MP 2020-21
Kholles de Mathématiques — programme n ◦ 18
Semaine du lundi 1er au vendredi 5 mars
Attention tous les énoncés sont démontrés.
Les résultats admis seront explicitement indiqués.
Nous avons encore peu pratiqué les variables aléatoires discrètes (X(Ω) au plus dénombrable).
Les variables aléatoires finies sont néanmoins au programme de MPSI. Donc : 1) Les kholleurs sont priés de poser des questions de cours sur les résultats marqués (*).
2) Les exercices peuvent et doivent porter sur tout ce qui figure sur cette feuille, ainsi que sur les premières lois usuelles (uniforme, Bernoulli, binomiale).
EXCLUS cette semaine : 16.3.3 moments, 16.4 loi faible des GN, 16.5 fonction génératrice d’une VA, 16.6 loi géométrique et loi de Poisson.
MERCI d’en tenir compte.
Chapitre 16 : variables aléatoires
Considérons un espace probabilisable(Ω,T), oùT est une tribu surΩ.
16.1. Variables aléatoires discrètes
16.1.1 Définitions et premières propriétés
Définition : variable aléatoire discrètes (en abrégé VAD) ; VAD réelle (VADR) ; couple de VADR ou vecteur aléatoire discret réel, à valeurs dansR2.
Notations : [X =x] = (X =x) =X−1({x}) ={ω ∈Ω/ X(ω) =x} et X(Ω) ={xk/ k∈ K} avec K au plus dénombrable.
Remarque : la définition d’une VA ne dépend pas d’une quelconque probabilité.
Proposition : premières propriétés des variables aléatoires.
Remarque :X : Ω→Rest une VAD réelle ssi pour tout intervalleI⊂R, on a[X ∈I]∈ T. Définition : pour une VADRX, événements[X≤x],[X < x],[X≥x],[X > x].
Définition : fonction de répartition (nous y reviendrons).
Proposition (*) : variable aléatoire indicatrice.
Proposition (*) : fonction d’une variable aléatoire.
Corollaire (*) : si(X1, X2)vecteur aléatoire discret réel alorsX1 et X2 VADR.
Proposition (*) : siX1 etX2VADR alors(X1, X2)vecteur aléatoire discret réel.
Proposition : des min, max et combinaison linéaires de VADR sont des VADR.
Remarque : vecteur aléatoire à valeurs dansRk. 16.1.2 Loi de probabilité
Soit(Ω,T, P)un espace probabilisé.
Proposition/définition : la loi de probabilitéPX d’une VADX est une probabilité.
Définition : VADRX et Y équiréparties, notationX ∼Y.
Proposition : caractérisation de la loi d’une VADRXparX(Ω)et la proba. des événements élémentaires[X =x].
Proposition : sommabilité de la famille des P([X =x]),x∈X(Ω).
Remarque : deux VA peuvent avoir la même loi sans pour autant être égales. Contre-exemple.
Proposition (ADMISE) : construction d’une proba. avec une famille dénombrable de réels positifs de somme1.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 1/2 23 janvier 2021
MP 2020-21
16.1.3 Fonction de répartition d’une VADR (le retour)
Proposition : propriétés de la fonction de répartition FX d’une VADR X (0 ≤FX ≤1, croissante, limites en
±∞, continuité à droite en tout point ADMIS).
16.2. Couples de variables aléatoires
16.2.1 Lois conjointes et lois marginales
Définition : loi conjointeP(X,Y)deX etY ; lois marginalesPX et PY du couple (X, Y).
Proposition : détermination des lois marginalesPX et PY à l’aide de la loi conjointeP(X,Y).
Proposition/définition : la loi conditionnelleP[X=x]:A7→P[X=x](Y ∈A)est une probabilité sur(Y(Ω),P(Y(Ω))) 16.2.2 Variables aléatoires indépendantes
Définition : famille finie de VADR indépendantes.
Proposition : si X et Y sont deux VADR indépendantes, alors la loi conjointe du couple(X, Y) est le produit des lois marginales.
Proposition : toute sous-famille d’une famille finie de VADR indépendantes, est formée de VADR indépendantes.
Définition : suite de Dark VADR indépendantes.
Proposition : une CNS pour qu’une suite de VADR soit une suite de VADR indépendantes.
Proposition : une CNS d’indépendance d’une suite de VA de Bernoulli.
Théorème (ADMIS) : siX1, . . . ,XnVADR indépendantes, alors pour tous fonctions adéquatesf etgles VADR f(X1, . . . , Xk)etg(Xk+1, . . . , Xn)sont indépendantes.
Remarque (*) : démonstration dans le casn= 2.
16.3. Espérance
16.3.1 Définitions et premières propriétés
Définition : espérance d’une VA réelleX (sous réserve d’existence,i.e.sommabilité de(xP([X =x]))x∈X(Ω)).
Exemples de VA ayant ou pas une espérance.
Lemme (*) : espérance d’une VA indicatrice.
Proposition : espérance de VADR équiréparties et admettant une espérance (PX=PY ⇒E(X) =E(Y)).
Définition : VADR centrée.
16.3.2 Encore des propriétés de l’espérance Théorème : de transfert.
Remarque : il n’est pas nécessaire de déterminer la loi def(X)pour calculer l’espérance def(X): on n’a besoin que de connaître la loi deX et la fonctionf.
Proposition (*) : linéarité de l’espérance (et l’ensemble des VADR admettant une espérance est un E.V.).
Définition : VADR centrée associée à une VADR.
Proposition : positivité et croissance de l’espérance.
Proposition (*) : toute VA absolument majorée par une VA à espérance a une espérance.
Proposition (*) : inégalité de Markov.
Proposition (*) : espérance d’un produit de deux VADR indépendantes et admettant une espérance.
Proposition (*) : espérance d’un produit fini de VADR mutuellement indépendantes et admettant une espérance.
Remarque : l’indépendance deux à deux ne suffit pas. Contre-exemple.
Semaine suivante : variables aléatoires, convexité.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 2/2 23 janvier 2021
