définition dei0,v(σ0x−x) =v(ai0)+_epⁱ⁰n+_pm(p−1)¹ , et doncv(x−zm)≤v(σ0x−x)−_pm(p−1)¹ . Fixons-nous maintenantσ∈G. D’après les hypothèses du théorème, il existe unym∈Km tel quev(x−ym)≥Am.On fixe un telym, on a en particulierv(x−zm)≥Am. Ainsi,

v(σx−x)≥v(σ0x−x)≥v(x−zm) + 1

p^m(p−1) ≥A.

1.3 Optimisation du th´eor`eme d’Ax.

Dans cette partie, on utilise les résultats de la partie précédente et de l’étude menée sur les extensions APF pour donner la constante optimale dans le théorème d’Ax. Remarquons d’emblée que la constante optimale est minorée par_p−1¹ . En effet,v(σπ1−π1) =v(π1)+_p−1¹ , et sup_y∈Kv(π1− y) =v(π1). On va montrer que _p−1¹ est en fait la constante optimale.

Théorème 1.7. Soit x∈C. Les deux assertions suivantes sont équivalentes : (i) ∀σ∈G=Gal( ¯K/K),v(σx−x)≥A

(ii) ∀m∈N,∃ym∈Kmtel quev(x−ym)≥A−_pm(p−1)¹ .

En particulier, sixv´erifie(i), il existe y∈K tel quev(x−y)≥A−_p−1¹ .

D´emonstration. (i)⇒(ii) On commence par supposer x∈K. Pour tout¯ ε >0, on fixezε∈K∞

tel que tel quev(x−zε)≥A−ε, comme dans le corollaire 1.5. On av(σzε−zε)≥A−ε.

Soitm∈N. D’après le théorème 1.6, il existeyε∈Km tel quev(zε−yε)≥Am−ε. Fixons un tel yε, on a alorsv(x−yε)≥Am−ε.

Si 0< ε^′ < ε,

v(yε−yε^′)≥Am−ε.

Mais ep^mv(yε−yε^′) ∈ Z. Ainsi, pour ε suffisamment petit (de manière à ce que les entiers immédiatement supérieurs à ep^m(Am−ε) et à ep^mAm soient égaux), on a v(yε−yε^′) ≥ Am. Fixons un telεet posonsym=yε. Alors, pour tout 0< ε^′< ε,

v(x−ym)≥min(v(x−yε^′), v(yε^′−ym))≥Am−ε^′.

Cette minoration ´etant valable pour toutε^′, on a v(x−ym)≥Am. Maintenant, lorsque x∈ C, soity ∈K¯ tel quev(x−y)≥A. On a alors pour tout σ∈G, v(σy−y)≥A. Par cons´equent, il existe pour toutmunym∈Kmtel quev(y−ym)≥Am, et on a pour toutm∈N,

v(x−ym)≥A− 1 p^m(p−1).

(ii)⇒(i) Supposons d’abordx∈K. Soit¯ n∈N, pourm < non posezm=ym, et pourm≥n, on posezm=yn. On a alors, pour toutm∈N,zm∈Kmetv(yn−zm)≥Am. D’après le théorème 1.6, pour toutσ∈G, on av(σyn−yn)≥A. On en déduit immédiatement que pour toutσ∈G,

v(σx−x)≥min(v(σyn−yn), v(σ(x−yn)), v(x−yn))≥An.

Cette inégalité étant vraie pour toutn∈N, il en résulte quev(σx−x)≥A quel que soitσ∈G.

On en déduit le résultat pourx∈Ccomme précédemment.

Le théorème 1.7 peut se reformuler de la manière suivante : Corollaire 1.8. Soit x∈C. Alors :

σ∈Ginf v(σx−x) = sup

n∈N y∈Kinfn

v(x−y) + 1 pⁿ(p−1)

.

(8)

2 Application au calcul de H¹(G,OK¯).

On a la suite exacte 0 → OK¯ → K¯ → K/O¯ K¯ → 0. En passant aux points fixes par G = Gal( ¯K/K), on a :

0→K/OK→ K/O¯ K¯

G

→H¹(G,OK¯)→0

carH¹(G,K) = 0 (ici,¯ H¹(G,OK¯) est muni de la topologie discr`ete). Il en r´esulte queH¹(G,OK¯) est isomorphe au quotient K/O¯ K¯

G

/(K/OK), identification que l’on fera par la suite. On a déjà le résultat suivant :

Proposition 2.1. Soit n un entier ≥ _p−1ê . Alors H¹(G,OK¯) est tué par πⁿ. En particulier, H¹(G,OK¯) est tué parp.

D´emonstration. Soitx∈ K/O¯ K¯

G

. C’est l’image moduloOK¯ d’un élémentξde ¯K vérifiant pour toutσ∈G, v(σξ−ξ)≥0. Il existey ∈K tel quev(ξ−y)≥ −_p−1¹ . On a alorsv(πⁿξ−πⁿy)≥

n

e −_p−1¹ ≥0, doncπⁿξ= 0 dansH¹(G,OK¯), c’est `a direπⁿx= 0.

Remarque 2.1. Ce résultat était déjà connu de Sen, voir [Sen69], théorème 3. Il n’implique pas le théorème 1.7, ni même l’obtention de la constante optimale dans le théorème d’Ax, carn est supposé être entier. Cependant, bien queSen n’en dise rien, il semble possible d’adapter sa preuve du théorème 3 de [Sen69] pour en déduire la constante optimale dans le théorème d’Ax, en montrant d’abord que six∈K¯ etσx−x∈ OK¯ pour toutσ∈G, alors il existey ∈K tel que v(x−y)≥ −_p−1¹ .

Dans la suite, on note

a_n=

z∈K / v(z)¯ ≥ − 1 pⁿ(p−1)

.

2.1 Cas non ramifi´e.

Dans cette sous-partie, on suppose queK=F, c’est `a direK/F absolument non ramifi´ee.

On rappelle que l’on identifie K/O¯ K¯

G

/(K/OK) et H¹(G,OK¯). On va montrer que l’on peut associer à x∈ H¹(G,OK¯) une suite d’éléments dek dont nous étudierons ensuite les propriétés.

Pourn∈N, on noteηn =π_n⁻¹.

Proposition 2.2.Soitx∈H¹(G,OK¯), il existe un ant´ec´edentξdexdansK¯ et une suite(xn)n∈N^∗

d’´el´ements dek telle que pour toutn∈N,

ξ= Xn i=1

[xi]ηi moda_n,

o`u pour tout i,[xi]est le représentant de Teichmüller dexi. De plus, la suite(xn)ne dépend que dex.

Démonstration. Soit ξ un antécédent de xdans ¯K. D’après le théorème 1.7, il existe pour tout m∈Nunym∈Kmtel queξ=ym moda_m. On fixe une telle famille (ym). Commev(ξ−y0)≥

−_p−1¹ , on peut supposer, quitte `a remplacerξparξ−y0, que v(ξ)≥ −_p−1¹ . On construit la suite (xn)n∈Npar r´ecurrence. Le cas n= 0 est trivial.

On suppose construite la suite jusqu’`a l’indicen, et on ´ecrit :

ξ= [x1]η1+· · ·+ [xn]ηn+z, avecz∈a_n, etyn+1= X

i≥−n0

c^′_iπ_n+1ⁱ ,

où lesc^′_i sont pris parmi les représentants de Teichmüller des éléments de ketn0 ≥0. En posant ci=c^′_−i, on ayn+1=Pn0

i=1ciηⁱ_n+1 modOK¯. Il en r´esulte queξ=Pn0

i=1ciη_n+1ⁱ +z^′, avecz^′∈a_n+1. Pourk≥1,

η^k_n+1∈a_n⇔(p≥3 etk= 1) ou (p= 2 etk∈ {1,2}).