ÉCOLE POL

ÉCOLE POL

YTECHNIQ UE

Diffusion et r

epr oduction inter dites

ÉCOLE POL

YTECHNIQ UE

Diffusion et r

epr oduction inter dites

Analyse numérique

et optimisation

Une introduction à

la modélisation mathématique et à la simulation numérique

Grégoire Allaire

DEUXIÈME

É D I T I O N

ÉCOLE POL

YTECHNIQ UE

Diffusion et r

epr oduction inter dites

ÉCOLE POL

YTECHNIQ UE

Diffusion et r

epr oduction inter dites

sitaire, le développement massif du « photocopillage ».

Cette pratique qui s’est généralisée, notamment dans les établissements d’enseignement, provoque une baisse brutale des achats de livres, au point que la possibilité même pour les auteurs de créer des œuvres nouvelles et de les faire éditer correctement est aujourd’hui menacée.

Nous rappelons donc que la production et la vente sans autorisation, ainsi que le recel, sont passibles de poursuites.

Les demandes d’autorisation de photocopier doivent être adressées à l’éditeur ou au Centre français d’exploitation du droit de copie : 20, rue des Grands-Augustins , 75006 Paris. Tél. : 01 44  07 47 70.

© Éditions de l’École polytechnique - Octobre 2012 91128 Palaiseau Cedex

ÉCOLE POL

YTECHNIQ UE

Diffusion et r

epr oduction inter dites

ÉCOLE POL

YTECHNIQ UE

Diffusion et r

epr oduction inter dites

Table des matières

1 INTRODUCTIONALAMODÉLISATIONMATHÉMATIQUEET

A LA SIMULATIONNUMÉRIQUE 1

1.1 Introdutiongénérale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Unexempledemodélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Quelquesmodèleslassiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Équationdelahaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 Équationdesondes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.3 LeLaplaien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.4 ÉquationdeShrödinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.5 SystèmedeLamé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.6 SystèmedeStokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.7 Équationsdesplaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Calulnumériquepardiérenesnies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Prinipesdelaméthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2 Résultatsnumériques pourl'équationdelahaleur . . . . . . . 18

1.4.3 Résultatsnumériques pourl'équationd'advetion. . . . . . . . 22

1.5 Remarquessurlesmodèlesmathématiques. . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5.1 Notiondeproblèmebienposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5.2 Classiationdeséquationsauxdérivéespartielles . . . . . . . 29

2 MÉTHODEDES DIFFÉRENCESFINIES 31 2.1 Introdution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Diérenesniespourl'équation delahaleur. . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.1 Diversexemplesdeshémas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.2 Consistaneetpréision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.3 Stabilitéet analysedeFourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.4 Convergenedesshémas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.5 Shémasmultiniveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.6 Leas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3 Autresmodèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3.1 Équationd'advetion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3.2 Équationdesondes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

ÉCOLE POL

YTECHNIQ UE

Diffusion et r

epr oduction inter dites

ÉCOLE POL

YTECHNIQ UE

Diffusion et r

epr oduction inter dites

3 FORMULATIONVARIATIONNELLEDESPROBLÈMESELLIP-

TIQUES 65

3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1.2 Formulationlassique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.1.3 Leasdeladimensionund'espae . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2 Approhevariationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.1 FormulesdeGreen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.2 Formulationvariationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3 ThéoriedeLax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.3.1 Cadreabstrait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.3.2 AppliationauLaplaien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 ESPACES DE SOBOLEV 81 4.1 Introdutionet avertissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2 Fontionsdearrésommableet dérivationfaible . . . . . . . . . . . . 82

4.2.1 Quelquesrappelsd'intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.2.2 Dérivationfaible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3 Dénitionet prinipalespropriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.3.1 Espae H¹(Ω)^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86}

4.3.2 EspaeH₀¹(Ω)^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90}

4.3.3 Traeset formulesdeGreen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.3.4 Unrésultatdeompaité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.3.5 EspaesH^m(Ω)^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98}

4.4 Quelquesomplémentsutiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.4.1 DémonstrationduThéorème4.3.5dedensité . . . . . . . . . . 101

4.4.2 EspaeH(div) ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103}

4.4.3 EspaesW^m,p(Ω)^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105}

4.4.4 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.5 Lienavelesdistributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5 ÉTUDE MATHÉMATIQUEDES PROBLÈMESELLIPTIQUES 111 5.1 Introdution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.2 ÉtudeduLaplaien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.2.1 ConditionsauxlimitesdeDirihlet . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.2.2 ConditionsauxlimitesdeNeumann . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.2.3 Coeientsvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.2.4 Propriétésqualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.3 Résolutiond'autresmodèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.3.1 Systèmedel'élastiitélinéarisée. . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

ÉCOLE POL

YTECHNIQ UE

Diffusion et r

epr oduction inter dites

ÉCOLE POL

YTECHNIQ UE

Diffusion et r

epr oduction inter dites

6 MÉTHODEDES ÉLÉMENTSFINIS 151

6.1 Approximationvariationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.1.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.1.2 Approximationinternegénérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.1.3 MéthodedeGalerkin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.1.4 Méthodedesélémentsnis(prinipesgénéraux) . . . . . . . . 155

6.2 ÉlémentsnisendimensionN= 1 ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156}

6.2.1 ÉlémentsnisP₁ ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156}

6.2.2 Convergeneet estimationd'erreur . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.2.3 ÉlémentsnisP₂ ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166}

6.2.4 Propriétésqualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6.2.5 Élémentsnisd'Hermite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

6.3 ÉlémentsnisendimensionN≥2 ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174}

6.3.1 Élémentsnistriangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.3.2 Convergeneet estimationd'erreur . . . . . . . . . . . . . . . . 186

6.3.3 Élémentsnisretangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.3.4 ÉlémentsnispourStokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.3.5 Visualisationdesrésultatsnumériques . . . . . . . . . . . . . . 205

7 PROBLÈMES AUX VALEURS PROPRES 209 7.1 Motivationet exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

7.1.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

7.1.2 Résolutiondesproblèmesinstationnaires. . . . . . . . . . . . . 210

7.2 Théoriespetrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

7.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

7.2.2 Déompositionspetraled'unopérateurompat . . . . . . . . 215

7.3 Valeurspropresd'unproblèmeelliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7.3.1 Problèmevariationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7.3.2 ValeurspropresduLaplaien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

7.3.3 Autresmodèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

7.4 Méthodesnumériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

7.4.1 Disrétisationparélémentsnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

7.4.2 Convergeneet estimationsd'erreur . . . . . . . . . . . . . . . 232

8 PROBLÈMES D'ÉVOLUTION 235 8.1 Motivationet exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

8.1.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

8.1.2 Modélisation etexemplesd'équationsparaboliques . . . . . . . 236

8.1.3 Modélisation etexemplesd'équationshyperboliques . . . . . . 237

8.2 Existeneetuniitédansleasparabolique . . . . . . . . . . . . . . . 238

8.2.1 Formulationvariationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

8.2.2 Unrésultatgénéral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

8.2.3 Appliations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

ÉCOLE POL

YTECHNIQ UE

Diffusion et r

epr oduction inter dites

ÉCOLE POL

YTECHNIQ UE

Diffusion et r

epr oduction inter dites

8.3.1 Formulationvariationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

8.3.2 Unrésultatgénéral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

8.3.3 Appliations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

8.4 Propriétésqualitativesdansleasparabolique . . . . . . . . . . . . . 257

8.4.1 Comportementasymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

8.4.2 Prinipedumaximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

8.4.3 Propagationàvitesseinnie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

8.4.4 Régularitéeteetrégularisant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

8.4.5 Équationdelahaleurdanstout l'espae . . . . . . . . . . . . 263

8.5 Propriétésqualitativesdansleashyperbolique . . . . . . . . . . . . . 265

8.5.1 Réversibilitéentemps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

8.5.2 Comportementasymptotique etéquipartitiondel'énergie . . . 266

8.5.3 Vitesse depropagationnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

8.6 Méthodesnumériquesdansleasparabolique . . . . . . . . . . . . . . 271

8.6.1 Semi-disrétisationenespae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

8.6.2 Disrétisationtotaleenespae-temps. . . . . . . . . . . . . . . 272

8.7 Méthodesnumériquesdansleashyperbolique . . . . . . . . . . . . . 276

8.7.1 Semi-disrétisationenespae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

8.7.2 Disrétisationtotaleenespae-temps. . . . . . . . . . . . . . . 278

9 INTRODUCTION À L'OPTIMISATION 283 9.1 Motivationetexemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

9.1.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

9.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

9.1.3 Dénitions etnotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

9.1.4 Optimisationendimensionnie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

9.2 Existened'unminimumendimensioninnie . . . . . . . . . . . . . . 293

9.2.1 Exemples denon-existene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

9.2.2 Analyseonvexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

9.2.3 Résultatsd'existene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

10CONDITIONS D'OPTIMALITÉ ET ALGORITHMES 303 10.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

10.1.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

10.1.2 Diérentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

10.2 Conditionsd'optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

10.2.1 Inéquationsd'Euleretontraintesonvexes . . . . . . . . . . . 309

10.2.2 Multipliateurs deLagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

10.3 Point-selle,théorèmedeKuhnet Tuker,dualité . . . . . . . . . . . . 324

10.3.1 Point-selle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

10.3.2 ThéorèmedeKuhnetTuker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

10.3.3 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

10.4 Appliations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330