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ANNÉE UNIVERSITAIRE 2019/2020

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ANNÉE UNIVERSITAIRE 2019/2020

MP DS 1

Date : 16/03/20 Heure : 13h30 Durée : 1h30 Documents non autorisés

Epreuve de M. Popo

Question de cours

Soit ]a, b[un intervalle réel, et soit f :]a, b[→Rune fonction continue par morceaux. On suppose que f est intégrable. Montrer que Rb

a f(t)dt est convergente.

Exercice 1

Soit f la fonction dénie sur R∗+ =]0,+∞[ par f(x) = ln(x)− 1

x2 + 1.

1. Déterminer f(R∗+), puis démontrer que f est un C1-diéomorphisme deR∗+ vers f(R∗+). 2. Notonsf−1 la fonction réciproque def. Calculer l'équation de la tangente à la courbe de f−1

en 0.

Exercice 2

On considère f :R→RN de classeC2 telle que f(0) = 0. Déterminez

x→0lim

f0(x)− f(x)x

x .

Exercice 3

On pose, pour n≥1,

In= Z +∞

0

sin(nt) t32(t+n)dt.

1. Pour n ∈N∗ xé, montrer que In dénit bien une intégrale convergente.

2. Montrer que ∀x≥0, sinx≤x.

3. Déterminer la limite de In lorsque n tend vers +∞.

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