Analyse numérique

(1)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

Analyse numérique

et optimisation

Une introduction à

la modélisation mathématique et à la simulation numérique

Grégoire Allaire

DEUXIÈME

É D I T I O N

(2)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

sitaire, le développement massif du « photocopillage ».

Cette pratique qui s’est généralisée, notamment dans les établissements d’enseignement, provoque une baisse brutale des achats de livres, au point que la possibilité même pour les auteurs de créer des œuvres nouvelles et de les faire éditer correctement est aujourd’hui menacée.

Nous rappelons donc que la production et la vente sans autorisation, ainsi que le recel, sont passibles de poursuites.

Les demandes d’autorisation de photocopier doivent être adressées à l’éditeur ou au Centre français d’exploitation du droit de copie : 20, rue des Grands-Augustins , 75006 Paris. Tél. : 01 44 07 47 70.

© Éditions de l’École polytechnique - Octobre 2012

91128 Palaiseau Cedex

(3)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

Table des matières

1 INTRODUCTIONALAMODÉLISATIONMATHÉMATIQUEET

A LA SIMULATIONNUMÉRIQUE 1

1.1 Introdutiongénérale. . . 1

1.2 Unexempledemodélisation . . . 2

1.3 Quelquesmodèleslassiques . . . 9

1.3.1 Équationdelahaleur . . . 9

1.3.2 Équationdesondes. . . 10

1.3.3 LeLaplaien . . . 12

1.3.4 ÉquationdeShrödinger. . . 12

1.3.5 SystèmedeLamé. . . 13

1.3.6 SystèmedeStokes . . . 14

1.3.7 Équationsdesplaques . . . 14

1.4 Calulnumériquepardiérenesnies . . . 15

1.4.1 Prinipesdelaméthode . . . 15

1.4.2 Résultatsnumériques pourl'équationdelahaleur . . . 18

1.4.3 Résultatsnumériques pourl'équationd'advetion. . . 22

1.5 Remarquessurlesmodèlesmathématiques. . . 26

1.5.1 Notiondeproblèmebienposé . . . 27

1.5.2 Classiationdeséquationsauxdérivéespartielles . . . 29

2 MÉTHODEDES DIFFÉRENCESFINIES 31 2.1 Introdution. . . 31

2.2 Diérenesniespourl'équation delahaleur. . . 32

2.2.1 Diversexemplesdeshémas . . . 32

2.2.2 Consistaneetpréision . . . 35

2.2.3 Stabilitéet analysedeFourier. . . 37

2.2.4 Convergenedesshémas . . . 42

2.2.5 Shémasmultiniveaux . . . 44

2.2.6 Leas multidimensionnel . . . 46

2.3 Autresmodèles . . . 51

2.3.1 Équationd'advetion. . . 51

2.3.2 Équationdesondes. . . 59

i

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ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

3 FORMULATIONVARIATIONNELLEDESPROBLÈMESELLIP-

TIQUES 65

3.1 Généralités . . . 65

3.1.1 Introdution . . . 65

3.1.2 Formulationlassique . . . 66

3.1.3 Leasdeladimensionund'espae . . . 67

3.2 Approhevariationnelle . . . 68

3.2.1 FormulesdeGreen . . . 68

3.2.2 Formulationvariationnelle . . . 71

3.3 ThéoriedeLax-Milgram . . . 74

3.3.1 Cadreabstrait . . . 74

3.3.2 AppliationauLaplaien . . . 77

4 ESPACES DE SOBOLEV 81 4.1 Introdutionet avertissement . . . 81

4.2 Fontionsdearrésommableet dérivationfaible . . . 82

4.2.1 Quelquesrappelsd'intégration . . . 82

4.2.2 Dérivationfaible . . . 83

4.3 Dénitionet prinipalespropriétés . . . 86

4.3.1 Espae

H ¹ (Ω)

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁸⁶

4.3.2 Espae

H ₀ ¹ (Ω)

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁹⁰

4.3.3 Traeset formulesdeGreen . . . 92

4.3.4 Unrésultatdeompaité . . . 97

4.3.5 Espaes

H ^m (Ω)

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁹⁸

4.4 Quelquesomplémentsutiles . . . 101

4.4.1 DémonstrationduThéorème4.3.5dedensité . . . 101

4.4.2 Espae

H(div)

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹⁰³

4.4.3 Espaes

W ^m,p (Ω)

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹⁰⁵

4.4.4 Dualité . . . 106

4.5 Lienavelesdistributions . . . 107

5 ÉTUDE MATHÉMATIQUEDES PROBLÈMESELLIPTIQUES 111 5.1 Introdution. . . 111

5.2 ÉtudeduLaplaien. . . 112

5.2.1 ConditionsauxlimitesdeDirihlet . . . 112

5.2.2 ConditionsauxlimitesdeNeumann . . . 118

5.2.3 Coeientsvariables . . . 125

5.2.4 Propriétésqualitatives . . . 129

5.3 Résolutiond'autresmodèles . . . 138

5.3.1 Systèmedel'élastiitélinéarisée. . . 138

5.3.2 ÉquationsdeStokes . . . 147

(5)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

6 MÉTHODEDES ÉLÉMENTSFINIS 151

6.1 Approximationvariationnelle . . . 151

6.1.2 Approximationinternegénérale . . . 152

6.1.3 MéthodedeGalerkin. . . 155

6.1.4 Méthodedesélémentsnis(prinipesgénéraux) . . . 155

6.2 Élémentsnisendimension

N = 1

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹⁵⁶

6.2.1 Élémentsnis

P ₁

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹⁵⁶

6.2.2 Convergeneet estimationd'erreur . . . 161

6.2.3 Élémentsnis

P ₂

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹⁶⁶

6.2.4 Propriétésqualitatives . . . 168

6.2.5 Élémentsnisd'Hermite. . . 172

6.3 Élémentsnisendimension

N ≥ 2

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹⁷⁴

6.3.1 Élémentsnistriangulaires . . . 174

6.3.2 Convergeneet estimationd'erreur . . . 186

6.3.3 Élémentsnisretangulaires . . . 194

6.3.4 ÉlémentsnispourStokes. . . 199

6.3.5 Visualisationdesrésultatsnumériques . . . 205

7 PROBLÈMES AUX VALEURS PROPRES 209 7.1 Motivationet exemples. . . 209

7.1.2 Résolutiondesproblèmesinstationnaires. . . 210

7.2 Théoriespetrale . . . 213

7.2.1 Généralités . . . 213

7.2.2 Déompositionspetraled'unopérateurompat . . . 215

7.3 Valeurspropresd'unproblèmeelliptique . . . 217

7.3.1 Problèmevariationnel . . . 217

7.3.2 ValeurspropresduLaplaien . . . 222

7.3.3 Autresmodèles . . . 226

7.4 Méthodesnumériques . . . 229

7.4.1 Disrétisationparélémentsnis. . . 229

7.4.2 Convergeneet estimationsd'erreur . . . 232

8 PROBLÈMES D'ÉVOLUTION 235 8.1 Motivationet exemples. . . 235

8.1.2 Modélisation etexemplesd'équationsparaboliques . . . 236

8.1.3 Modélisation etexemplesd'équationshyperboliques . . . 237

8.2 Existeneetuniitédansleasparabolique . . . 238

8.2.2 Unrésultatgénéral. . . 240

8.2.3 Appliations . . . 245

8.3 Existeneetuniitédansleashyperbolique . . . 250

(6)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

8.3.2 Unrésultatgénéral. . . 251

8.3.3 Appliations . . . 254

8.4 Propriétésqualitativesdansleasparabolique . . . 257

8.4.1 Comportementasymptotique . . . 257

8.4.2 Prinipedumaximum . . . 259

8.4.3 Propagationàvitesseinnie. . . 260

8.4.4 Régularitéeteetrégularisant . . . 261

8.4.5 Équationdelahaleurdanstout l'espae . . . 263

8.5 Propriétésqualitativesdansleashyperbolique . . . 265

8.5.1 Réversibilitéentemps . . . 265

8.5.2 Comportementasymptotique etéquipartitiondel'énergie . . . 266

8.5.3 Vitesse depropagationnie . . . 267

8.6 Méthodesnumériquesdansleasparabolique . . . 271

8.6.1 Semi-disrétisationenespae . . . 271

8.6.2 Disrétisationtotaleenespae-temps. . . 272

8.7 Méthodesnumériquesdansleashyperbolique . . . 276

8.7.1 Semi-disrétisationenespae . . . 277

8.7.2 Disrétisationtotaleenespae-temps. . . 278

9 INTRODUCTION À L'OPTIMISATION 283 9.1 Motivationetexemples. . . 283

9.1.2 Exemples . . . 284

9.1.3 Dénitions etnotations . . . 290

9.1.4 Optimisationendimensionnie. . . 291

9.2 Existened'unminimumendimensioninnie . . . 293

9.2.1 Exemples denon-existene . . . 293

9.2.2 Analyseonvexe . . . 296

9.2.3 Résultatsd'existene . . . 299

10CONDITIONS D'OPTIMALITÉ ET ALGORITHMES 303 10.1 Généralités . . . 303

10.1.1 Introdution . . . 303

10.1.2 Diérentiabilité . . . 304

10.2 Conditionsd'optimalité . . . 309

10.2.1 Inéquationsd'Euleretontraintesonvexes . . . 309

10.2.2 Multipliateurs deLagrange. . . 312

10.3 Point-selle,théorèmedeKuhnet Tuker,dualité . . . 324

10.3.1 Point-selle . . . 324

10.3.2 ThéorèmedeKuhnetTuker . . . 325

10.3.3 Dualité . . . 327

10.4 Appliations. . . 330

10.4.1 Énergie dualeouomplémentaire . . . 330

(7)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

10.4.2 Commandeoptimale . . . 332

10.4.3 Optimisationdessystèmesdistribués . . . 337

10.5 Algorithmesnumériques . . . 339

10.5.1 Introdution . . . 339

10.5.2 Algorithmesdetypegradient(assansontraintes) . . . 340

10.5.3 Algorithmesdetypegradient(asaveontraintes) . . . 343

10.5.4 MéthodedeNewton . . . 349

11MÉTHODES DE LA RECHERCHE OPÉRATIONNELLE (Rédigé en ollaborationave StéphaneGaubert) 353 11.1 Introdution. . . 353

11.2 Programmationlinéaire . . . 354

11.2.1 Dénitionsetpropriétés . . . 354

11.2.2 Algorithmedusimplexe . . . 359

11.2.3 Algorithmesdepointsintérieurs . . . 364

11.2.4 Dualité . . . 364

11.3 Polyèdresentiers . . . 368

11.3.1 Pointsextrémauxdeompatsonvexes . . . 368

11.3.2 Matriestotalementunimodulaires . . . 371

11.3.3 Problèmesdeots . . . 374

11.4 Programmationdynamique . . . 378

11.4.1 Priniped'optimalitédeBellman . . . 378

11.4.2 Problèmeenhorizonni . . . 379

11.4.3 Problèmeduhemindeoûtminimum,oud'arrêtoptimal. . . 382

11.5 Algorithmesgloutons. . . 387

11.5.1 Généralitéssurlesméthodesgloutonnes . . . 387

11.5.2 AlgorithmedeKruskalpourleproblèmedel'arbreouvrantde oûtminimum . . . 387

11.6 Séparationetrelaxation . . . 390

11.6.1 Séparationet évaluation (branhandbound) . . . 390

11.6.2 Relaxationdeproblèmesombinatoires . . . 395

ANNEXE: ESPACES DE HILBERT 405 ANNEXE: ANALYSENUMÉRIQUE MATRICIELLE 411 13.1 Résolutiondessystèmeslinéaires . . . 411

13.1.1 Rappelssurlesnormesmatriielles . . . 412

13.1.2 Conditionnementetstabilité . . . 415

13.1.3 Méthodesdiretes . . . 417

13.1.4 Méthodesitératives . . . 430

13.1.5 Méthodedugradientonjugué . . . 434

13.2 Caluldevaleursetveteurspropres . . . 442

13.2.1 Méthodedelapuissane . . . 442

13.2.2 MéthodedeGivens-Householder . . . 445

(8)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

13.2.3 MéthodedeLanzos . . . 448

Bibliographie 453

Index 456

Index des appliations 460

Index des notations 461

(9)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

A lamémoire de Jaques-Louis LIONS(1928-2001)

Professeur àl'Eole Polytehniquede 1966 à1986

(10)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

Introdution

Ce ours traitededeuxsujets essentiels,maisparmi tantd'autres,enmathéma-

tiques appliquées : l'analyse numérique et l'optimisation. Avant même de présenter

esdeux disiplines,disonstoutdesuitequ'àtraversleurenseignementl'objetif de

eoursestd'introduireleleteuraumondedelamodélisationmathématiqueet

delasimulationnumériquequiontprisuneimportaneonsidérableesdernières

déennies dans tousles domaines de la siene et des appliations industrielles (ou

sienesdel'ingénieur).Lamodélisationmathématique estl'art(oulasiene,selon

lepointdevue)dereprésenter(oudetransformer)uneréalitéphysiqueendesmod-

èles abstraitsaessiblesàl'analyse et aualul.La simulationnumérique est,bien

sûr, leproessus qui permet dealuler surordinateur lessolutionsde es modèles,

etdondesimulerlaréalitéphysique.

Mais, tout d'abord,quesontlesmathématiquesappliquées? Direqu'ils'agitdes

mathématiquestournéesverslesappliations seraitune tautologieet unefaussear-

atérisation.Eneet,detouttempslesmathématiiensontétéinspiréspasdesprob-

lèmes pratiques qu'ils ont essayé de résoudre, et ependant l'émergene des math-

ématiques appliquées omme disipline indépendante est relativement réente. En

fait, tout a hangé ave l'apparition des premiers ordinateurs au lendemain de la

seonde guerremondiale. Plus que pour tout autre disiplinel'ordinateura étéune

révolution pour les mathématiques : il a en eet ouvert un hamp nouveau, elui

de la modélisation et de la simulation. L'ordinateur a fait des mathématiques une

sieneexpérimentale(onfaitdesexpérienesnumériques ommed'autresfontdes

expérienes physiques), et la oneption ainsi que l'analyse des méthodes de alul

surordinateursontdevenuesunenouvellebranhedesmathématiques:'est lasim-

ulation numérique. Ces progrès ont aussi permis aux mathématiques de s'attaquer

àdesproblèmesbeauoup plusomplexeset onrets,issus demotivations immédi-

ates industrielles ou sientiques, auxquels on peut apporter des réponses à la fois

qualitativesmaisaussiquantitatives: 'estlamodélisationmathématique.

On peut don aratériser les mathématiques appliquées omme les mathéma-

tiquesdelamodélisationetdelasimulationnumérique.Deepointdevue,lesmath-

ématiquesappliquéessesituentàl'intersetiondeplusieursdisiplinessientiques:

mathématiques, alul informatique, sienes physiques, himiques, méaniques,bi-

ologiques,éonomiques,etsienesdel'ingénieur(sousederniervoableonregroupe

usuellementlesdiérentsdomainesd'appliationsindustriels ommel'aéronautique,

laprodution d'énergie,lanane, et.).Le mathématiienamériain Joseph Keller

armait sous forme de boutade que les mathématiques appliquées sont la siene

dontlesmathématiquespuressontjusteunebranhe.Ilvoulaitmettreainsienrelief

learatère pluridisiplinairedes mathématiques appliquées(maisil n'est pasexlu

qu'ilaitvouluaussirendrelamonnaiedeleurpièeàertainsmathématiienspurs

(11)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

quiaetentdemépriserlesmathématiques appliquées).

Enparaphrasantletitred'unlmélèbre,monollèguePierre-LouisLionsprétend

quelesmathématiquesappliquéessontaratériséespartroishoses:Sex,Lies, and

Videotapes. Les assettesvidéosontbien sûr lesymbole dela simulationnumérique

(et des jolis lms qu'elle produit), les mensonges orrespondent aux modèles (pas

toujours dèles à la réalité), et le sexe 'est évidemment l'analyse mathématique

(moteurinépuisable despassionshumainesetsouredetantdeplaisirs)...

Après e (long) détour nous pouvons maintenant revenir au titre de e ours.

L'analyse numérique est don la disipline qui onçoit et analyse les méthodes ou

algorithmesdealul numérique. Parailleursl'optimisationest lathéoriedes méth-

odesquipermettentd'améliorerlefontionnement,lerendement,oularéponsed'un

système en maximisant ou minimisant des fontions assoiées. C'est don un outil

essentielpourlamodélisation.

Lesobjetifsdeeourssontdefamiliariserleleteuravelesprinipauxmod-

èles(qui sontsouventdeséquationsauxdérivéespartielles),leursméthodesderéso-

lutionnumériqueetleuroptimisation.Biensûr,l'ambitiondeeoursestdedonner

les bases qui permettrontaux futursingénieurs debureau d'études oude reherhe

et développement de réer de nouveaux modèles et de nouveaux algorithmes

numériquespourdesproblèmesplusompliquésnondisutésii.Cependant,même

eux qui ne se destinent pasà une telle arrièreont intérêt à bien omprendre les

enjeuxdelasimulationnumérique.En eet,denombreusesdéisionsindustriellesou

politiquesseprennentdésormaissurlafoidealulsoudesimulationsnumériques.Il

importedonquelesdéideursaientlaapaitédejugerdelaqualitéetdelaabilité

desalulsquileursontprésentés.Ceoursleurpermettradeonnaîtrelespremiers

ritèresqui garantissentlavaliditéet lapertinenedessimulationsnumériques.

Le plande eours est lesuivant.Aprèsunpremier hapitred'introdutionaux

prinipauxmodèleslassiquesetàleurrésolutionnumérique,leChapitre2eston-

saréàl'étudedelaméthode numériquedesdiérenes nies.Cesdeux premiers

hapitres permettent d'aller très vite vers desquestions numériques essentielles qui

motiventlesdéveloppementsthéoriquesquisuivront.LesChapitres3,4,et5sonton-

sarésàlarésolutionthéorique parl'approhe variationnelle demodèlesstation-

naires(indépendantsdutemps).Ilsposentaussilesbases d'uneméthodenumérique

très importante, dite des éléments nis, qui est présentée en détail au Chapitre

6. La méthode des élémentsnis est àla base de nombreux logiiels de aluls in-

dustriels ou aadémiques. Les Chapitres 7 et 8 portent sur la résolution de prob-

lèmes instationnaires (oud'évolutionen temps), tantdu point de vue théorique

que numérique. Si les 8premiers hapitressontdédiés à l'analyse numérique, les3

dernierstraitentd'optimisation.Le Chapitre 9présente unesérie d'exempleson-

retsdeproblèmesd'optimisationetdonneunethéoried'existenedesolutionsàes

problèmes. Le Chapitre 10 dérive les onditions (néessaires ou susantes) d'opti-

malitédessolutions.Cesonditionssontimportantestantdupointdevuethéorique

que numérique. Elles permettent de aratériser les optima, et elles sont àla base

desalgorithmes numériques quenous dérivons.Finalement,le Chapitre 11est une

introdutionàlareherhe opérationnelle.Aprèsavoirétudiélaprogrammation

(12)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

linéaire,nousdonnonsunaperçudesméthodesdel'optimisationombinatoire('est-

à-diredel'optimisationenvariablesdisrètes)quiestessentiellepourlaplaniation

optimale des ressoures et des tâhes dans toutes les grandes entreprises. Chaque

hapitreommeneparuneintrodutionquiendonneleplanetlesidéesprinipales.

L'épaisseurdeeoursnedoitpasinquiéterleleteur:enplusdespointsessentiels

qui seronttraitésdansle oursoral, leours érit ontient denombreuxdéveloppe-

mentsomplémentairesquipermettentauleteururieuxd'allerunpeuplusloinet

defairelelienaved'autresouvragesoud'autresdisiplines.Ils'agitdonplusd'un

ouvragederéférenequedelatransriptionexateduontenudesoursmagistraux.

Pour termineretteintrodution nousdonnons quelques renseignementsd'ordre

pratique.Danslamesuredupossibleeourss'estvouluauto-ontenupouréviterde

tropfréquentsrenvoisàd'autresouvrages.Celaestpartiulièrementsensiblepourde

nombreuxrésultatsd'analysequinesontiiquedesoutilstehniquesutiles,maispas

essentiels.Lesénonersansdémonstrationreviendraitàlesutiliserenboitenoiree

quileurdonneunaspetreettedeuisinetropartiiel.Danslamesuredupossible,

nousavonsdoninlusleurdémonstration,maisplusàtitred'informationetpourles

démystier que pourl'intérêtthéorique des arguments mathématiques. Andeles

distinguernousemployonspourtousespassagesdiiles,oud'intérêtomplémentaire,des

aratèrespluspetitsommeeux-i.Leleteurpourradononsidérerespassagesen

petitsaratèresommehorsprogramme.Lesénonésderésultatsoudedénitions

sont en aratères italiques omme eux-i. Lesexeriessont en aratères sans sérif

ommeeux-i.Land'unedémonstrationestindiquéeparlearatère

^,^tandis^que

land'uneremarque oud'unexempleest indiquée parlearatère

•

^. Ûn îndexêst

disponibleàlandel'ouvrage.

Les orrigés des exeries seront prohainement publiés. La plupart des pro-

grammesinformatiquesqui mettenten oeuvre lesméthodesnumériquesétudiées,et

quiontpermisderéaliserlesguresdeetouvrage,sontdisponiblessurlesiteweb

http://www.map.polytehnique.fr/allaire/ours_X_annee2.html

oùleleteurpourralestéléhargerlibrement.Lesshémasnumériquesendiérenes

nies, ainsiquelaméthode desélémentsnisen dimensionun,ontété programmés

dansle langagedulogiielSilab développéparl'INRIA et l'ENPC,disponible gra-

tuitementsurlesiteweb

http://www.silab.org

tandisque lesrésultats dela méthode deséléments nisen dimensiondeux ont été

obtenus àl'aide dulogiiel FreeFem++ développépar F.Heht et O. Pironneauet

aussidisponiblegratuitementsurlesiteweb

http://www.freefem.org

Parailleurs,laplupartdesguresbidimensionnellesetlatotalitédesgurestridimen-

sionnellesont ététraées àl'aidedulogiielgraphiquexd3d développéparFrançois

Jouveàl'ÉolePolytehniqueetaussidisponiblegratuitementsurlesite web

http://www.map.polytehnique.fr/jouve/xd3d

Indiquonsuneautreadressewebpourleleteururieuxd'ensavoirplussurl'histoire

desmathématiquesoulaviedeertainsmathématiiensitésdanseours

http://www-history.ms.st-and.a.uk/history

(13)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

Leleteurquivoudraitsetenirauourantdesprogrèsetdesavanéesdesmathéma-

tiquesappliquéespeutonsulteravebénéelesitedelaSoiétédeMathématiques

Appliquées etIndustrielles

http://smai.emath.fr

oueluidesaonsoeuramériaine,theSoietyforIndustrialandAppliedMathemat-

is

http://www.siam.org

Le niveau de e ours est introdutif et il n'exige auun autre prérequis que le

niveaude onnaissanes aquis en lassespréparatoires ou en premieryle univer-

sitaire. Reonnaissonsqu'ilestdiile de fairepreuvede beauoupd'originalité sur

esujetdéjàbien lassiquedanslalittérature.Enpartiulier,notreoursdoitbeau-

oup à es prédéesseurs et notamment aux ours de B. Larrouturou,P.-L. Lions,

et P.-A. Raviart auxquelsil faitparfois de largesemprunts. L'auteurremerie tous

euxquiontreluertainespartiesdumanusrit,notammentFrédériBonnans,Bruno

Despréset Bertrand Maury. Unemention spéiale est due àStéphaneGaubert, qui

apartiipéàlarédationduChapitre11, ainsiqu'àOlivierPantz,qui arelul'inté-

gralitédumanusritavebeauoupd'attentionetquiavériélesexerieset rédigé

leurorrigé.L'auteurremerieàl'avanetouseuxquivoudrontbienluisignalerles

inévitables erreurs ou imperfetions de etteédition, parexemple parourrier éle-

troniqueàl'adresse

gregoire.allairepolytehnique.fr

G.Allaire

Paris,le7Juillet2005

Laseondeéditiondeeoursapermisdeorrigerdemultiplesfautesdefrappe,

inorretionsoupetites erreurs(meri auxnombreuxétudiantsou ollèguesqui me

les ont signalées). Elle ontient aussi un résultat supplémentaire sur l'équation des

ondes(Proposition8.5.3)auChapitre8.

G.Allaire

Paris,le7juillet2012

(14)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

(15)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

Chapitre 1

INTRODUCTION A LA

MODÉLISATION

MATHÉMATIQUE ET A LA

SIMULATION NUMÉRIQUE

1.1 Introdution générale

Ce hapitre est une introdution à deux aspets distints, mais très liés, des

mathématiques appliquées : la modélisation mathématique et la simulation

numérique.Unmodèlemathématiqueest unereprésentationouune interprétation

abstraitedelaréalitéphysiquequiest aessibleàl'analyseet aualul.Lasimula-

tionnumériquepermetdealulersurordinateurlessolutionsdeesmodèles,etdon

desimulerlaréalitéphysique.Danseours,lesmodèlesquenousétudieronsseront

deséquationsauxdérivées partielles(oue.d.p.enabrégé),'est-à-diredeséquations

diérentielles àplusieursvariables (letempset l'espae,parexemple).

Pour l'instant nous laissonsde oté un troisième aspet fondamental des math-

ématiques appliquées,à savoirl'analyse mathématique desmodèles, surlequel nous

reviendrons un peu plus longuement dans les hapitressuivants. En pratiquant de

lasorte,nous voulonsenquelquesorte,motiveret justierette néessaireintrusion

de l'analyse mathématique. Nous allonsvoir, en eet, que le alul numérique des

solutionsdeesmodèlesphysiquesréserveparfoisdessurprises(désagréables)quine

peuvents'expliqueret s'éviterqueparunebonneompréhensiondeleurspropriétés

mathématiques.Rappelonsenore une fois learatère fondamentalementmultidis-

iplinaire des mathématiques appliquées, et don de la simulation numérique, qui

mêlentmathématiques,alulinformatique,et sienesdel'ingénieur.

Bien que la plupart des problèmes et des appliations qui motivent les mathé-

1

(16)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

matiques appliquées sont fondamentalement non-linéaires (voir par exemple [14℄,

[30℄), nous nousrestreignons danset ouvrage aux problèmeslinéaires parsoui de

simpliité. De la même façon, nous n'envisageonsque des problèmes déterministes,

'est-à-dire sans introdution d'aléatoire ou de stohastique. Enn, e hapitre se

voulantintrodutifet attratif, nous resteronssouventunpeu oudans l'argumen-

tairemathématiquepournepasalourdirinutilementl'exposé.Queleleteurrigoureux

serassure:nousreprendronstouslesoneptsintroduitsdemanièrepluspréiseau

prohainhapitre.

Le plan de ehapitreest lesuivant. LaSetion 1.2 est onsarée àunexemple

élémentairedemodélisationquionduitàl'équationde lahaleur.LaSetion1.3

est une revue rapide des prinipales équations aux dérivées partielles que l'on ren-

ontredanslesmodèlesusuelsenméanique,physique,ousienesdel'ingénieur.La

Setion 1.4 est une introdution assezinformelle au alul numérique et àla méth-

ode des diérenes nies. Enn, nous donnons dans la Setion 1.5 la dénition

d'unproblème bienposé ainsiqu'unelassiation(sommaire)deséquationsaux

dérivéespartielles.

1.2 Un exemple de modélisation

La modélisation représente une part onsidérable du travail du mathématiien

appliquéetnéessiteuneonnaissaneapprofondie,nonseulementdesmathématiques

appliquées, mais aussi de la disipline sientique à laquelle elles s'appliquent. En

eet,dansdenombreuxaslemodèlemathématique n'estpasenoreétabli,oubien

il faut en séletionner un pertinent parmi plusieurs disponibles, ou enore il faut

simplier des modèles onnus mais trop omplexes. Néanmoins, il ne nous est pas

possibledansunepremièreprésentationdeladisiplinederendreompteavejustie

de l'importane de ette démarhe de modélisation : il faut bien ommener par

apprendrelesnotionsdebasepropresauxmathématiquesappliquées!C'estpourquoi

nous nous limitons à dérire un exemple de dérivation d'un modèle physique très

lassique, et nous renvoyonsle leteur désireux d'en savoirplus à des ouvrages ou

oursplusspéialisés.

Le modèle que nous allons dérire est onnu sous le nom d'équation de la

haleur,oud'équationdediusion.

Considéronsundomaine

Ω

^de^l'espae^à

N

^dimensions^(noté

R ^N

^,^ave^en^général

N = 1, 2

^, ôu ³⁾ ^que ^l'on ^suppose ôupé ^par ûn ^matériau ^homogène, îsotrope, êt

onduteurdelahaleur.Onnote

x

^la^variable^d'espae, 'est-à-direunpointde

Ω

^,

et

t

^la^variable^de^temps.^Dans

Ω

^les^soures^de^haleur(éventuellementnonuniformes enespaeetvariablesdansletemps)sontreprésentéesparunefontiondonnée

f (x, t)

^,

tandis quela température est une fontion inonnue

θ(x, t)

^. ^La^quantité ^de ^haleur

est proportionnelle à la température

θ

^et ^vaut

cθ

^où

c

êst ûne ônstante ^physique

(qui dépend du type de matériau) appelée haleur spéique. Pour déterminer la

température

θ

^,^nous^érivons^la^loi^de onservationdel'énergieoudelaquantité dehaleur.Dansunvolumeélémentaire

V

^inlus^dans

Ω

^,^la^variation^en^temps^de^la

(17)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

quantitédehaleurestlebilandeequiest produitparlessouresetdeequi sort

ourentreàtraverslesparois.Autrementdit,

d dt

Z

V

cθ dx

= Z

V

f dx − Z

∂V

q · n ds

^(1.1)

où

∂V

^est^le^bord^de

V

^(d'élément^de^surfae

ds

^),

n

êst^la^normaleêxtérieureûnité^de

V

^,^et

q

êst^le^veteurûx^de^haleur.^Siônâpplique^le^théorème^de^Gauss,ônôbtient

Z

∂V

q · n ds = Z

V

divq dx.

Regroupantlesdiérentstermesde(1.1)etutilisantlefaitquelevolumeélémentaire

V

^est^quelonque,indépendantdutemps,onendéduitl'équationdeonservationde l'énergie

c ∂θ

∂t + divq = f

^(1.2)

quialieuentoutpoint

x ∈ Ω

^et^à^tout^temps

t

^.^Rappelons^quel'opérateurdivergene estdénipar

divq =

N

X

i=1

∂q i

∂x i

ave

q = (q 1 , ..., q N ) ^t .

Il faut maintenant relier le ux de haleur à la température, et on fait appel à e

qu'onappelleuneloi onstitutive.Dansleasprésent,ils'agitdelaloideFourier

quirelieleux dehaleurdemanièreproportionnelleaugradientdetempérature

q = − k ∇ θ,

^(1.3)

où

k

êstûneônstante^positive^(qui^dépend^du^type^de^matériau)âppeléeôndutivité

thermique.Rappelonsquel'opérateurgradientestdénipar

∇ θ = ∂θ

∂x 1

, ..., ∂θ

∂x N

t

.

En ombinantla loideonservation (1.2)et laloionstitutive(1.3),onobtient une

équationpourlatempérature

θ c ∂θ

∂t − k∆θ = f,

où

∆ = div ∇

^est l'opérateurlaplaien donnépar

∆θ =

N

X

i=1

∂ ² θ

∂x ² _i .

Ilfautajouteràetteéquationqui estvalabledanstout ledomaine

Ω

^, ^une^relation,

appelée ondition aux limites, qui indique e qui se passe à la frontière ou au

(18)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

n

Ω

∂Ω

Figure1.1Veteurnormalunitéorienté versl'extérieur.

bord

∂Ω

^du ^domaine, êt ûne âutre ^relation ^qui îndique ^quel êst ^l'état înitial ^de ^la

température. Paronvention, onhoisitl'instant

t = 0

^pour^être ^le^temps^initial, ^et

onimposeuneondition initiale

θ(t = 0, x) = θ 0 (x),

^(1.4)

où

θ 0

^est ^la^fontion ^dedistribution initialede température dansle domaine

Ω

^. ^En

e qui onerne la ondition aux limites, ela dépend du ontexte physique. Si le

domaine est supposé baigner dans un thermostat à température onstante, alors,

quitteà modier l'éhelle des températures, latempératurevériela onditionaux

limitesdeDirihlet

θ(t, x) = 0

^pour^tout

x ∈ ∂Ω

^et

t > 0.

^(1.5)

Si le domaine est supposé adiabatique ou thermiquement isolé de l'extérieur, alors

leux dehaleursortant aubordest nul et la température vériela onditionaux

limitesdeNeumann

∂θ

∂n (t, x) ≡ n(x) · ∇ θ(t, x) = 0

^pour^tout

x ∈ ∂Ω

^et

t > 0,

^(1.6)

où

n

êst^la ^normaleêxtérieureûnité ^de

Ω

^(voir^la^Figure ^1.1). ^Une^situation ^inter-

médiairepeut aussiavoirlieu : leux de haleur sortant aubordest proportionnel

au saut de température entre l'extérieur et l'intérieur, et la température vérie la

onditionauxlimitesdeFourier

∂θ

∂n (t, x) + αθ(t, x) = 0

^pour^tout

x ∈ ∂Ω,

^et

t > 0

^(1.7)

où

α

êst ûne ônstante ^positive. ^Puisqu'il ^faut ^hoisir ^('est ûne ^des ^étapes ^de ^la

modélisation), nous allons séletionner la ondition aux limites de Dirihlet (1.5).

Rassemblantenn l'équation,laonditioninitiale, et la onditionaux limites satis-

(19)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

faitesparlatempérature,onobtientl'équationdelahaleur



 



 

 c ∂θ

∂t − k∆θ = f

^pour

(x, t) ∈ Ω × R ⁺ _∗ θ(t, x) = 0

^pour

(x, t) ∈ ∂Ω × R ⁺ _∗ θ(t = 0, x) = θ 0 (x)

^pour

x ∈ Ω

(1.8)

Leproblème(1.8)estdononstituéd'uneéquationauxdérivéespartiellesmuniede

onditionsauxlimitesetd'uneonditioninitiale.Aausedelaprésenedeonditions

aux limites, ondit que(1.8) est un problème aux limites,mais ondit aussi que

'estunproblèmede Cauhy àausedeladonnéeinitialeentemps.

Remarque 1.2.1 Dansemodèledepropagationdelahaleur,ilnousfautpréiser

les unités ou dimensions physiques : la température

θ

^s'exprime ^en ^Kelvin ⁽

K

^), ^la

haleurspéique

c

^en^Joule^par^kilogramme^par^Kelvin⁽

J/(kg × K)

^),^la^ondutivité

thermique (par unité de masse)

k

^en ^Joule ^mètre ^arré ^par ^kilogramme^par ^Kelvin

parseonde(

Jm ² /(kg × K × s)

^). ^D'un^point^de^vuemathématique,nousallonstrès souventoublieresunités,et mêmeesonstantes, ensupposantque

c

^et

k

^valent¹

(elarevientàadimensionnerlesgrandeursphysiques).

•

Remarque 1.2.2 Nous avons mentionné trois types de onditions aux limites,

Dirihlet,Neumann,Fourier(maisilenexisted'autres)quiontlieusurl'intégralitéde

lafrontière

∂Ω

^.^Bien^sûr, ôn^peutâisémentîmaginer^des^situations ôù^lesônditions

aux limites sont mélangées : Dirihlet sur

∂Ω D

^, ^Neumann ^sur

∂Ω N

^, ^et ^F^ourier ^sur

∂Ω F

^,^ave

∂Ω D , ∂Ω N , ∂Ω F

^formant^une^partition^de^la^frontière

∂Ω

^.

•

Remarque 1.2.3 L'équationdelahaleur(1.8)est linéaireausensoùsasolution

θ

^dépend linéairement des données

(f, θ 0 )

^. ^En ^physique ^ette ^propriété ^de ^linéarité

est souventtraduitesouslaforme d'unprinipede superposition: une ombinaison

linéaire des données

(f, θ 0 )

^onduit ^à ^une ^solution

θ

^qui ^est ^la ^même ^ombinaison

linéairedessolutionsorrespondantàhaquetermedeladéompositiondesdonnées.

D'un point de vuephysique,la linéarité n'estqu'une hypothèse parmi d'autres.En

eet,pourlesproblèmesàfortevariationdetempérature,laloideFourierestfausse,

et il faut la orriger en supposant que la ondutivité thermique

k

^dépend ^en ^fait

de la température

θ

^et ^de ^son ^gradient

∇ θ

^(e ^qui ^rend ^le ^problème non-linéaire).

Enore pire, pourdes phénomènes extrêmementrapides (explosion, parexemple) il

est néessaire d'abandonner le prinipe même de la loi de Fourier qui suppose la

proportionnalitéduuxdehaleur

q

^ave^le^le^gradient^detempérature

∇ θ

^.^En^eet,

ette hypothèse (naturelle àpremière vue) entraîne une propriété paradoxale : la

haleur se propage àune vitesse innie dans le domaine

Ω

^. ^Nous ^verrons ^plus ^loin

(voirla Remarque 1.2.9)ommentétablir e paradoxe.Retenons pour l'instant que

modéliser'estfairedeshypothèsesetpréiserleurdomainedevalidité...

•

Remarque 1.2.4 Leproblème(1.8)n'estpasseulementunmodèlede propagation

delahaleur.Ilaenfait unaratère universel, etonleretrouveommemodèlede

(20)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

nombreuxphénomènes sansauun rapport entre eux (ilfaut simplementhanger le

nom des diverses variables du problème). Par exemple, (1.8) est aussi onnue sous

le nom d'équation de diusion, et modélisela diusion ou migration d'uneon-

entration ou densité à travers le domaine

Ω

^(imaginer ^un ^polluant ^diusant ^dans

l'atmosphère, oubien uneespèehimiquemigrantdans unsubstrat). Dans e as,

θ

^est ^laonentrationouladensitéenquestion,

q

^est ^le^ux ^de^masse,

k

^est ^la^diu-

sivité,et

c

^est^la^densité^volumique^de^l'espèe.^De^même,^la^loi^deonservation(1.2) estunbilandemasse,tandisquelaloionstitutive(1.3)estappeléeloideFik.

•

Remarque 1.2.5 Leproblème(1.8)intervientaussiennaneoùilportelenomde

modèle de Blak et Sholes.Une variante de (1.8)permet detrouverle prix de

l'optiond'ahat(ouall)d'uneationquivautinitialement

x

^et^qu'on^pourra^aheter

auprix

k

^dans^un^temps^ultérieur

T

^.^Ce ^prix^est^la^solution

u

^de







∂u

∂t − ru + 1/2rx ∂u

∂x + 1/2σ ² x ² ∂ ² u

∂x ² = 0

^pour

(x, t) ∈ R × (0, T ) u(t = T, x) = max(x − k, 0)

^pour

x ∈ R

(1.9)

Plus préisément,

u(0, x)

^est ^le ^prix ^au ^temps

t = 0

^de ^l'option ^d'ahat ^de ^prix

d'exerie

k

^à ^l'éhéane

T > 0

^, ^et ^d'atif

x

^en

t = 0

^. ^On ^note

σ

^la ^volatilité ^de

l'ationet

r

^le^taux^d'intérêt.^Remarquons^que^(1.9)êstûn^problèmeâveôndition

naleetnonpasinitiale,maisquelesignedeladérivéeseondeenespaeestopposéà

eluidans(1.8).Paronséquent,aprèsinversiondutemps(1.9)estbienuneéquation

parabolique.

•

Il existe de nombreuses variantes de l'équation de la haleur (1.8) dont nous

explorons ertaines maintenant. Jusqu'ii nous avons supposé que la haleur se

propageait dans un milieu immobile ou au repos. Supposons à présent qu'elle se

propagedans unmilieu en mouvement omme,par exemple,un uideanimé d'une

vitesse

V (x, t)

^(une ^fontion^à ^valeurs vetorielles dans

R ^N

^). ^Alors, ^il ^faut ^hanger

laloionstitutivear leux dehaleur estlasomme d'unux de diusion(omme

préédemment)etd'unux deonvetion(proportionnelàlavitesse

V

^),^et^des^on-

sidérations similaires à elles qui préèdent nous onduisent à un problème, dit de

onvetion-diusion



 



 

 c ∂θ

∂t + cV · ∇ θ − k∆θ = f

^dans

Ω × R ⁺ _∗

θ = 0

^sur

∂Ω × R ⁺ _∗

θ(t = 0, x) = θ 0 (x)

^dans

Ω

(1.10)

Ladiéreneentre(1.8)et(1.10)estl'apparitiond'untermedeonvetion.Onmesure

labalaneentreenouveautermedeonvetionetletermedediusionparunnombre

sansdimension,appelénombre de Pélet,dénipar

Pe = cV L

k ,

^(1.11)

(21)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

où

L

^est ^une ^longueuraratéristiqueduproblème (parexemplelediamètre dudo- maine

Ω

^).^Si ^le^nombre^de ^Péletêst ^très ^petit, âlors^les êets^diusifs ^dominent^les

eetsonvetifs,etlemodèle(1.8)estsusantpourdérirelephénomène.Silenom-

bredePéletn'estni petit, nigrand(onditqu'ilestdel'ordredel'unité),lemodèle

(1.10)estplusréalisteque(1.8).Parontre,silenombredePéletesttrèsgrand,on

peutsimplier(1.10)ensupprimantletermedediusion.Onobtientalorsl'équation

dited'advetion



 



 

 c ∂θ

∂t + cV · ∇ θ = f

^dans

Ω × R ⁺ _∗

θ(t, x) = 0

^pour

(x, t) ∈ ∂Ω × R ⁺ _∗

^si

V (x) · n(x) < 0 θ(t = 0, x) = θ 0 (x)

^dans

Ω

(1.12)

Remarquonsladiérenedanslaonditionauxlimitesde (1.12)parrapport àelle

de (1.10): on n'impose plusà latempérature

θ

^d'être ^nulle ^partout^sur ^le^bord

∂Ω

maisseulementenespointsdubordoùlavitesse

V

^est ^rentrante.

Nous venonsdonde dériretroismodèlesdepropagation delahaleurparon-

vetionetdiusion,(1.8),(1.10),(1.12),quiontdesrégimesdevaliditéorrespondant

àdes valeursdiérentes du nombrede Pélet. Biensûr, larésolution analytique ou

numériquedeestroismodèlesestassezdiérente.Ils'agitlàd'unesituationourante

enmodélisationmathématique:plusieursmodèlessontenonurreneetilfautpou-

voirhoisirlemeilleur.

An de mieux omprendre les diérenes fondamentales qui existent entre es

modèles, nous nous restreignons provisoirement au as où

Ω = R

^est ^l'espae ^tout

entierendimension1(equiévauelaquestiondesonditionsauxlimites),oùleterme

soure

f

êst^nul,êtôù^la^vitesse

V

êstônstante.Ôn^peutâlorsâlulerexpliitement dessolutionsdeesmodèles.Parexemple,(1.10) devient







∂θ

∂t + V ∂θ

∂x − ν ∂ ² θ

∂x ² = 0

^pour

(x, t) ∈ R × R ⁺ _∗ θ(t = 0, x) = θ 0 (x)

^pour

x ∈ R

(1.13)

ave

ν = k/c

^,^qui ^admet^omme^solution

θ(t, x) = 1

√ 4πνt Z + ∞

−∞

θ 0 (y) exp

− (x − V t − y) ² 4νt

dy.

^(1.14)

Unesolutionde(1.8)estfailementobtenueenfaisant

V = 0

^dansl'expression(1.14).

Exerie 1.2.1 On suppose que la donnée initiale

θ 0

êst ôntinue êt uniformément bornéesur

R

^.^Vérier^que^(1.14)^est^bien^une^solution^de^(1.13).

Ave lesmêmeshypothèsessimpliatries,l'équationd'advetiondevient







∂θ

∂t + V ∂θ

∂x = 0

^pour

(x, t) ∈ R × R ⁺ _∗ θ(t = 0, x) = θ 0 (x)

^pour

x ∈ R

(1.15)

(22)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

Onvérieque

θ(t, x) = θ 0 (x − V t)

^(1.16)

estunesolutiondel'équation(1.15).

Exerie 1.2.2 On suppose que la donnée initiale

θ 0

^est ^dérivable ^et uniformément bornéesur

R

^.^Vérier^que^(1.16)êst^bienûne^solution^de^(1.15).^Montrer^que^(1.16)êst

lalimitede (1.14)lorsqueleparamètre

ν

^tend^vers^zéro.

Remarque 1.2.6 Si l'on résolvait l'équation de la haleur (1.8) sur un intervalle

borné (et non dans tout l'espae), on pourrait aussi aluler une solution expliite

enutilisantl'analyse deFourier(voirleoursde mathématiques[7℄).Cettesolution

serait un peu moins expliite que (1.14) ar dénie omme la somme d'une série

innie.Remarquonsque'estpréisémentpourrésoudrel'équationdelahaleurque

Fourierainventél'analyse quiportesonnom.

•

Remarque 1.2.7 Lerledutempsestfondamentalementdiérentdansleséquations

(1.8)et (1.12). En eet, supposantquele terme soureest nul,

f = 0

^,^si ^on^hange

lesignedutemps

t

êt êlui^de ^la^vitesse, ^l'équation^d'advetion^(1.12) êstînhangée

(quand onremonte le temps, onremonte le ourant).Au ontraire, unhangement

de signe dutemps dans l'équation de la haleur (1.8) ne peut pas être ompensé

parunequelonquevariationdusignedesdonnées.C'estmanifestedanslaformedes

solutionsexpliites de es équations : (1.16) est invariant par hangement de signe

de

t

^et

V

^, ^alors^que ^(1.14) ^(ave

V = 0

⁾ ^déroîtên ^tempsê ^qui îndique^la^èhe

du temps. On dit que l'équation d'advetion est réversible en temps, tandis que

l'équationdelahaleurest irréversibleentemps.Cetteobservationmathématique

est onformeàl'intuitionphysique :ertainsphénomènes sontréversiblesen temps,

d'autresnon(omme ladiusion d'unegouttedelaitdansunetassedethé).

•

Remarque 1.2.8 Une autre diérene fondamentale entre les équations (1.8) et

(1.12)portesurlespropriétésd'invarianeparhangementd'éhelle.Supposons

queleterme soureestnul,

f = 0

^.^Il^est^faile^de^voir^que^si

θ(x, t)

^est ^une^solution

del'équationdelahaleur(1.8),alors,pourtout

λ > 0

^,

θ( ^x _λ , _λ ^t 2 )

^est^aussi^solution^de

lamêmeéquation(pourunedonnéeinitialediérente). Demême, ensupposantque

lavitesse

V

^est^onstante,^si

θ(x, t)

^est ^une^solution^de^l'équation^d'advetion^(1.12),

alors

θ( ^x _λ , _λ ^t )

êst âussi^solution.Ôn^voit^bien ^que^la^mise^à^l'éhelle^de^la^variable ^de

tempsn'estpaslamêmedanslesdeuxas.Remarquonsaussique,danslesdeuxas,

l'équationest invariantepartranslationenespaeetentemps.

•

Remarque 1.2.9 Une propriété surprenante (du point de vue de la physique) de

l'équationdelahaleur(1.8)estquelasolutionen

(x, t)

^dépend^de^toutes^les^valeurs

de ladonnéeinitiale dans

R

^(voir, ^la^formule ^(1.14)).^En partiulier,dansle as de (1.13), si la donnée initiale est positive à support ompat, alors pour tout temps

t > 0

^(aussi^petit ^soit-il) ^la^solution^est ^stritement^positive^sur ^tout

R

^: ^autrement

(23)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

dit,l'eetdelahaleursefairesentirinstantanémentàl'inni.Onditquelahaleur

sepropageave unevitesseinnie(equiestbiensûrunelimitationdumodèle).

Au ontraire,dansl'équation d'advetion (1.15)ladonnéeinitialeestonvetée àla

vitesse

V

^(voir^la^formule^(1.16))^:^il ^y^a^donpropagationà vitesse nie.

•

Remarque 1.2.10 Grâeauxformulesexpliites(1.14)et(1.16),onvérieaisément

quelessolutionsdel'équationdeonvetion-diusion(1.13)etdel'équationd'adve-

tion(1.15)vérientlapropriété

min x∈ R θ 0 (x) ≤ θ(x, t) ≤ max

x∈ R θ 0 (x)

^pour^tout

(x, t) ∈ R × R ⁺ ,

appelée prinipe du maximum. Cette propriété (très importante, aussi bien du

point de vue mathématique que physique) se généralise aux formes plus générales

del'équationdeonvetion-diusion(1.10)et del'équationd'advetion(1.12).Nous

l'étudieronspréisémentdanslasuite.

•

1.3 Quelques modèles lassiques

Dans ette setionnous donnons rapidementlaforme de quelquesmodèles las-

siques. Le but de ette énumération est de dégager dès maintenant les prinipales

lasses d'équations aux dérivées partielles que nous étudierons par la suite, et de

montrerque eséquations jouentunrle importantdansdesdomaines sientiques

très divers. Désormais nous adimensionnons toutes les variables, e qui permet de

xertouteslesonstantesdesmodèleségalesà1.

1.3.1 Équation de la haleur

Commenousvenonsdelevoir,l'équationdelahaleurintervientommemodèle

dansdenombreuxproblèmesdessienesdel'ingénieur.Elles'érit



 



 



∂u

∂t − ∆u = f

^dans

Ω × R ⁺ _∗ u = 0

^sur

∂Ω × R ⁺ _∗ u(t = 0) = u 0

^dans

Ω

(1.17)

Il s'agitd'une équation d'ordre1 en temps et d'ordre 2en espae(l'ordre est elui

des dérivées partielles lesplus élevées). On dira que ette équation est parabolique

(voir plus loin la Sous-setion 1.5.2). Nous avons déjà vu ertaines propriétés de

ette équation : irréversibilité en temps, propagation à vitesse innie, et prinipe

dumaximum.

Exerie 1.3.1 Onse proposederetrouverunepropriétéde déroissaneexponentielle

en temps (voir laformule(1.14)) de la solutionde l'équation de lahaleur (1.17)dans

un domaine borné. En une dimension d'espae, on pose

Ω = (0, 1)

^et ^on ^suppose ^que

(24)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

f = 0

^.^Soit

u(t, x)

^une^solution^régulière^de^(1.17).^Enmultipliantl'équationpar

u

^et^en

intégrantparrapportà

x

^,^établir^l'égalité

1 2 d dt

Z 1 0

u ² (t, x) dx

= − Z 1

0 ∂u

∂x (t, x)

2 dx

Montrer que toute fontion

v(x)

^ontinûment ^dérivable ^sur

[0, 1]

^, ^telle ^que

v(0) = 0

^,

vériel'inégalitéde Poinaré

Z 1 0

v ² (x) dx ≤ Z 1

0 dv dx (x)

2 dx.

Endéduireladéroissaneexponentielleentempsde

R 1

0 u ² (t, x) dx

^.

1.3.2 Équation des ondes

x u(x) f(x)

Ω

Figure1.2Déplaementd'uneordeélastique.

L'équation des ondes modélise des phénomènes de propagation d'ondes ou de

vibration.Parexemple,endeuxdimensionsd'espaeelleestunmodèlepourétudier

lesvibrationsd'unemembraneélastiquetendue (ommelapeaud'untambour).En

unedimensiond'espae,elleestaussiappeléeéquationdesordesvibrantes.Aurepos,

lamembraneoupeundomaineplan

Ω

^.^Sous^l'ation^d'une^fore^normale^à^e^plan

d'intensité

f

^, êlle ^se^déforme êt ^son ^déplaement ^normalêst ^noté

u

^(voir ^la ^Figure

1.2).Onsupposequ'elleestxéesursonbord,equidonneuneonditionauxlimites

deDirihlet.L'équationdesondesdont

u

^est^solution^est ^donnée^par



 



 



∂ ² u

∂t ² − ∆u = f

^dans

Ω × R ⁺ _∗ u = 0

^sur

∂Ω × R ⁺ _∗ u(t = 0) = u 0

^dans

Ω

∂u

∂t (t = 0) = u 1

^dans

Ω

(1.18)

Remarquonsqu'ils'agitd'uneéquationdudeuxièmeordreentempsetqu'ilfautdon

deux onditions initialespour

u

^. Ôn ^dira ^que êtte ^équation êst hyperbolique (voir plusloinlaSous-setion1.5.2).

(25)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

Exerie 1.3.2 Onseplaeendimension

N = 1

^d'espae.^On^suppose^que^les^données

initiales

u 0

^et

u 1

^sont ^des ^fontionsrégulières, et que

f = 0

^ave

Ω = R

^. ^On ^note

U 1

uneprimitivede

u 1

^.^Vérier^que

u(t, x) = 1

2 (u 0 (x + t) + u 0 (x − t)) + 1

2 (U 1 (x + t) − U 1 (x − t)) ,

^(1.19)

estlasolutionuniquede (1.18)danslalassedesfontionsrégulières.

L'équation desondes partageave l'équation d'advetion(1.12) lapropriété im-

portante de propagation à vitesse nie. En eet, l'Exerie1.3.3 montre que sa

solutionen unpoint

(x, t)

^ne ^dépend ^pas ^de^toutes ^les^valeurs^des ^données^initiales

maisseulementdesvaleursdansunintervallerestreintappelé domaine de dépen-

dane(oune delumière;voirlaFigure 1.3).Rappelonsqueette propriétén'est

paspartagéeparl'équationdelahaleurpuisqu'ilestlair,àtraverslaformule(1.14),

quelasolutionen

(x, t)

^dépend^de^toutes^les^valeurs^de^la^donnée^initiale.

Uneautrepropriétédel'équationdesondesestsoninvarianeparhangementdu

sensdutemps.Si onhange

t

^en

− t

^,^la^forme^de^l'équation ^ne^hange^pas.^On^peut

don intégrer l'équation des ondes vers lestemps positifs ou négatifs de la même

manière.Onditquel'équationdesondesest réversible en temps.

Exerie 1.3.3 Vérier que la solution (1.19) au point

(x, t)

^ne ^dépend ^des ^données

initiales

u 0

^et

u 1

^qu'à^travers^leurs^valeurs^sur^le^segment

[x − t, x + t]

^.^Vérier^aussi^que

u( − t, x)

^est^solution^de^(1.18)^dans

Ω × R ⁻ _∗

^quitte^à^hanger^le^signe^de^la^vitesse^initiale

u 1 (x)

^.

t

x−t x+t x

(x,t)

Figure1.3Domaineounededépendanedel'équationdesondes.

Exerie 1.3.4 On se propose de démontrer un prinipede onservation de l'énergie

pourl'équationdesondes(1.18)sansutiliserlaformuleexpliite(1.19).Enunedimension

d'espae,onpose

Ω = (0, 1)

^et ^on^suppose

f = 0

^.^Soit

u(t, x)

^une^solution^régulière^de

(26)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

(1.18).Enmultipliantl'équationpar

∂u

∂t

êtên întégrant^par^rapport ^à

x

^,^établir^l'égalité

d'énergie

d dt

Z 1 0

∂u

∂t (t, x)

2 dx + Z 1

0 ∂u

∂x (t, x)

2 dx

!

= 0.

Conlureetompareràequisepassepour l'équationdelahaleur.

1.3.3 Le Laplaien

Pourertainshoixdutermesoure

f

^,^la^solution^de^l'équation^de^la^haleur^(1.17)

atteintunétatstationnaire,'est-à-direque

u(t, x)

^admet^une ^limite

u _∞ (x)

^quand

le temps

t

^tend ^vers ^l'inni. ^Souvent, ^il ^est intéressant de aluler diretement et étatstationnaire.Danseas,pourunterme soure

f (x)

indépendantdutemps,on résoutuneéquationdudeuxièmeordreenespae

− ∆u = f

^dans

Ω

u = 0

^sur

∂Ω,

^(1.20)

quel'onappelleLaplaienouéquationdeLaplae.Ondiraqueetteéquationestel-

liptique(voirplusloinlaSous-setion1.5.2).RemarquonsqueleLaplaienestaussila

versionstationnairedel'équationdesondes(1.19).LeLaplaienintervientaussidans

detrèsnombreuxdomainesdessienesdel'ingénieur.Parexemple,(1.20) modélise

ledéplaementvertiald'une membraneélastiquesoumiseà unefore normale

f

^et

xéesursonontour.

1.3.4 Équation de Shrödinger

L'équationdeShrödingerdéritl'évolutiondelafontiond'onde

u

^d'une^partiule

soumiseàunpotentiel

V

^.^Rappelons^que

u(t, x)

^est^une^fontion^de

R ⁺ × R ^N

^à^valeurs

dans

C

êt ^que^son^module âuârré

| u | ²

s'interprèteommeladensitédeprobabilité pour déteter que la partiule se trouve au point

(t, x)

^. ^Le ^potentiel

V (x)

^est ^une

fontionàvaleursréelles.Lafontiond'onde

u

^est^solution^de





 i ∂u

∂t + ∆u − V u = 0

^dans

R ^N × R ⁺ _∗ u(t = 0) = u 0

^dans

R ^N

(1.21)

Il n'y a pas de ondition aux limites apparentes dans (1.21) puisque l'équation a

lieu dans tout l'espae(qui n'a pasde bord).Néanmoins, nous verrons qu'un hoix

raisonnable d'espae fontionneldans lequel nous herheronsla solutionentraîne

de fato une ondition de déroissane à l'inni de

u

^qui ^peut s'interpréteromme unesortedeonditionauxlimitesàl'inni.

Exerie 1.3.5 Onse proposede démontrerdesprinipesde onservationdel'énergie

pourl'équationdeShrödinger(1.21).Soit

u(t, x)

ûne^solution^régulière^de^(1.21)ênûne

(27)

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

dimensiond'espaequidéroîtvers zéro(ainsique

∂u

∂x

⁾^lorsque

| x | → + ∞

^.^Montrer^que

pour toutefontiondérivable

v(t)

^on ^a

R

∂v

∂t v

= 1 2

∂ | v | ²

∂t ,

où

R

^désigne ^la^partie^réelle ^et

v

^le ^omplexe^onjugué^de

v

^. ^En multipliantl'équation par

u

êtên întégrant^par^rapport^à

x

^,^établir^l'égalité^d'énergie

Z

R | u(t, x) | ² dx = Z

R | u 0 (x) | ² dx.

Enmultipliantl'équationpar

∂u

∂t

^,^montrer ^que

Z

R

∂u

∂x (t, x)

2 + V (x) | u(t, x) | ²

! dx =

Z

R

∂u 0

∂x (x)

2 + V (x) | u 0 (x) | ²

! dx.

1.3.5 Système de Lamé

LesystèmedeLaméestunaspartiulierdeséquationsstationnairesdel'élasti-

itélinéariséequi modélisentlesdéformationsd'un solidesousl'hypothèse depetites

déformationsetdepetitsdéplaements(voirlaSous-setion5.3.1pourplusdedétails

sur lamodélisation). Pourobtenirlesystème de Lamé,on suppose quelesolideest

homogèneisotropeetqu'ilestxésursonbord.Laprinipalediéreneavelesmod-

èlespréédentsestqu'ils'agitiid'unsystèmed'équations,'est-à-diredeplusieurs

équations ouplées entre elles.Le solide au reposoupe un domaine

Ω

^de ^l'espae

R ^N

^.^Sous^l'ation^d'une^fore

f

^il^se^déforme,^et^haque^point

x

^se^déplae^en

x+u(x)

^.

Lafore

f (x)

^est^une^fontion^vetorielle^de

Ω

^dans

R ^N

^,^omme^le^déplaement

u(x)

^.

Cedernierest solutionde

− µ∆u − (µ + λ) ∇ (divu) = f

^dans

Ω

u = 0

^sur

∂Ω

^(1.22)

où

λ

^et

µ

^sont^deux^onstantes,^dites^de^Lamé,aratéristiquesdumatériauhomogène isotropedontestonstituélesolide.Pourdesraisonsméaniquesesonstantesvéri-

ent

µ > 0

^et

2µ + N λ > 0

^.^La^ondition^aux ^limites^de ^Dirihlet^pour

u

^traduit^le

faitquelesolideest supposéxéet immobilisésursonbord

∂Ω

^.

Le système (1.22) a été érit en notation vetorielle. Si on note

f i

^et

u i

^, ^pour

1 ≤ i ≤ N

^, ^les ^omposantes ^de

f

^et

u

^dans ^la ^base ^anonique ^de

R ^N

^, ^(1.22) ^est

équivalentà

− µ∆u i − (µ + λ) ^∂(divu) _∂x _i = f i

^dans

Ω

u i = 0

^sur

∂Ω

pour

1 ≤ i ≤ N

^. ^Remarquons^que, ^si

(µ + λ) 6 = 0

^, ^alors ^les ^équations ^pour ^haque

omposante

u i

^sont^ouplées^par^le^terme ^de^divergene.Évidemment,endimension

N = 1

^,^le^système^de^Lamé^n'a^qu'une^seule^équation^et^se^réduit^au^Laplaien.

Analyse numérique

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE