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et optimisation
Une introduction à
la modélisation mathématique et à la simulation numérique
Grégoire Allaire
DEUXIÈME
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sitaire, le développement massif du « photocopillage ».
Cette pratique qui s’est généralisée, notamment dans les établissements d’enseignement, provoque une baisse brutale des achats de livres, au point que la possibilité même pour les auteurs de créer des œuvres nouvelles et de les faire éditer correctement est aujourd’hui menacée.
Nous rappelons donc que la production et la vente sans autorisation, ainsi que le recel, sont passibles de poursuites.
Les demandes d’autorisation de photocopier doivent être adressées à l’éditeur ou au Centre français d’exploitation du droit de copie : 20, rue des Grands-Augustins , 75006 Paris. Tél. : 01 44 07 47 70.
© Éditions de l’École polytechnique - Octobre 2012 91128 Palaiseau Cedex
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Table des matières
1 INTRODUCTIONALAMODÉLISATIONMATHÉMATIQUEET
A LA SIMULATIONNUMÉRIQUE 1
1.1 Introdutiongénérale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Unexempledemodélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Quelquesmodèleslassiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Équationdelahaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Équationdesondes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3 LeLaplaien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.4 ÉquationdeShrödinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.5 SystèmedeLamé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.6 SystèmedeStokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.7 Équationsdesplaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Calulnumériquepardiérenesnies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Prinipesdelaméthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 Résultatsnumériques pourl'équationdelahaleur . . . . . . . 18
1.4.3 Résultatsnumériques pourl'équationd'advetion. . . . . . . . 22
1.5 Remarquessurlesmodèlesmathématiques. . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1 Notiondeproblèmebienposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.2 Classiationdeséquationsauxdérivéespartielles . . . . . . . 29
2 MÉTHODEDES DIFFÉRENCESFINIES 31 2.1 Introdution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Diérenesniespourl'équation delahaleur. . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 Diversexemplesdeshémas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Consistaneetpréision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.3 Stabilitéet analysedeFourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.4 Convergenedesshémas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.5 Shémasmultiniveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.6 Leas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Autresmodèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.1 Équationd'advetion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.2 Équationdesondes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
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3 FORMULATIONVARIATIONNELLEDESPROBLÈMESELLIP-
TIQUES 65
3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.2 Formulationlassique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1.3 Leasdeladimensionund'espae . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2 Approhevariationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.1 FormulesdeGreen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.2 Formulationvariationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 ThéoriedeLax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3.1 Cadreabstrait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3.2 AppliationauLaplaien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 ESPACES DE SOBOLEV 81 4.1 Introdutionet avertissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Fontionsdearrésommableet dérivationfaible . . . . . . . . . . . . 82
4.2.1 Quelquesrappelsd'intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.2 Dérivationfaible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3 Dénitionet prinipalespropriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3.1 Espae H1(Ω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3.2 EspaeH01(Ω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3.3 Traeset formulesdeGreen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3.4 Unrésultatdeompaité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3.5 EspaesHm(Ω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4 Quelquesomplémentsutiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4.1 DémonstrationduThéorème4.3.5dedensité . . . . . . . . . . 101
4.4.2 EspaeH(div) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.4.3 EspaesWm,p(Ω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4.4 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.5 Lienavelesdistributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5 ÉTUDE MATHÉMATIQUEDES PROBLÈMESELLIPTIQUES 111 5.1 Introdution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 ÉtudeduLaplaien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2.1 ConditionsauxlimitesdeDirihlet . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2.2 ConditionsauxlimitesdeNeumann . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.2.3 Coeientsvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2.4 Propriétésqualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.3 Résolutiond'autresmodèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.3.1 Systèmedel'élastiitélinéarisée. . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
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6 MÉTHODEDES ÉLÉMENTSFINIS 151
6.1 Approximationvariationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.1.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.1.2 Approximationinternegénérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.1.3 MéthodedeGalerkin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.1.4 Méthodedesélémentsnis(prinipesgénéraux) . . . . . . . . 155
6.2 ÉlémentsnisendimensionN= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.2.1 ÉlémentsnisP1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.2.2 Convergeneet estimationd'erreur . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.2.3 ÉlémentsnisP2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.2.4 Propriétésqualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.2.5 Élémentsnisd'Hermite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.3 ÉlémentsnisendimensionN≥2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.3.1 Élémentsnistriangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.3.2 Convergeneet estimationd'erreur . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.3.3 Élémentsnisretangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.3.4 ÉlémentsnispourStokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.3.5 Visualisationdesrésultatsnumériques . . . . . . . . . . . . . . 205
7 PROBLÈMES AUX VALEURS PROPRES 209 7.1 Motivationet exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.1.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.1.2 Résolutiondesproblèmesinstationnaires. . . . . . . . . . . . . 210
7.2 Théoriespetrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.2.2 Déompositionspetraled'unopérateurompat . . . . . . . . 215
7.3 Valeurspropresd'unproblèmeelliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.3.1 Problèmevariationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.3.2 ValeurspropresduLaplaien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.3.3 Autresmodèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.4 Méthodesnumériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.4.1 Disrétisationparélémentsnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.4.2 Convergeneet estimationsd'erreur . . . . . . . . . . . . . . . 232
8 PROBLÈMES D'ÉVOLUTION 235 8.1 Motivationet exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.1.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.1.2 Modélisation etexemplesd'équationsparaboliques . . . . . . . 236
8.1.3 Modélisation etexemplesd'équationshyperboliques . . . . . . 237
8.2 Existeneetuniitédansleasparabolique . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.2.1 Formulationvariationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.2.2 Unrésultatgénéral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.2.3 Appliations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
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8.3.1 Formulationvariationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
8.3.2 Unrésultatgénéral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
8.3.3 Appliations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
8.4 Propriétésqualitativesdansleasparabolique . . . . . . . . . . . . . 257
8.4.1 Comportementasymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8.4.2 Prinipedumaximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
8.4.3 Propagationàvitesseinnie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
8.4.4 Régularitéeteetrégularisant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
8.4.5 Équationdelahaleurdanstout l'espae . . . . . . . . . . . . 263
8.5 Propriétésqualitativesdansleashyperbolique . . . . . . . . . . . . . 265
8.5.1 Réversibilitéentemps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
8.5.2 Comportementasymptotique etéquipartitiondel'énergie . . . 266
8.5.3 Vitesse depropagationnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
8.6 Méthodesnumériquesdansleasparabolique . . . . . . . . . . . . . . 271
8.6.1 Semi-disrétisationenespae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
8.6.2 Disrétisationtotaleenespae-temps. . . . . . . . . . . . . . . 272
8.7 Méthodesnumériquesdansleashyperbolique . . . . . . . . . . . . . 276
8.7.1 Semi-disrétisationenespae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
8.7.2 Disrétisationtotaleenespae-temps. . . . . . . . . . . . . . . 278
9 INTRODUCTION À L'OPTIMISATION 283 9.1 Motivationetexemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
9.1.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
9.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
9.1.3 Dénitions etnotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
9.1.4 Optimisationendimensionnie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
9.2 Existened'unminimumendimensioninnie . . . . . . . . . . . . . . 293
9.2.1 Exemples denon-existene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
9.2.2 Analyseonvexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
9.2.3 Résultatsd'existene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
10CONDITIONS D'OPTIMALITÉ ET ALGORITHMES 303 10.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
10.1.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
10.1.2 Diérentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
10.2 Conditionsd'optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
10.2.1 Inéquationsd'Euleretontraintesonvexes . . . . . . . . . . . 309
10.2.2 Multipliateurs deLagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
10.3 Point-selle,théorèmedeKuhnet Tuker,dualité . . . . . . . . . . . . 324
10.3.1 Point-selle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
10.3.2 ThéorèmedeKuhnetTuker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
10.3.3 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
10.4 Appliations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
