MP 2020-21
Kholles de Mathématiques — programme n ◦ 17
Semaine du lundi 8 au vendredi 12 février 2021
Attention tous les énoncés sont démontrés.
Les résultats admis seront explicitement indiqués.
Attention pas encore de variables aléatoires.
Chapitre 15 : probabilités sur un univers au plus dénombrable
Dans ce chapitre, la lettreΩdésigne un ensemble au plus dénombrable.
1. Espace probabilisé
1.1 Définitions et premières propriétés Définition : tribuT sur l’ensembleΩ.
Proposition : propriétés élémentaires des tribus.
Exemples : tribu triviale, tribu pleine, tribu engendrée par un événement.
Définition : espace probabilisable(Ω,T); événements (ou éléments observables).
Définition : système complet d’événements.
Exemples : de systèmes complets d’événements.
1.2 Lexique des probabilités
Issues (ou éventualités) d’une expérience aléatoire.
Événements élémentaires. Réalisation d’un événement.
Événement certain, événement impossible.
Événement contraire.
Événements incompatibles.
Implication entre événements.
Réunion ou intersection d’événements.
1.3 Probabilités sur un univers au plus dénombrable
Définition : probabilitéP sur un espace probabilisable(Ω,T)(dont l’axiome deσ-addivité). Espace probabilisé (Ω,T, P).
Proposition : probabilité d’un événement en fonction de celles des singletons le constituant.
1.4 Propriétés des probabilités
Proposition :P(A),P(B\A),P(A∪B), croissance deP. Théorème : de la limite monotone.
Proposition : inégalité de Boole (appelée aussi sous-additivité).
1.5 Événements négligeables, événements presque sûrs
Définition : événement négligeable, presque sûr ; propriété presque sûre.
Proposition : propriétés des événements négligeables et des événements presque sûrs.
Exemples. En particulier système quasi-complet d’événements (et leurs propriétés usuelles).
2. Conditionnement
2.1 Probabilité conditionnelle
Définition/proposition : probabilité sachant un événementA (ou conditionnellement àA).
Proposition : formule des probabilités composées.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 1/2 23 janvier 2021
MP 2020-21
2.2 Formule des probabilités totales Proposition : formule des probabilités totales.
Remarque : cette formule reste valable pour un système quasi-complet d’événements (au lieu d’un SCE).
Proposition : formule des probabilités conditionnelles totales.
2.3 Formule de Bayes Proposition : formule de Bayes.
3. Indépendance
3.1 Indépendance de deux événements
Définition : deux événements indépendants ; famille d’événements deux à deux indépendants.
Proposition : propriétés des événements indépendants (AetB sont indépendants ssiPA(B) =P(B); siAetB sont indépendants alorsA etB aussi).
3.2 Indépendance d’une suite d’événements
Définition : suite d’événements mutuellement indépendants.
Proposition : propriétés immédiates des suites d’événements mutuellement indépendants.
Remarque : autant l’indépendance mutuelle implique l’indépendance deux à deux, que la réciproque est fausse (contre-exemple).
Proposition : probabilité de l’intersection d’événements mutuellement indépendants.
Proposition : une CNS pour que des événements soient mutuellement indépendants.
Proposition : suite d’événements mutuellement indépendants et complémentaires.
Semaine suivante : variables aléatoires.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 2/2 23 janvier 2021
